10. Sınıf · Sayılar

Bölünebilme Kuralları

~7 dk okumaZorluk: Orta17 çözümlü soru

Bir sayının başka bir sayıya bölme yapmadan tam bölünüp bölünmediğini anlamanın kısa yolları vardır. Bu derste $2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 8,\ 9,\ 10,\ 11$ ile bölünebilme kurallarını, bir sayının bölümünden kalanı bulmayı ve bu kuralları içeren problemleri öğreneceğiz. Bölünebilme; asal çarpanlara ayırma ve EBOB-EKOK ile birlikte sayılar temasının pratik araç kutusudur. Bol örnek ve "Sıra Sende" alıştırmalarıyla pekiştireceğiz.

1. Temel Bölünebilme Kuralları

Bölen	Kural
$2$	Birler basamağı çift ( $0,2,4,6,8$ ).
$5$	Birler basamağı $0$ ya da $5$ .
$10$	Birler basamağı $0$ .
$4$	Son iki basamağın oluşturduğu sayı $4$ 'e bölünür.
$8$	Son üç basamağın oluşturduğu sayı $8$ 'e bölünür.
$3$	Rakamlar toplamı $3$ 'e bölünür.
$9$	Rakamlar toplamı $9$ 'a bölünür.

Örnek

Soru

$4\,572$ sayısı $3$ ve $4$ ile bölünür mü?

$3$ için rakamlar toplamı: $4+5+7+2=18$ ; $18$ , $3$ 'e bölünür → evet.
$4$ için son iki basamak: $72$ ; $72=4\cdot 18$ → evet.

Sonuç: Hem

3

hem

4

ile bölünür.

2. 11 ile Bölünebilme

Sağdan başlayarak rakamlara sırayla $+,\ -,\ +,\ -\dots$ işaret verilir; bu alternatif toplam $0$ ya da $11$ 'in katıysa sayı $11$ 'e bölünür.

Örnek

Soru

$8\,294$ sayısı $11$ ile bölünür mü?

Birler basamağından başlayıp dönüşümlü olarak topla-çıkar; sonuç $0$ veya $\pm 11, \pm 22,\dots$ ise bölünür.

Sağdan: $4-9+2-8=-11$ .
$-11$ , $11$ 'in katıdır.

Sonuç: Evet,

11

ile bölünür.

Şekil 1 —

8\,294

için

11

kuralı. Birler basamağından başlayıp rakamlara dönüşümlü

+,-,+,-

işareti veririz:

4-9+2-8=-11

. Sonuç

11

'in katı olduğundan sayı

11

'e bölünür. (İşareti soldan başlatırsan yanılırsın — daima sağdan başla.)

3. Bileşik Bölenler

Aralarında asal olan bölenlerin kuralları birlikte uygulanır:

$6=2\cdot 3$ → hem $2$ hem $3$ ile bölünüyorsa $6$ ile bölünür.
$12=3\cdot 4$ → hem $3$ hem $4$ ile bölünmeli.
$15=3\cdot 5$ , $18=2\cdot 9$ benzer şekilde.

Örnek

Soru

$2\,3\square$ üç basamaklı sayısının $6$ ile bölünebilmesi için $\square$ yerine gelebilecek rakamları bulunuz.

$6=2\cdot 3$ ; sayı hem çift hem $3$ 'e bölünmeli.
Çift olması için $\square\in\{0,2,4,6,8\}$ .
$3$ 'e bölünme: $2+3+\square=5+\square$ değeri $3$ 'ün katı olmalı → $\square\in\{1,4,7\}$ .
İki koşulun ortak çözümü: $\square=4$ .

Sonuç:

\square=4

(sayı

234

4. Kalan Bulma

Bir sayının bir bölene göre kalanı, çoğu zaman kuralın "artığı"yla bulunur. Örneğin $9$ 'a göre kalan, rakamlar toplamının $9$ 'a göre kalanına eşittir.

Örnek

Soru

$5\,738$ sayısının $9$ ile bölümünden kalanı bulunuz.

Rakamlar toplamı: $5+7+3+8=23$ .
$23$ 'ün $9$ 'a bölümünden kalan: $23=2\cdot 9+5$ → kalan $5$ .

Sonuç: Kalan

5

Çözümlü Örnekler

Örnek

Soru

$1\,2\square 4$ sayısının $4$ ile bölünebilmesi için $\square$ kaç farklı değer alabilir?

$4$ kuralı: son iki basamak $\square 4$ sayısı $4$ 'e bölünmeli.
$\square 4$ değerleri: $04,14,24,\dots,94$ . $4$ 'e bölünenler: $04,24,44,64,84$ → $\square\in\{0,2,4,6,8\}$ .

Sonuç:

5

farklı değer.

Örnek

Soru

$3\,A\,1$ üç basamaklı sayısı $9$ ile tam bölünüyorsa $A$ kaçtır?

Rakamlar toplamı $3+A+1=4+A$ , $9$ 'un katı olmalı.
$4+A=9\Rightarrow A=5$ (tek geçerli rakam).

Sonuç:

A=5

Örnek

Soru

$7\,425$ sayısı $5$ , $9$ ve $11$ 'den hangileriyle bölünür?

$5$ : birler $5$ → evet.
$9$ : $7+4+2+5=18$ , $9$ 'a bölünür → evet.
$11$ : $5-2+4-7=0$ → evet.

Sonuç: Üçüyle de bölünür.

Örnek

Soru

$2\,468$ sayısının $3$ ile bölümünden kalanı bulunuz.

Rakamlar toplamı: $2+4+6+8=20$ .
$20$ 'nin $3$ 'e bölümünden kalan: $20=6\cdot3+2$ → kalan $2$ .

Sonuç: Kalan

2

Alıştırmalar — Sıra Sende

Önce kendin çözmeyi dene; sonra çözümü açıp karşılaştır.

Örnek

Soru

$5\,130$ sayısı $9$ ile bölünür mü?

$5+1+3+0=9$ ; $9$ 'a bölünür.

Sonuç: Evet.

Örnek

Soru

$3\,21\square$ sayısının $5$ ile bölünebilmesi için $\square$ ne olmalı?

$5$ kuralı: birler $0$ ya da $5$ .

Sonuç:

\square\in\{0,\ 5\}

Örnek

Soru

$4\,B\,6$ sayısı $3$ ile bölünüyorsa $B$ kaç farklı değer alabilir?

$4+B+6=10+B$ , $3$ 'ün katı olmalı.
$B\in\{2,5,8\}$ (toplam $12,15,18$ ).

Sonuç:

3

farklı değer.

Örnek

Soru

$9\,361$ sayısı $11$ ile bölünür mü?

Sağdan: $1-6+3-9=-11$ → $11$ 'in katı.

Sonuç: Evet.

Örnek

Soru

$8\,1\square$ sayısının hem $2$ hem $3$ ile (yani $6$ ile) bölünmesi için $\square$ kaç olabilir?

Çift: $\square\in\{0,2,4,6,8\}$ .
$3$ : $8+1+\square=9+\square$ , $3$ 'ün katı → $\square\in\{0,3,6,9\}$ .
Ortak: $\square\in\{0,6\}$ .

Sonuç:

\square\in\{0,\ 6\}

Örnek

Soru

$72\,5\square$ sayısının $8$ ile bölünebilmesi için $\square$ kaç olabilir?

$8$ kuralı: son üç basamak $5\square$ değil, $25\square$ sayısı $8$ 'e bölünmeli.
$25\square$ değerleri $250\dots259$ arası; $8$ 'e bölünen tek değer $256=8\cdot 32$ .
$\square=6$ .

Sonuç:

\square=6

(sayı

7256

Örnek

Soru

$1\,4\,7\,A$ sayısının $4$ ile bölümünden kalan $2$ ise $A$ rakamının alabileceği değerleri bulunuz.

$4$ ile bölünme yalnız son iki basamağa ( $7A$ ) bağlıdır. $7A$ sayısının $4$ 'e bölümünden kalan $2$ olmalı.

Kalan, son iki basamak $7A=70+A$ 'nın $4$ 'e göre kalanına eşittir.
$70=4\cdot 17+2$ , kalanı $2$ ; o hâlde $(2+A)$ 'nın $4$ 'e bölümünden kalan $2$ olmalı → $A$ , $4$ 'ün katı.
$A\in\{0,4,8\}$ . (Kontrol: $70,74,78$ → kalanlar $2,2,2$ .) ✓

Sonuç:

A\in\{0,\ 4,\ 8\}

Örnek

Soru

$5\,A\,B\,0$ dört basamaklı sayısı hem $9$ hem $11$ ile bölünüyorsa $A+B$ kaçtır?

$9$ kuralı rakam toplamına, $11$ kuralı alternatif toplama bakar. İki denklemi kur; $A,B$ tek rakam ( $0$ – $9$ ) olduğundan tek çözümü ara.

$9$ için: $5+A+B+0=5+A+B$ , $9$ 'un katı olmalı → $A+B\in\{4,13\}$ .
$11$ için (sağdan $+,-,+,-$ ): $0-B+A-5=A-B-5$ , $11$ 'in katı olmalı → $A-B-5\in\{-11,0\}$ → $A-B=-6$ veya $A-B=5$ .
$A,B\in\{0,\dots,9\}$ deneyelim: $A+B=13$ ve $A-B=5$ → $A=9,\ B=4$ (geçerli). Diğer birleşimler tek rakam vermez.
Demek $A=9,\ B=4$ ve $A+B=13$ .

Sonuç:

A+B=13

(sayı

5940

Örnek

Soru

Rakamları farklı, $\overline{3\,a\,4}$ biçiminde, $6$ ile bölünebilen kaç farklı üç basamaklı sayı vardır?

$6=2\cdot 3$ . Sayı zaten $4$ ile bittiğinden çift; yalnız $3$ koşulunu uygula. Sonra rakamların farklı olma şartını ( $a\ne 3,\ a\ne 4$ ) ele.

Birler basamağı $4$ → sayı çift, $2$ koşulu sağlanır.
$3$ için: $3+a+4=7+a$ , $3$ 'ün katı → $a\in\{2,5,8\}$ (toplam $9,12,15$ ).
Rakamlar farklı olmalı: $a\ne 3$ ve $a\ne 4$ ; $\{2,5,8\}$ zaten bunları içermez.
$3$ farklı değer → $3$ sayı ( $324,\ 354,\ 384$ ).

Sonuç:

3

farklı sayı.

Sık Yapılan Hatalar

$4$ ve $8$ 'i rakam toplamıyla denemek. $4$ son iki, $8$ son üç basamağa bakar; rakam toplamı $3$ ve $9$ içindir.
$6,\ 12,\ 15$ için tek kural aramak. Bunlar bileşiktir; çarpanlarının (aralarında asal) tüm kurallarını birlikte sağlamak gerekir.
$11$ 'de işaretleri yanlış başlatmak. Alternatif toplama birler basamağından başla; sonuç $0$ veya $11$ 'in katı olmalı.
Kalanı bölme yapmadan yanlış okumak. $9$ 'a göre kalan, rakamlar toplamının kalanıdır; rakam toplamının kendisi değil.

Not: $6,8,12$ gibi bileşik bölenlerde sayıyı aralarında asal çarpanlarına böl ( $6=2\cdot3$ ) ve her çarpanın kuralını ayrı ayrı uygula. İki koşulun ortak çözümü cevaptır.

1. Temel Bölünebilme Kuralları

2. 11 ile Bölünebilme

3. Bileşik Bölenler

4. Kalan Bulma

Çözümlü Örnekler

Alıştırmalar — Sıra Sende

Sık Yapılan Hatalar

Sayılar — diğer konular