12. Sınıf · Diziler

Dizi Kavramı

~6 dk okumaZorluk: Kolay20 çözümlü soru

Bir dizi, sayıların belirli bir sıraya dizilmiş hâlidir: $2, 5, 8, 11, \dots$ gibi. Aslında bir dizi, tanım kümesi pozitif tam sayılar olan özel bir fonksiyondur; her $n$ sırasına bir $a_n$ terimi karşılık gelir. Bu derste dizinin ne olduğunu, genel terim ( $n.$ terim) kavramını, terimlerden geriye doğru genel terime ulaşmayı ve artan-azalan, sabit, sonlu-sonsuz gibi dizi çeşitlerini öğreneceğiz. Diziler; aritmetik ve geometrik dizilerin, dolayısıyla seri ve limit konularının temelidir. Bol örnek ve "Sıra Sende" alıştırmalarıyla ilerleyeceğiz.

1. Dizi ve Terim Kavramı

Tanım kümesi $\{1, 2, 3, \dots\}$ (pozitif tam sayılar) olan her fonksiyona dizi denir. $n.$ sıradaki değere dizinin $n.$ terimi denir ve $a_n$ ile gösterilir; dizinin tamamı da $(a_n)$ biçiminde yazılır.

$a_1,\ a_2,\ a_3,\ \dots,\ a_n,\ \dots$

Burada $a_1$ ilk terim, $a_2$ ikinci terim, $a_n$ ise genel terimdir. Önemli ayrım: $a_n$ genel terimi (bir kural/formül), $a_5$ ise o kuralda $n=5$ konunca çıkan tek bir sayıdır.

Örnek

Soru

$2, 5, 8, 11, \dots$ dizisinde $a_1$ , $a_3$ ve dördüncü terimi yazınız.

İlk terim: $a_1=2$ .
Üçüncü terim: $a_3=8$ .
Dördüncü terim: $a_4=11$ .

Sonuç:

a_1=2,\ a_3=8,\ a_4=11

2. Genel Terimden Terim Bulma

Çoğu dizi, genel terimi $a_n$ veren bir formülle verilir. Bir terimi bulmak için, sıra numarasını $n$ yerine yazıp işlemi yaparız.

Örnek

Soru

Genel terimi $a_n=3n-1$ olan dizinin ilk üç terimini ve $a_{10}$ terimini bulunuz.

$n=1$ : $a_1=3\cdot 1-1=2$ .
$n=2$ : $a_2=3\cdot 2-1=5$ .
$n=3$ : $a_3=3\cdot 3-1=8$ .
$n=10$ : $a_{10}=3\cdot 10-1=29$ .

Sonuç: İlk üç terim

2, 5, 8

;

\;a_{10}=29

Bir sayının dizinin kaçıncı terimi olduğunu bulmak için $a_n$ 'i o sayıya eşitleyip $n$ 'i çözeriz. Çıkan $n$ pozitif tam sayı değilse, o sayı dizinin terimi değildir.

Örnek

Soru

$a_n=3n-1$ dizisinde $59$ sayısı kaçıncı terimdir?

$a_n=59$ kur; çıkan $n$ pozitif tam sayı olmalı, aksi hâlde $59$ bu dizinin terimi değildir.

$a_n=59$ : $3n-1=59$ .
$3n=60\Rightarrow n=20$ .
$n=20$ pozitif tam sayı; demek ki $59$ , dizinin $20.$ terimidir.

Sonuç:

20.

terim.

3. Terimlerden Genel Terime

Bazı sorularda dizinin ilk birkaç terimi verilir ve genel terim istenir. Terimler arasındaki örüntüyü ( $n$ ile değişimi) yakalayıp formülü kurarız.

Şekil 1 —

2, 5, 8, 11, 14

dizisinin terimleri sayı doğrusunda. Her terim bir öncekinden

3

fazla; bu sabit adım, terimlerin "eşit aralıklı" durmasını sağlar. Böyle bir dizinin genel terimi

a_n=3n-1

biçiminde yazılabilir.

Örnek

Soru

$5, 8, 11, 14, \dots$ dizisinin genel terimini ( $a_n$ ) bulunuz.

Terimler $3$ 'er artıyor; genel terim $3n$ + (sabit) biçimindedir. $n=1$ için $5$ çıkacak şekilde sabiti ayarla.

Ardışık terimler $3$ 'er artıyor, o hâlde $a_n=3n+k$ biçimindedir.
$n=1$ için $5$ olmalı: $3\cdot 1+k=5\Rightarrow k=2$ .
Formül: $a_n=3n+2$ . Kontrol: $n=2$ için $3\cdot 2+2=8$ . ✓

Sonuç:

a_n=3n+2

4. Dizi Çeşitleri

Dizileri davranışlarına göre adlandırırız:

Artan dizi: her terim bir öncekinden büyükse ( $a_{n+1}>a_n$ ).
Azalan dizi: her terim bir öncekinden küçükse ( $a_{n+1}<a_n$ ).
Sabit dizi: tüm terimleri eşitse ( $a_n=c$ ).
Sonlu / sonsuz dizi: terim sayısı sınırlıysa sonlu, sonsuza kadar gidiyorsa sonsuz dizidir.

Bir dizinin artan mı azalan mı olduğunu anlamak için $a_{n+1}-a_n$ farkının işaretine bakarız: her $n$ için pozitifse artan, negatifse azalandır.

Örnek

Soru

$a_n=2n+1$ dizisinin artan mı azalan mı olduğunu belirleyiniz.

Ardışık terim farkını al: $a_{n+1}-a_n=\big(2(n+1)+1\big)-\big(2n+1\big)$ .
Sadeleştir: $2n+2+1-2n-1=2>0$ .
Fark her $n$ için $2>0$ olduğundan dizi artandır.

Sonuç: Artan dizi.

5. Dizilerde İşlemler

İki dizi $(a_n)$ ve $(b_n)$ terim terime toplanıp çıkarılabilir, bir sayıyla çarpılabilir: $(a_n+b_n)$ , $(a_n-b_n)$ , $(c\cdot a_n)$ yine birer dizidir. Belirli bir terimde işlem yapmak için her diziden aynı sıradaki terimi alırız.

Örnek

Soru

$a_n=n^2$ ve $b_n=2n$ ise $(a_n+b_n)$ dizisinin $3.$ terimini bulunuz.

Toplam dizinin genel terimi: $a_n+b_n=n^2+2n$ .
$n=3$ : $3^2+2\cdot 3=9+6=15$ .

Sonuç:

15

Çözümlü Örnekler

Örnek

Soru

Genel terimi $a_n=\dfrac{n}{n+1}$ olan dizinin ilk üç terimini bulunuz.

$n=1$ : $a_1=\dfrac{1}{2}$ .
$n=2$ : $a_2=\dfrac{2}{3}$ .
$n=3$ : $a_3=\dfrac{3}{4}$ .

Sonuç:

\dfrac{1}{2},\ \dfrac{2}{3},\ \dfrac{3}{4}

Örnek

Soru

$a_n=n^2-4n$ dizisinde $a_5$ ile $a_3$ terimlerinin toplamını bulunuz.

$a_5=5^2-4\cdot 5=25-20=5$ .
$a_3=3^2-4\cdot 3=9-12=-3$ .
Topla: $5+(-3)=2$ .

Sonuç:

2

Örnek

Soru

$a_n=\dfrac{n-3}{n}$ dizisinde hangi terim $0$ 'a eşittir?

Bir kesir, yalnız payı sıfır olunca sıfırdır. Payı sıfır yapan $n$ 'yi bul.

$a_n=0$ : $\dfrac{n-3}{n}=0$ .
Kesir sıfırsa pay sıfırdır: $n-3=0\Rightarrow n=3$ .
Payda $n=3\neq 0$ olduğundan terim geçerlidir.

Sonuç:

3.

terim (

a_3=0

Örnek

Soru

$a_n=2n-7$ dizisi hangi terimden itibaren pozitif değer alır?

$a_n>0$ iste: $2n-7>0$ .
$2n>7\Rightarrow n>3{,}5$ .
$n$ pozitif tam sayı olduğundan en küçük çözüm $n=4$ 'tür: $a_4=2\cdot 4-7=1>0$ . ✓

Sonuç:

4.

terimden itibaren pozitiftir.

Alıştırmalar — Sıra Sende

Önce kendin çözmeyi dene; sonra çözümü açıp karşılaştır.

Örnek

Soru

$a_n=4n+1$ dizisinin ilk üç terimini yaz.

$a_1=5,\ a_2=9,\ a_3=13$ .

Sonuç:

5, 9, 13

Örnek

Soru

$a_n=n^2-1$ dizisinde $a_6$ kaçtır?

$a_6=6^2-1=36-1=35$ .

Sonuç:

35

Örnek

Soru

$7, 11, 15, 19, \dots$ dizisinin genel terimini bul.

$4$ 'er artıyor: $a_n=4n+k$ .
$n=1$ için $7$ : $4+k=7\Rightarrow k=3$ .
$a_n=4n+3$ .

Sonuç:

a_n=4n+3

Örnek

Soru

$a_n=5n-2$ dizisinde $48$ sayısı kaçıncı terimdir?

$5n-2=48\Rightarrow 5n=50$ .
$n=10$ .

Sonuç:

10.

terim.

Örnek

Soru

$a_n=3-n$ dizisi artan mı azalan mı? Belirle.

Fark: $a_{n+1}-a_n=\big(3-(n+1)\big)-\big(3-n\big)=-1<0$ .
Fark negatif olduğundan dizi azalandır.

Sonuç: Azalan dizi.

Örnek

Soru

$a_n=n^2$ ve $b_n=3n$ ise $(a_n-b_n)$ dizisinin $4.$ terimini bul.

Genel terim: $a_n-b_n=n^2-3n$ .
$n=4$ : $16-12=4$ .

Sonuç:

4

Örnek

Soru

$a_n=\dfrac{2n-1}{n+1}$ dizisinde $a_4$ kaçtır?

Pay: $2\cdot 4-1=7$ .
Payda: $4+1=5$ .
$a_4=\dfrac{7}{5}$ .

Sonuç:

\dfrac{7}{5}

Örnek

Soru

$a_n=n^2-6n+8$ dizisinin hangi terimleri $0$ 'a eşittir?

$a_n=0$ ikinci dereceden denklemini çöz; ama yalnız pozitif tam sayı olan kökler dizinin terim sırası olabilir.

$n^2-6n+8=0\Rightarrow (n-2)(n-4)=0$ .
Kökler $n=2$ ve $n=4$ ; ikisi de pozitif tam sayı, geçerli.
Demek ki $a_2=0$ ve $a_4=0$ .

Sonuç:

2.

4.

terimler sıfırdır.

Örnek

Soru

Genel terimi $a_n=\dfrac{3n+1}{n}$ olan dizi azalan mıdır? Açıkla.

Önce $a_n=\dfrac{3n+1}{n}=3+\dfrac{1}{n}$ biçiminde yaz. $n$ büyüdükçe $\dfrac{1}{n}$ küçülür.

Genel terimi sadeleştir: $a_n=\dfrac{3n+1}{n}=\dfrac{3n}{n}+\dfrac{1}{n}=3+\dfrac{1}{n}$ .
$n$ büyüdükçe $\dfrac{1}{n}$ küçülür; örneğin $a_1=4$ , $a_2=3{,}5$ , $a_3\approx 3{,}33$ .
Her terim bir öncekinden küçük olduğundan dizi azalandır.

Sonuç: Evet, azalan dizidir.

Örnek

Soru

$a_n=n^2-10n+21$ dizisi hangi terimden itibaren pozitiftir?

$a_n>0$ eşitsizliğini çöz; kökler $3$ ve $7$ . Parabol yukarı açıldığından dış bölgede pozitiftir, ama $n$ pozitif tam sayı.

Çarpanlara ayır: $n^2-10n+21=(n-3)(n-7)$ .
$(n-3)(n-7)>0$ : kökler $3$ ve $7$ , ifade kökler dışında pozitiftir, yani $n<3$ veya $n>7$ .
Ama dizi $n=1$ 'den başlayıp artıyor; "bir terimden itibaren sürekli pozitif" olması istendiğinden büyük taraf geçerlidir: $n>7$ , yani en küçük $n=8$ .
Kontrol: $a_8=64-80+21=5>0$ , $a_7=49-70+21=0$ , $a_6=36-60+21=-3<0$ . ✓

Sonuç:

8.

terimden itibaren pozitiftir.

Sık Yapılan Hatalar

$a_n$ ile $a_5$ 'i karıştırmak. $a_n$ bir kural/formül, $a_5$ ise o kuralda $n=5$ konunca çıkan tek bir sayıdır.
$n$ 'yi pozitif tam sayı almamak. Dizinin tanım kümesi $\{1,2,3,\dots\}$ 'tir; "kaçıncı terim" sorularında çıkan $n$ pozitif tam sayı değilse o sayı dizinin terimi değildir.
Genel terimde sabiti unutmak. $3$ 'er artan bir dizide formül yalnız $3n$ değildir; $n=1$ ilk terimi verecek şekilde sabit eklenir ( $3n+k$ ).
Artan/azalanı tek terime bakıp söylemek. Karar için $a_{n+1}-a_n$ farkının işaretine her $n$ için bakılır; birkaç terime bakmak yanıltıcı olabilir.

Not: Bir diziyi "sırası belli sayı listesi" yerine tanım kümesi pozitif tam sayılar olan bir fonksiyon olarak düşün. O zaman "terim bul", "kaçıncı terim", "artan mı" gibi sorular aslında birer fonksiyon değeri, denklem ve işaret incelemesi sorusuna dönüşür.

1. Dizi ve Terim Kavramı

2. Genel Terimden Terim Bulma

3. Terimlerden Genel Terime

4. Dizi Çeşitleri

5. Dizilerde İşlemler

Çözümlü Örnekler

Alıştırmalar — Sıra Sende

Sık Yapılan Hatalar

Diziler — diğer konular