12. Sınıf · Diziler

Aritmetik Dizi

~7 dk okumaZorluk: Orta6 çözümlü soru

Aritmetik dizi, ardışık terimleri arasındaki farkın sabit olduğu özel bir dizidir: $2, 5, 8, 11, \dots$ dizisinde her terim bir öncekinden $3$ fazladır. Bu sabit farka ortak fark denir ( $d$ ). Bu derste ortak farkı, genel terim formülü $a_{n} = a_{1} + (n - 1) d$ 'yi ve ilk $n$ terim toplamı $S_{n}$ 'i öğreneceğiz. Formüller kısadır; asıl beceri, verilen iki bilgiyi bir denklem sistemine dönüştürüp $a_{1}$ ile $d$ 'yi bulmaktır. Bol örnek ve "Sıra Sende" alıştırmalarıyla pekiştireceğiz.

1. Ortak Fark

Bir dizide her terim ile bir önceki terim arasındaki fark sabitse, bu diziye aritmetik dizi; bu sabit farka da ortak fark denir ve $d$ ile gösterilir:

$d = a_{n + 1} - a_{n}$

$d > 0$ ise dizi artan, $d < 0$ ise azalandır. $d = 0$ ise tüm terimler eşittir (sabit dizi).

Şekil 1 —

2, 5, 8, 11, 14

aritmetik dizisi. Ardışık terimler arasındaki fark her zaman

d = 3

olduğundan terimler sayı doğrusunda eşit aralıklarla dizilir. Ortak fark, dizinin "adım boyu"dur.

Örnek

Soru

$8, 5, 2, - 1, \dots$ dizisinin ortak farkını bulunuz ve artan mı azalan mı olduğunu söyleyiniz.

Ortak fark, herhangi iki ardışık terimin farkıdır: $d = 5 - 8 = - 3$ .
Kontrol: $2 - 5 = - 3$ , $- 1 - 2 = - 3$ . ✓
$d = - 3 < 0$ olduğundan dizi azalandır.

Sonuç:

d = - 3

, azalan dizi.

2. Genel Terim

İlk terim $a_{1}$ ve ortak fark $d$ bilindiğinde, $n .$ terim doğrudan yazılır:

$a_{n} = a_{1} + (n - 1) d$

Bu formül, $a_{1}$ üzerine $(n - 1)$ kez $d$ eklendiğini ifade eder: ikinci terime gelmek için bir kez, üçüncü terim için iki kez ekleriz.

Örnek

Soru

$a_{1} = 3$ ve $d = 4$ olan aritmetik dizinin $10.$ terimini bulunuz.

Formülü yaz: $a_{n} = a_{1} + (n - 1) d$ .
Yerine koy: $a_{10} = 3 + (10 - 1) \cdot 4 = 3 + 9 \cdot 4$ .
Hesapla: $a_{10} = 3 + 36 = 39$ .

Sonuç:

a_{10} = 39

Bir terimin kaçıncı terim olduğunu bulmak için $a_{n}$ 'i o değere eşitleyip $n$ 'i çözeriz.

Örnek

Soru

İlk terimi $5$ , ortak farkı $3$ olan dizide $92$ kaçıncı terimdir?

$a_{n} = 92$ yaz; $a_{n} = a_{1} + (n - 1) d$ formülünden $n$ 'i çek. $n$ pozitif tam sayı çıkmalı.

$a_{n} = 5 + (n - 1) \cdot 3 = 92$ .
$(n - 1) \cdot 3 = 87 \Rightarrow n - 1 = 29$ .
$n = 30$ (pozitif tam sayı, geçerli).

Sonuç:

30.

terim.

3. İki Bilgiden Diziyi Bulma

İki terim verilirse, formülü iki kez yazarak bir denklem sistemi kurarız. Farkı alarak çoğu zaman doğrudan $d$ 'yi buluruz.

Örnek

Soru

Bir aritmetik dizide $a_{3} = 7$ ve $a_{8} = 22$ ise $a_{1}$ ve $d$ 'yi bulunuz.

$a_{8} - a_{3} = (8 - 3) d = 5 d$ . İki terim arasındaki sıra farkı kadar $d$ vardır.

İki terim arası $5$ adım: $a_{8} - a_{3} = 5 d \Rightarrow 22 - 7 = 5 d$ .
$15 = 5 d \Rightarrow d = 3$ .
$a_{3} = a_{1} + 2 d = 7$ : $a_{1} + 2 \cdot 3 = 7 \Rightarrow a_{1} = 1$ .

Sonuç:

a_{1} = 1, d = 3

4. İlk $n$ Terim Toplamı

Aritmetik dizinin ilk $n$ teriminin toplamı $S_{n}$ iki eşdeğer formülle bulunur:

$S_{n} = \frac{n ( a _{1} + a _{n} )}{2} S_{n} = \frac{n ( 2 a _{1} + ( n - 1 ) d )}{2}$

İlk formül ilk ve son terim biliniyorsa, ikincisi $a_{1}$ ve $d$ biliniyorsa pratiktir. (Fikir: baş ve son terimi eşleyip $n$ tane "ortalama terim" toplamak.)

Örnek

Soru

$3, 7, 11, \dots$ aritmetik dizisinin ilk $20$ teriminin toplamını bulunuz.

$a_{1} = 3, d = 4, n = 20$ .
İkinci formülü kullan: $S_{20} = \frac{20 ( 2 \cdot 3 + ( 20 - 1 ) \cdot 4 )}{2}$ .
Parantez: $2 \cdot 3 + 19 \cdot 4 = 6 + 76 = 82$ .
$S_{20} = \frac{20 \cdot 82}{2} = 10 \cdot 82 = 820$ .

Sonuç:

S_{20} = 820

5. Aritmetik Orta

$a$ , $b$ , $c$ ardışık aritmetik terimlerse, ortadaki terim baş ve sonun ortalamasıdır:

$b = \frac{a + c}{2}$

Çünkü $b - a = c - b$ (ortak fark eşit). Bu, üç terim bir aritmetik dizide ise hemen kurulabilen kullanışlı bir bağıntıdır.

Örnek

Soru

$x - 2, 7, x + 6$ sayıları bu sırayla aritmetik dizi oluşturuyorsa $x$ kaçtır?

Ortadaki terim ortalamadır: $7 = \frac{( x - 2 ) + ( x + 6 )}{2}$ .
$14 = (x - 2) + (x + 6) = 2 x + 4$ .
$2 x = 10 \Rightarrow x = 5$ .

Sonuç:

x = 5

Çözümlü Örnekler

Örnek

Soru

$a_{1} = - 4$ ve $d = 5$ olan aritmetik dizinin $15.$ terimini bulunuz.

$a_{15} = a_{1} + (15 - 1) d = - 4 + 14 \cdot 5$ .
$a_{15} = - 4 + 70 = 66$ .

Sonuç:

66

Örnek

Soru

Bir aritmetik dizide $a_{4} = 11$ ve $a_{9} = 26$ ise $a_{1}$ 'i bulunuz.

$a_{9} - a_{4} = 5 d = 26 - 11 = 15 \Rightarrow d = 3$ .
$a_{4} = a_{1} + 3 d = 11 \Rightarrow a_{1} + 9 = 11 \Rightarrow a_{1} = 2$ .

Sonuç:

a_{1} = 2

Örnek

Soru

$1 + 4 + 7 + \dots + 100$ toplamını hesaplayınız.

Bu, $a_{1} = 1$ , $d = 3$ olan aritmetik dizidir. Önce $100$ 'ün kaçıncı terim olduğunu ( $n$ ) bul, sonra $S_{n} = \frac{n ( a _{1} + a _{n} )}{2}$ kullan.

$a_{1} = 1, d = 3$ . Son terim $a_{n} = 100$ : $1 + (n - 1) \cdot 3 = 100 \Rightarrow (n - 1) \cdot 3 = 99 \Rightarrow n = 34$ .
İlk-son terim formülü: $S_{34} = \frac{34 ( 1 + 100 )}{2} = \frac{34 \cdot 101}{2}$ .
$S_{34} = 17 \cdot 101 = 1717$ .

Sonuç:

1717

Örnek

Soru

İlk terimi $40$ , ortak farkı $- 4$ olan aritmetik dizinin ilk kaç teriminin toplamı en büyüktür?

Toplam, terimler pozitif kaldıkça büyür; ilk negatif terimden hemen önce toplam en büyüktür. $a_{n} \geq 0$ olan en büyük $n$ 'yi bul.

Genel terim: $a_{n} = 40 + (n - 1) (- 4) = 44 - 4 n$ .
$a_{n} \geq 0$ : $44 - 4 n \geq 0 \Rightarrow n \leq 11$ .
$a_{11} = 44 - 44 = 0$ , $a_{12} = - 4 < 0$ . Terimler $11.$ ye kadar negatif değil; $11.$ terim $0$ olduğundan ilk $10$ ya da ilk $11$ terim aynı en büyük toplamı verir.
Demek ki ilk $11$ terimin toplamı en büyüktür (eklenen $a_{11} = 0$ toplamı değiştirmez).

Sonuç: İlk

11

terim (ya da eşdeğer olarak ilk

10

terim).

Alıştırmalar — Sıra Sende

Önce kendin çözmeyi dene; sonra çözümü açıp karşılaştır.

Örnek

Soru

$a_{1} = 7$ , $d = 2$ olan dizinin $12.$ terimini bul.

$a_{12} = 7 + (12 - 1) \cdot 2 = 7 + 22 = 29$ .

Sonuç:

29

Örnek

Soru

$2, 9, 16, 23, \dots$ dizisinin ortak farkını ve genel terimini yaz.

$d = 9 - 2 = 7$ , $a_{1} = 2$ .
$a_{n} = 2 + (n - 1) \cdot 7 = 7 n - 5$ .

Sonuç:

d = 7

a_{n} = 7 n - 5

Örnek

Soru

İlk terimi $4$ , ortak farkı $6$ olan dizide $70$ kaçıncı terimdir?

$4 + (n - 1) \cdot 6 = 70 \Rightarrow (n - 1) \cdot 6 = 66$ .
$n - 1 = 11 \Rightarrow n = 12$ .

Sonuç:

12.

terim.

Örnek

Soru

$5, 8, 11, \dots$ dizisinin ilk $30$ teriminin toplamını bul.

$a_{1} = 5, d = 3, n = 30$ .
$S_{30} = \frac{30 ( 2 \cdot 5 + 29 \cdot 3 )}{2} = 15 (10 + 87) = 15 \cdot 97 = 1455$ .

Sonuç:

1455

Örnek

Soru

$x + 1, 10, 3 x - 1$ sayıları bu sırayla aritmetik dizi ise $x$ kaçtır?

Orta terim ortalama: $10 = \frac{( x + 1 ) + ( 3 x - 1 )}{2}$ .
$20 = 4 x \Rightarrow x = 5$ .

Sonuç:

x = 5

Örnek

Soru

Bir aritmetik dizide $a_{5} = 17$ , $a_{5}$ 'ten sonra her terim $3$ artıyorsa $a_{1}$ kaçtır?

$d = 3$ , $a_{5} = a_{1} + 4 d = 17$ .
$a_{1} + 12 = 17 \Rightarrow a_{1} = 5$ .

Sonuç:

a_{1} = 5

Örnek

Soru

$a_{n} = 3 n + 2$ aritmetik dizisinin ilk $n$ teriminin toplamı $S_{n}$ ifadesini $n$ cinsinden yaz.

$a_{1} = 5$ , son terim $a_{n} = 3 n + 2$ . $S_{n} = \frac{n ( a _{1} + a _{n} )}{2}$ kullan.

$a_{1} = 3 \cdot 1 + 2 = 5$ , $a_{n} = 3 n + 2$ .
$S_{n} = \frac{n ( 5 + 3 n + 2 )}{2} = \frac{n ( 3 n + 7 )}{2}$ .

Sonuç:

S_{n} = \frac{n ( 3 n + 7 )}{2} = \frac{3 n ^{2} + 7 n}{2}

Örnek

Soru

Bir aritmetik dizide $a_{3} + a_{7} = 30$ ve $a_{5} - a_{2} = 9$ ise $a_{1}$ ve $d$ 'yi bul.

İkinci koşulda $a_{5} - a_{2} = 3 d$ . Önce $d$ 'yi bul; sonra birinci koşulu $a_{1}, d$ ile açıp $a_{1}$ 'i çek.

$a_{5} - a_{2} = (5 - 2) d = 3 d = 9 \Rightarrow d = 3$ .
$a_{3} + a_{7} = (a_{1} + 2 d) + (a_{1} + 6 d) = 2 a_{1} + 8 d = 30$ .
$d = 3$ koy: $2 a_{1} + 24 = 30 \Rightarrow 2 a_{1} = 6 \Rightarrow a_{1} = 3$ .

Sonuç:

a_{1} = 3, d = 3

Örnek

Soru

$7, 12, 17, \dots$ dizisinin kaç terimi toplandığında toplam ilk kez $1000$ 'i geçer?

$a_{1} = 7$ , $d = 5$ . $S_{n} = \frac{n ( 2 \cdot 7 + ( n - 1 ) \cdot 5 )}{2} > 1000$ eşitsizliğini çöz; en küçük tam sayı $n$ 'i ara.

$S_{n} = \frac{n ( 14 + 5 ( n - 1 ))}{2} = \frac{n ( 5 n + 9 )}{2}$ .
$\frac{n ( 5 n + 9 )}{2} > 1000 \Rightarrow 5 n^{2} + 9 n - 2000 > 0$ .
$n = 19$ : $5 \cdot 361 + 171 = 1805 + 171 = 1976 < 2000$ , yani $S_{19} = 988$ .
$n = 20$ : $5 \cdot 400 + 180 = 2000 + 180 = 2180 > 2000$ , $S_{20} = \frac{20 \cdot 109}{2} = 1090 > 1000$ . ✓
İlk kez $20.$ terimde toplam $1000$ 'i geçer.

Sonuç:

20

terim.

Sık Yapılan Hatalar

$(n - 1)$ yerine $n$ kullanmak. Genel terim $a_{n} = a_{1} + (n - 1) d$ 'dir; $a_{1}$ 'e $n$ değil $(n - 1)$ kez $d$ eklenir. Aksi hâlde tüm terimler bir $d$ kayar.
İki terim arası adım sayısını yanlış almak. $a_{8} - a_{3} = (8 - 3) d = 5 d$ 'dir, $8 d$ değil. Sıra numaralarının farkı kadar $d$ vardır.
Toplam formülünde $n$ 'yi karıştırmak. $S_{n} = \frac{n ( a _{1} + a _{n} )}{2}$ 'de $n$ , terim sayısıdır; son terimin değeri $a_{n}$ ile karıştırılmamalı.
Aritmetik ortayı toplam sanmak. Üç ardışık terimde orta terim, uçların ortalamasıdır ( $b = \frac{a + c}{2}$ ), toplamı değil.

Not: Aritmetik dizi sorularında neredeyse her şey iki bilinmeyene ( $a_{1}$ ve $d$ ) iner. Verilen her bilgiyi $a_{1} + (n - 1) d$ kalıbıyla bir denkleme çevir; iki denklem kurabilirsen diziyi tamamen belirlersin. Toplam istenince hangi formülün verilenlere uyduğuna karar ver: ilk-son terim mi, yoksa $a_{1}$ ve $d$ mi elinde?

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, konuyu sınav formatında (5 şıklı) pekiştirmen için özgün biçimde hazırlanmıştır.

Çözümlü Sorular

Her soruyu önce kendin dene; takıldığında Çözüme Bak.

Soru 1Kolay

İlk terimi

a_{1} = - 6

, ortak farkı

d = 4

olan aritmetik dizinin

20.

terimi kaçtır?

Genel terim formülü: $a_{n} = a_{1} + (n - 1) d$ .
Yerine koy: $a_{20} = - 6 + (20 - 1) \cdot 4 = - 6 + 19 \cdot 4$ .
Hesapla: $a_{20} = - 6 + 76 = 70$ .

Sonuç:

a_{20} = 70

Soru 2Orta

Bir aritmetik dizide

a_{4} = 19

a_{9} = 44

olduğuna göre

a_{1}

kaçtır?

İki terim arası $9 - 4 = 5$ adımdır: $a_{9} - a_{4} = 5 d$ .
$44 - 19 = 5 d \Rightarrow 25 = 5 d \Rightarrow d = 5$ .
$a_{4} = a_{1} + 3 d = 19$ : $a_{1} + 3 \cdot 5 = 19 \Rightarrow a_{1} + 15 = 19$ .
$a_{1} = 4$ .

Sonuç:

a_{1} = 4

Soru 3Orta

4, 10, 16, 22, \dots

aritmetik dizisinin ilk

25

teriminin toplamı kaçtır?

Dizide $a_{1} = 4$ , $d = 6$ , $n = 25$ .
Toplam formülü: $S_{n} = \frac{n ( 2 a _{1} + ( n - 1 ) d )}{2}$ .
Parantez: $2 \cdot 4 + (25 - 1) \cdot 6 = 8 + 24 \cdot 6 = 8 + 144 = 152$ .
$S_{25} = \frac{25 \cdot 152}{2} = 25 \cdot 76 = 1900$ .

Sonuç:

S_{25} = 1900

Soru 4Kolay

3 x - 2, 13, x + 8

sayıları bu sırayla bir aritmetik dizi oluşturduğuna göre

x

kaçtır?

Ortadaki terim uçların ortalamasıdır: $13 = \frac{( 3 x - 2 ) + ( x + 8 )}{2}$ .
Her iki tarafı $2$ ile çarp: $26 = (3 x - 2) + (x + 8) = 4 x + 6$ .
$4 x = 20 \Rightarrow x = 5$ .

Sonuç:

x = 5

Soru 5Orta

Bir tiyatro salonunda birinci sırada

15

koltuk vardır ve her sıra bir öncekinden

3

koltuk fazladır. Salonda toplam

12

sıra bulunduğuna göre salondaki toplam koltuk sayısı kaçtır?

Sıra koltukları aritmetik dizi oluşturur: $a_{1} = 15$ , $d = 3$ , $n = 12$ .
Son sıra (12. terim): $a_{12} = 15 + (12 - 1) \cdot 3 = 15 + 33 = 48$ .
İlk-son terim formülü: $S_{12} = \frac{12 ( a _{1} + a _{12} )}{2} = \frac{12 ( 15 + 48 )}{2}$ .
$S_{12} = 6 \cdot 63 = 378$ .

Sonuç: Toplam

378

koltuk.

Soru 6Zor

İlk terimi

52

, ortak farkı

- 6

olan aritmetik dizide ilk kaç terimin toplamı en büyüktür?

Genel terim: $a_{n} = 52 + (n - 1) (- 6) = 58 - 6 n$ .
Toplam, terimler pozitif kaldıkça büyür; $a_{n} \geq 0$ olan en büyük $n$ 'yi ararız.
$58 - 6 n \geq 0 \Rightarrow n \leq \frac{58}{6} \approx 9, 67$ , yani en büyük tam sayı $n = 9$ .
Kontrol: $a_{9} = 58 - 54 = 4 > 0$ , $a_{10} = 58 - 60 = - 2 < 0$ . 10. terim negatif olduğundan eklenince toplamı küçültür.
Demek ki ilk $9$ terimin toplamı en büyüktür.

Sonuç: İlk

9

terim.

0/6 soru cevaplandı

1. Ortak Fark

2. Genel Terim

3. İki Bilgiden Diziyi Bulma

4. İlk n Terim Toplamı

5. Aritmetik Orta

Çözümlü Örnekler

Alıştırmalar — Sıra Sende

Sık Yapılan Hatalar

Sınav Tarzı Sorular

Çözümlü Sorular

Diziler — diğer konular

4. İlk $n$ Terim Toplamı