10. Sınıf · Sayılar

EBOB ve EKOK

~7 dk okumaZorluk: Orta6 çözümlü soru

İki veya daha çok sayının ortak bölenlerinin en büyüğü EBOB, ortak katlarının en küçüğü EKOK'tur. Bu derste asal çarpanlara ayırma yöntemiyle EBOB ve EKOK'u bulmayı, aralarındaki çarpım ilişkisini ( $EBOB \cdot EKOK = a \cdot b$ ) ve bunların geçtiği günlük problemleri (aynı anda çalma, en büyük parça, tur atma) çözmeyi öğreneceğiz. Bol örnek ve "Sıra Sende" alıştırmalarıyla pekiştireceğiz.

1. EBOB (En Büyük Ortak Bölen)

EBOB, sayıların ortak asal çarpanlarının en küçük üslüleri çarpılarak bulunur. ("Ortak olanı, en az üssüyle al.")

Örnek

Soru

$EBOB (48, 72)$ değerini bulunuz.

Ayır: $48 = 2^{4} \cdot 3$ , $72 = 2^{3} \cdot 3^{2}$ .
Ortak çarpanlar $2$ ve $3$ ; en küçük üsler $2^{3}$ ve $3^{1}$ .
$EBOB = 2^{3} \cdot 3 = 24$ .

Sonuç:

EBOB (48, 72) = 24

2. EKOK (En Küçük Ortak Kat)

EKOK, sayılarda görülen tüm asal çarpanların en büyük üslüleri çarpılarak bulunur. ("Görünen her asalı, en çok üssüyle al.")

Örnek

Soru

$EKOK (48, 72)$ değerini bulunuz.

$48 = 2^{4} \cdot 3$ , $72 = 2^{3} \cdot 3^{2}$ .
Tüm asallar $2$ ve $3$ ; en büyük üsler $2^{4}$ ve $3^{2}$ .
$EKOK = 2^{4} \cdot 3^{2} = 16 \cdot 9 = 144$ .

Sonuç:

EKOK (48, 72) = 144

Şekil 1 —

48 = 2^{4} \cdot 3

72 = 2^{3} \cdot 3^{2}

'nin asal çarpanları. Ortak kısım (

2^{3} \cdot 3

) EBOB

= 24

'tür; iki dairenin birleşimi (

2^{4} \cdot 3^{2}

) ise EKOK

= 144

'tür. EBOB ortak (en küçük üs), EKOK ise tüm çarpanları (en büyük üs) toplar.

3. EBOB · EKOK İlişkisi

İki sayı için EBOB ile EKOK'un çarpımı, sayıların çarpımına eşittir:

$EBOB (a, b) \cdot EKOK (a, b) = a \cdot b$

Örnek

Soru

$a$ ve $b$ sayıları için $EBOB = 6$ , $EKOK = 72$ ve $a = 24$ ise $b$ kaçtır?

$EBOB \cdot EKOK = a \cdot b$ bağıntısını kullan; bilinmeyen $b$ 'yi yalnız bırak.

$EBOB \cdot EKOK = a \cdot b \Rightarrow 6 \cdot 72 = 24 \cdot b$ .
$432 = 24 b \Rightarrow b = 18$ .

Sonuç:

b = 18

4. Problemler

EKOK problemi (aynı anda olma): "her $a$ dakikada bir ... ve her $b$ dakikada bir ..." → ilk kez birlikte $EKOK (a, b)$ sonra olur.
EBOB problemi (en büyük eşit parça): "şu boyutları eşit ve en büyük parçalara böl" → parça boyu $EBOB$ 'tur.

Örnek

Soru

Biri $12$ , diğeri $18$ dakikada bir çalan iki zil saat $09 : 00$ 'da birlikte çaldı. İlk kez tekrar birlikte saat kaçta çalar?

Birlikte çalma aralığı $EKOK (12, 18)$ .
$12 = 2^{2} \cdot 3$ , $18 = 2 \cdot 3^{2}$ ; $EKOK = 2^{2} \cdot 3^{2} = 36$ dakika.
$09 : 00 + 36$ dk $= 09 : 36$ .

Sonuç: Saat

09 : 36

'da.

Çözümlü Örnekler

Örnek

Soru

$EBOB (36, 90)$ ve $EKOK (36, 90)$ değerlerini bulunuz.

$36 = 2^{2} \cdot 3^{2}$ , $90 = 2 \cdot 3^{2} \cdot 5$ .
EBOB (ortak, en küçük üs): $2 \cdot 3^{2} = 18$ .
EKOK (hepsi, en büyük üs): $2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 5 = 180$ .

Sonuç: EBOB

= 18

, EKOK

= 180

Örnek

Soru

Boyutları $24$ cm ve $36$ cm olan iki ipi, hiç artmayacak ve en uzun olacak şekilde eşit parçalara böleceğiz. Her parça kaç cm olmalıdır?

"Eşit ve en uzun parça" → $EBOB (24, 36)$ .
$24 = 2^{3} \cdot 3$ , $36 = 2^{2} \cdot 3^{2}$ ; EBOB $= 2^{2} \cdot 3 = 12$ .

Sonuç: Her parça

12

cm.

Örnek

Soru

İki sayının çarpımı $600$ , EBOB'u $10$ ise EKOK'u kaçtır?

$EBOB \cdot EKOK = a \cdot b \Rightarrow 10 \cdot EKOK = 600$ .
$EKOK = 60$ .

Sonuç:

60

Örnek

Soru

Bir miktar şeker $4$ 'erli, $6$ 'şarlı ve $9$ 'arlı paketlere tam bölünüyor. Bu miktarın olabilecek en küçük değeri kaçtır?

"Hepsine tam bölünen en küçük sayı" → $EKOK (4, 6, 9)$ .
$4 = 2^{2}$ , $6 = 2 \cdot 3$ , $9 = 3^{2}$ ; EKOK $= 2^{2} \cdot 3^{2} = 36$ .

Sonuç:

36

Alıştırmalar — Sıra Sende

Önce kendin çözmeyi dene; sonra çözümü açıp karşılaştır.

Örnek

Soru

$EBOB (20, 30)$ kaçtır?

$20 = 2^{2} \cdot 5$ , $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$ ; ortak $2 \cdot 5 = 10$ .

Sonuç:

10

Örnek

Soru

$EKOK (8, 12)$ kaçtır?

$8 = 2^{3}$ , $12 = 2^{2} \cdot 3$ ; EKOK $= 2^{3} \cdot 3 = 24$ .

Sonuç:

24

Örnek

Soru

İki sayının EBOB'u $5$ , EKOK'u $60$ ve biri $20$ ise diğeri kaçtır?

$5 \cdot 60 = 20 \cdot b \Rightarrow 300 = 20 b \Rightarrow b = 15$ .

Sonuç:

15

Örnek

Soru

$15$ ve $20$ dakikada bir kalkan iki otobüs $08 : 00$ 'da birlikte kalktı. Bir sonraki ortak kalkış saat kaçtadır?

$EKOK (15, 20)$ : $15 = 3 \cdot 5$ , $20 = 2^{2} \cdot 5$ ; EKOK $= 2^{2} \cdot 3 \cdot 5 = 60$ dk.
$08 : 00 + 60$ dk $= 09 : 00$ .

Sonuç:

09 : 00

Örnek

Soru

$48$ , $60$ ve $72$ boyutlu üç çubuğu eşit ve en uzun parçalara bölersek her parça kaç birim olur?

$EBOB (48, 60, 72)$ : $48 = 2^{4} \cdot 3$ , $60 = 2^{2} \cdot 3 \cdot 5$ , $72 = 2^{3} \cdot 3^{2}$ .
Ortak en küçük üsler: $2^{2} \cdot 3 = 12$ .

Sonuç:

12

birim.

Örnek

Soru

$EKOK (6, 8, 15)$ kaçtır?

$6 = 2 \cdot 3$ , $8 = 2^{3}$ , $15 = 3 \cdot 5$ .
Tüm asallar $2, 3, 5$ ; en büyük üsler $2^{3}, 3^{1}, 5^{1}$ .
$EKOK = 2^{3} \cdot 3 \cdot 5 = 120$ .

Sonuç:

120

Örnek

Soru

İki kenarı $36$ cm ve $48$ cm olan dikdörtgen bir zemin, aynı boyutta en büyük kare fayanslarla hiç boşluk kalmadan döşeniyor. Kaç fayans gerekir?

Fayansın kenarı, hem $36$ 'yı hem $48$ 'i tam bölmeli ve en büyük olmalı → $EBOB (36, 48)$ . Fayans sayısı için alanı kare alanına böl.

Kare kenarı $= EBOB (36, 48)$ . $36 = 2^{2} \cdot 3^{2}$ , $48 = 2^{4} \cdot 3$ ; EBOB $= 2^{2} \cdot 3 = 12$ cm.
Bir kenarda $36/12 = 3$ , diğerinde $48/12 = 4$ fayans.
Toplam: $3 \cdot 4 = 12$ fayans.

Sonuç:

12

fayans (her biri

12 \times 12

cm).

Örnek

Soru

$5$ 'e bölündüğünde $3$ , $6$ 'ya bölündüğünde $4$ kalanını veren en küçük pozitif tam sayı kaçtır?

Her iki koşulda kalan, bölenden $2$ eksik ( $5 - 3 = 2$ , $6 - 4 = 2$ ). Demek ki sayının $2$ fazlası hem $5$ 'e hem $6$ 'ya tam bölünür.

$5 - 3 = 2$ ve $6 - 4 = 2$ ; eksik kalan aynı, $2$ .
O hâlde $N + 2$ hem $5$ 'e hem $6$ 'ya bölünür → $N + 2 = EKOK (5, 6) \cdot k = 30 k$ .
En küçük pozitif için $k = 1$ : $N + 2 = 30 \Rightarrow N = 28$ .
Kontrol: $28 = 5 \cdot 5 + 3$ (kalan $3$ ), $28 = 6 \cdot 4 + 4$ (kalan $4$ ). ✓

Sonuç:

28

Örnek

Soru

İki sayının EBOB'u $8$ , EKOK'u $240$ 'tır. Bu koşula uyan kaç farklı sayı çifti ${a, b}$ vardır?

$a = 8 x$ , $b = 8 y$ yaz; burada $x, y$ aralarında asaldır. EKOK $= 8 x y = 240 \Rightarrow x y = 30$ . $30$ 'u aralarında asal iki çarpana ayırmanın yollarını say.

$a = 8 x, b = 8 y$ ve $EBOB (x, y) = 1$ .
$EKOK (a, b) = 8 x y = 240 \Rightarrow x y = 30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$ .
$30$ 'u aralarında asal ${x, y}$ çiftlerine ayır: ${1, 30}, {2, 15}, {3, 10}, {5, 6}$ → $4$ çift.
Her çift bir ${a, b}$ verir: ${8, 240}, {16, 120}, {24, 80}, {40, 48}$ .

Sonuç:

4

farklı çift.

Sık Yapılan Hatalar

EBOB ile EKOK kuralını karıştırmak. EBOB: ortak çarpanlar, en küçük üs. EKOK: tüm çarpanlar, en büyük üs.
EBOB·EKOK ilişkisini ikiden çok sayıya uygulamak. $EBOB \cdot EKOK = a \cdot b$ yalnız iki sayı için geçerlidir.
Problemde yanlış aracı seçmek. "Aynı anda/tekrar" → EKOK; "eşit en büyük parça/grup" → EBOB.
Ortak olmayan çarpanı EBOB'a katmak. Bir asal yalnız bir sayıda varsa EBOB'a girmez (EKOK'a girer).
"Kalan" problemini doğrudan EKOK sanmak. Bölenden eşit miktarda eksik kalan veriliyorsa ( $5 - 3 = 6 - 4 = 2$ gibi), önce $N + 2$ 'nin EKOK'a eşit olduğunu kur; kalanı unutma.

Not: Problemi okurken anahtar kelimeyi yakala: "en büyük/eşit böl" → EBOB, "en küçük/aynı anda" → EKOK. İkisi de önce asal çarpanlara ayırmakla başlar.

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, konuyu sınav formatında (5 şıklı) pekiştirmen için özgün biçimde hazırlanmıştır.

Çözümlü Sorular

Her soruyu önce kendin dene; takıldığında Çözüme Bak.

Soru 1Orta

EKOK (9, 12, 20)

değeri kaçtır?

Sayıları asal çarpanlarına ayır: $9 = 3^{2}$ , $12 = 2^{2} \cdot 3$ , $20 = 2^{2} \cdot 5$ .
EKOK için görünen tüm asalları en büyük üsleriyle al: $2^{2}, 3^{2}, 5^{1}$ .
$EKOK = 2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 5 = 4 \cdot 9 \cdot 5 = 180$ .

Sonuç:

180

Soru 2Orta

Bir miktar bilye

8

'erli,

12

'şerli ve

18

'erli gruplara hiç artmadan tam olarak ayrılabiliyor. Bu bilye sayısının olabilecek en küçük değeri kaçtır?

"Hepsine tam bölünen en küçük sayı" istendiği için $EKOK (8, 12, 18)$ bulunur.
$8 = 2^{3}$ , $12 = 2^{2} \cdot 3$ , $18 = 2 \cdot 3^{2}$ .
Tüm asalları en büyük üsleriyle al: $EKOK = 2^{3} \cdot 3^{2} = 8 \cdot 9 = 72$ .

Sonuç:

72

Soru 3Kolay

EBOB (60, 84)

değeri kaçtır?

$60 = 2^{2} \cdot 3 \cdot 5$ , $84 = 2^{2} \cdot 3 \cdot 7$ .
EBOB için ortak asalları en küçük üsleriyle al: ortak olanlar $2$ ve $3$ .
$EBOB = 2^{2} \cdot 3 = 12$ .

Sonuç:

12

Soru 4Kolay

Biri

20

, diğeri

30

dakikada bir çalan iki alarm saat

14 : 00

'te birlikte çaldı. Bu iki alarm bir sonraki sefer ilk kez saat kaçta birlikte çalar?

"İlk kez tekrar birlikte çalma" aralığı $EKOK (20, 30)$ dakikadır.
$20 = 2^{2} \cdot 5$ , $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$ ; $EKOK = 2^{2} \cdot 3 \cdot 5 = 60$ dakika.
$14 : 00 + 60$ dk $= 15 : 00$ .

Sonuç:

15 : 00

Soru 5Orta

a

b

pozitif tam sayıları için

EBOB (a, b) = 15

EKOK (a, b) = 90

a = 45

olduğuna göre

b

kaçtır?

İki sayı için $EBOB \cdot EKOK = a \cdot b$ bağıntısını kullan.
$15 \cdot 90 = 45 \cdot b \Rightarrow 1350 = 45 b$ .
$b = \frac{1350}{45} = 30$ .

Sonuç:

30

Soru 6Zor

İki pozitif tam sayının EBOB'u

6

, EKOK'u

180

'dir. Bu koşulu sağlayan kaç farklı

{a, b}

sayı çifti vardır?

$a = 6 x$ , $b = 6 y$ ve $EBOB (x, y) = 1$ (aralarında asal) yaz.
$EKOK (a, b) = 6 x y = 180 \Rightarrow x y = 30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$ .
$30$ 'u aralarında asal iki çarpana ayır: ${1, 30}, {2, 15}, {3, 10}, {5, 6}$ → $4$ çift.
Bunlar ${6, 180}, {12, 90}, {18, 60}, {30, 36}$ çiftlerini verir.

Sonuç:

4

0/6 soru cevaplandı

1. EBOB (En Büyük Ortak Bölen)

2. EKOK (En Küçük Ortak Kat)

3. EBOB · EKOK İlişkisi

4. Problemler

Çözümlü Örnekler

Alıştırmalar — Sıra Sende

Sık Yapılan Hatalar

Sınav Tarzı Sorular

Çözümlü Sorular

Sayılar — diğer konular