çözümebak

12. Sınıf · Diziler

Aritmetik Dizi

~7 dk okumaZorluk: Orta19 çözümlü soru

Aritmetik dizi, ardışık terimleri arasındaki farkın sabit olduğu özel bir dizidir: 2, 5, 8, 11, \dots dizisinde her terim bir öncekinden 3 fazladır. Bu sabit farka ortak fark denir (d). Bu derste ortak farkı, genel terim formülü a_n=a_1+(n-1)d'yi ve ilk n terim toplamı S_n'i öğreneceğiz. Formüller kısadır; asıl beceri, verilen iki bilgiyi bir denklem sistemine dönüştürüp a_1 ile d'yi bulmaktır. Bol örnek ve "Sıra Sende" alıştırmalarıyla pekiştireceğiz.

1. Ortak Fark

Bir dizide her terim ile bir önceki terim arasındaki fark sabitse, bu diziye aritmetik dizi; bu sabit farka da ortak fark denir ve d ile gösterilir:

d=a_{n+1}-a_n

d>0 ise dizi artan, d<0 ise azalandır. d=0 ise tüm terimler eşittir (sabit dizi).

2581114a₁a₂a₃a₄a₅+3+3+3+3
Şekil 1 — 2, 5, 8, 11, 14 aritmetik dizisi. Ardışık terimler arasındaki fark her zaman d=3 olduğundan terimler sayı doğrusunda eşit aralıklarla dizilir. Ortak fark, dizinin "adım boyu"dur.
Örnek
Soru

8, 5, 2, -1, \dots dizisinin ortak farkını bulunuz ve artan mı azalan mı olduğunu söyleyiniz.

  1. Ortak fark, herhangi iki ardışık terimin farkıdır: d=5-8=-3.
  2. Kontrol: 2-5=-3, -1-2=-3. ✓
  3. d=-3<0 olduğundan dizi azalandır.
Sonuç: d=-3, azalan dizi.

2. Genel Terim

İlk terim a_1 ve ortak fark d bilindiğinde, n. terim doğrudan yazılır:

a_n=a_1+(n-1)d

Bu formül, a_1 üzerine (n-1) kez d eklendiğini ifade eder: ikinci terime gelmek için bir kez, üçüncü terim için iki kez ekleriz.

Örnek
Soru

a_1=3 ve d=4 olan aritmetik dizinin 10. terimini bulunuz.

  1. Formülü yaz: a_n=a_1+(n-1)d.
  2. Yerine koy: a_{10}=3+(10-1)\cdot 4=3+9\cdot 4.
  3. Hesapla: a_{10}=3+36=39.
Sonuç: a_{10}=39.

Bir terimin kaçıncı terim olduğunu bulmak için a_n'i o değere eşitleyip n'i çözeriz.

Örnek
Soru

İlk terimi 5, ortak farkı 3 olan dizide 92 kaçıncı terimdir?

a_n=92 yaz; a_n=a_1+(n-1)d formülünden n'i çek. n pozitif tam sayı çıkmalı.

  1. a_n=5+(n-1)\cdot 3=92.
  2. (n-1)\cdot 3=87\Rightarrow n-1=29.
  3. n=30 (pozitif tam sayı, geçerli).
Sonuç: 30. terim.

3. İki Bilgiden Diziyi Bulma

İki terim verilirse, formülü iki kez yazarak bir denklem sistemi kurarız. Farkı alarak çoğu zaman doğrudan d'yi buluruz.

Örnek
Soru

Bir aritmetik dizide a_3=7 ve a_8=22 ise a_1 ve d'yi bulunuz.

a_8-a_3=(8-3)d=5d. İki terim arasındaki sıra farkı kadar d vardır.

  1. İki terim arası 5 adım: a_8-a_3=5d\Rightarrow 22-7=5d.
  2. 15=5d\Rightarrow d=3.
  3. a_3=a_1+2d=7: a_1+2\cdot 3=7\Rightarrow a_1=1.
Sonuç: a_1=1,\ d=3.

4. İlk n Terim Toplamı

Aritmetik dizinin ilk n teriminin toplamı S_n iki eşdeğer formülle bulunur:

S_n=\frac{n\,(a_1+a_n)}{2} \qquad\qquad S_n=\frac{n\big(2a_1+(n-1)d\big)}{2}

İlk formül ilk ve son terim biliniyorsa, ikincisi a_1 ve d biliniyorsa pratiktir. (Fikir: baş ve son terimi eşleyip n tane "ortalama terim" toplamak.)

Örnek
Soru

3, 7, 11, \dots aritmetik dizisinin ilk 20 teriminin toplamını bulunuz.

  1. a_1=3,\ d=4,\ n=20.
  2. İkinci formülü kullan: S_{20}=\dfrac{20\big(2\cdot 3+(20-1)\cdot 4\big)}{2}.
  3. Parantez: 2\cdot 3+19\cdot 4=6+76=82.
  4. S_{20}=\dfrac{20\cdot 82}{2}=10\cdot 82=820.
Sonuç: S_{20}=820.

5. Aritmetik Orta

a, b, c ardışık aritmetik terimlerse, ortadaki terim baş ve sonun ortalamasıdır:

b=\frac{a+c}{2}

Çünkü b-a=c-b (ortak fark eşit). Bu, üç terim bir aritmetik dizide ise hemen kurulabilen kullanışlı bir bağıntıdır.

Örnek
Soru

x-2,\ 7,\ x+6 sayıları bu sırayla aritmetik dizi oluşturuyorsa x kaçtır?

  1. Ortadaki terim ortalamadır: 7=\dfrac{(x-2)+(x+6)}{2}.
  2. 14=(x-2)+(x+6)=2x+4.
  3. 2x=10\Rightarrow x=5.
Sonuç: x=5.

Çözümlü Örnekler

Örnek
Soru

a_1=-4 ve d=5 olan aritmetik dizinin 15. terimini bulunuz.

  1. a_{15}=a_1+(15-1)d=-4+14\cdot 5.
  2. a_{15}=-4+70=66.
Sonuç: 66.
Örnek
Soru

Bir aritmetik dizide a_4=11 ve a_9=26 ise a_1'i bulunuz.

  1. a_9-a_4=5d=26-11=15\Rightarrow d=3.
  2. a_4=a_1+3d=11\Rightarrow a_1+9=11\Rightarrow a_1=2.
Sonuç: a_1=2.
Örnek
Soru

1+4+7+\dots+100 toplamını hesaplayınız.

Bu, a_1=1, d=3 olan aritmetik dizidir. Önce 100'ün kaçıncı terim olduğunu (n) bul, sonra S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2} kullan.

  1. a_1=1,\ d=3. Son terim a_n=100: 1+(n-1)\cdot 3=100\Rightarrow (n-1)\cdot 3=99\Rightarrow n=34.
  2. İlk-son terim formülü: S_{34}=\dfrac{34\,(1+100)}{2}=\dfrac{34\cdot 101}{2}.
  3. S_{34}=17\cdot 101=1717.
Sonuç: 1717.
Örnek
Soru

İlk terimi 40, ortak farkı -4 olan aritmetik dizinin ilk kaç teriminin toplamı en büyüktür?

Toplam, terimler pozitif kaldıkça büyür; ilk negatif terimden hemen önce toplam en büyüktür. a_n\ge 0 olan en büyük n'yi bul.

  1. Genel terim: a_n=40+(n-1)(-4)=44-4n.
  2. a_n\ge 0: 44-4n\ge 0\Rightarrow n\le 11.
  3. a_{11}=44-44=0, a_{12}=-4<0. Terimler 11.ye kadar negatif değil; 11. terim 0 olduğundan ilk 10 ya da ilk 11 terim aynı en büyük toplamı verir.
  4. Demek ki ilk 11 terimin toplamı en büyüktür (eklenen a_{11}=0 toplamı değiştirmez).
Sonuç: İlk 11 terim (ya da eşdeğer olarak ilk 10 terim).

Alıştırmalar — Sıra Sende

Önce kendin çözmeyi dene; sonra çözümü açıp karşılaştır.

Örnek
Soru

a_1=7, d=2 olan dizinin 12. terimini bul.

  1. a_{12}=7+(12-1)\cdot 2=7+22=29.
Sonuç: 29.
Örnek
Soru

2, 9, 16, 23, \dots dizisinin ortak farkını ve genel terimini yaz.

  1. d=9-2=7, a_1=2.
  2. a_n=2+(n-1)\cdot 7=7n-5.
Sonuç: d=7, a_n=7n-5.
Örnek
Soru

İlk terimi 4, ortak farkı 6 olan dizide 70 kaçıncı terimdir?

  1. 4+(n-1)\cdot 6=70\Rightarrow (n-1)\cdot 6=66.
  2. n-1=11\Rightarrow n=12.
Sonuç: 12. terim.
Örnek
Soru

5, 8, 11, \dots dizisinin ilk 30 teriminin toplamını bul.

  1. a_1=5,\ d=3,\ n=30.
  2. S_{30}=\dfrac{30\big(2\cdot 5+29\cdot 3\big)}{2}=15\,(10+87)=15\cdot 97=1455.
Sonuç: 1455.
Örnek
Soru

x+1,\ 10,\ 3x-1 sayıları bu sırayla aritmetik dizi ise x kaçtır?

  1. Orta terim ortalama: 10=\dfrac{(x+1)+(3x-1)}{2}.
  2. 20=4x\Rightarrow x=5.
Sonuç: x=5.
Örnek
Soru

Bir aritmetik dizide a_5=17, a_5'ten sonra her terim 3 artıyorsa a_1 kaçtır?

  1. d=3, a_5=a_1+4d=17.
  2. a_1+12=17\Rightarrow a_1=5.
Sonuç: a_1=5.
Örnek
Soru

a_n=3n+2 aritmetik dizisinin ilk n teriminin toplamı S_n ifadesini n cinsinden yaz.

a_1=5, son terim a_n=3n+2. S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2} kullan.

  1. a_1=3\cdot 1+2=5, a_n=3n+2.
  2. S_n=\dfrac{n(5+3n+2)}{2}=\dfrac{n(3n+7)}{2}.
Sonuç: S_n=\dfrac{n(3n+7)}{2}=\dfrac{3n^2+7n}{2}.
Örnek
Soru

Bir aritmetik dizide a_3+a_7=30 ve a_5-a_2=9 ise a_1 ve d'yi bul.

İkinci koşulda a_5-a_2=3d. Önce d'yi bul; sonra birinci koşulu a_1,d ile açıp a_1'i çek.

  1. a_5-a_2=(5-2)d=3d=9\Rightarrow d=3.
  2. a_3+a_7=(a_1+2d)+(a_1+6d)=2a_1+8d=30.
  3. d=3 koy: 2a_1+24=30\Rightarrow 2a_1=6\Rightarrow a_1=3.
Sonuç: a_1=3,\ d=3.
Örnek
Soru

7, 12, 17, \dots dizisinin kaç terimi toplandığında toplam ilk kez 1000'i geçer?

a_1=7, d=5. S_n=\dfrac{n(2\cdot 7+(n-1)\cdot 5)}{2}>1000 eşitsizliğini çöz; en küçük tam sayı n'i ara.

  1. S_n=\dfrac{n(14+5(n-1))}{2}=\dfrac{n(5n+9)}{2}.
  2. \dfrac{n(5n+9)}{2}>1000\Rightarrow 5n^2+9n-2000>0.
  3. n=19: 5\cdot 361+171=1805+171=1976<2000, yani S_{19}=988.
  4. n=20: 5\cdot 400+180=2000+180=2180>2000, S_{20}=\dfrac{20\cdot 109}{2}=1090>1000. ✓
  5. İlk kez 20. terimde toplam 1000'i geçer.
Sonuç: 20 terim.

Sık Yapılan Hatalar

Not: Aritmetik dizi sorularında neredeyse her şey iki bilinmeyene (a_1 ve d) iner. Verilen her bilgiyi a_1+(n-1)d kalıbıyla bir denkleme çevir; iki denklem kurabilirsen diziyi tamamen belirlersin. Toplam istenince hangi formülün verilenlere uyduğuna karar ver: ilk-son terim mi, yoksa a_1 ve d mi elinde?

Diziler — diğer konular