10. Sınıf · Sayılar

Bölünebilme Kuralları

~7 dk okumaZorluk: Orta6 çözümlü soru

Bir sayının başka bir sayıya bölme yapmadan tam bölünüp bölünmediğini anlamanın kısa yolları vardır. Bu derste $2, 3, 4, 5, 8, 9, 10, 11$ ile bölünebilme kurallarını, bir sayının bölümünden kalanı bulmayı ve bu kuralları içeren problemleri öğreneceğiz. Bölünebilme; asal çarpanlara ayırma ve EBOB-EKOK ile birlikte sayılar temasının pratik araç kutusudur. Bol örnek ve "Sıra Sende" alıştırmalarıyla pekiştireceğiz.

1. Temel Bölünebilme Kuralları

Bölen	Kural
$2$	Birler basamağı çift ( $0, 2, 4, 6, 8$ ).
$5$	Birler basamağı $0$ ya da $5$ .
$10$	Birler basamağı $0$ .
$4$	Son iki basamağın oluşturduğu sayı $4$ 'e bölünür.
$8$	Son üç basamağın oluşturduğu sayı $8$ 'e bölünür.
$3$	Rakamlar toplamı $3$ 'e bölünür.
$9$	Rakamlar toplamı $9$ 'a bölünür.

Örnek

Soru

$4572$ sayısı $3$ ve $4$ ile bölünür mü?

$3$ için rakamlar toplamı: $4 + 5 + 7 + 2 = 18$ ; $18$ , $3$ 'e bölünür → evet.
$4$ için son iki basamak: $72$ ; $72 = 4 \cdot 18$ → evet.

Sonuç: Hem

3

hem

4

ile bölünür.

2. 11 ile Bölünebilme

Sağdan başlayarak rakamlara sırayla $+, -, +, - \dots$ işaret verilir; bu alternatif toplam $0$ ya da $11$ 'in katıysa sayı $11$ 'e bölünür.

Örnek

Soru

$8294$ sayısı $11$ ile bölünür mü?

Birler basamağından başlayıp dönüşümlü olarak topla-çıkar; sonuç $0$ veya $\pm 11, \pm 22, \dots$ ise bölünür.

Sağdan: $4 - 9 + 2 - 8 = - 11$ .
$- 11$ , $11$ 'in katıdır.

Sonuç: Evet,

11

ile bölünür.

Şekil 1 —

8294

için

11

kuralı. Birler basamağından başlayıp rakamlara dönüşümlü

+, -, +, -

işareti veririz:

4 - 9 + 2 - 8 = - 11

. Sonuç

11

'in katı olduğundan sayı

11

'e bölünür. (İşareti soldan başlatırsan yanılırsın — daima sağdan başla.)

3. Bileşik Bölenler

Aralarında asal olan bölenlerin kuralları birlikte uygulanır:

$6 = 2 \cdot 3$ → hem $2$ hem $3$ ile bölünüyorsa $6$ ile bölünür.
$12 = 3 \cdot 4$ → hem $3$ hem $4$ ile bölünmeli.
$15 = 3 \cdot 5$ , $18 = 2 \cdot 9$ benzer şekilde.

Örnek

Soru

$23 □$ üç basamaklı sayısının $6$ ile bölünebilmesi için $□$ yerine gelebilecek rakamları bulunuz.

$6 = 2 \cdot 3$ ; sayı hem çift hem $3$ 'e bölünmeli.
Çift olması için $□ \in {0, 2, 4, 6, 8}$ .
$3$ 'e bölünme: $2 + 3 + □ = 5 + □$ değeri $3$ 'ün katı olmalı → $□ \in {1, 4, 7}$ .
İki koşulun ortak çözümü: $□ = 4$ .

Sonuç:

□ = 4

(sayı

234

4. Kalan Bulma

Bir sayının bir bölene göre kalanı, çoğu zaman kuralın "artığı"yla bulunur. Örneğin $9$ 'a göre kalan, rakamlar toplamının $9$ 'a göre kalanına eşittir.

Örnek

Soru

$5738$ sayısının $9$ ile bölümünden kalanı bulunuz.

Rakamlar toplamı: $5 + 7 + 3 + 8 = 23$ .
$23$ 'ün $9$ 'a bölümünden kalan: $23 = 2 \cdot 9 + 5$ → kalan $5$ .

Sonuç: Kalan

5

Çözümlü Örnekler

Örnek

Soru

$12 □ 4$ sayısının $4$ ile bölünebilmesi için $□$ kaç farklı değer alabilir?

$4$ kuralı: son iki basamak $□ 4$ sayısı $4$ 'e bölünmeli.
$□ 4$ değerleri: $04, 14, 24, \dots, 94$ . $4$ 'e bölünenler: $04, 24, 44, 64, 84$ → $□ \in {0, 2, 4, 6, 8}$ .

Sonuç:

5

farklı değer.

Örnek

Soru

$3 A 1$ üç basamaklı sayısı $9$ ile tam bölünüyorsa $A$ kaçtır?

Rakamlar toplamı $3 + A + 1 = 4 + A$ , $9$ 'un katı olmalı.
$4 + A = 9 \Rightarrow A = 5$ (tek geçerli rakam).

Sonuç:

A = 5

Örnek

Soru

$7425$ sayısı $5$ , $9$ ve $11$ 'den hangileriyle bölünür?

$5$ : birler $5$ → evet.
$9$ : $7 + 4 + 2 + 5 = 18$ , $9$ 'a bölünür → evet.
$11$ : $5 - 2 + 4 - 7 = 0$ → evet.

Sonuç: Üçüyle de bölünür.

Örnek

Soru

$2468$ sayısının $3$ ile bölümünden kalanı bulunuz.

Rakamlar toplamı: $2 + 4 + 6 + 8 = 20$ .
$20$ 'nin $3$ 'e bölümünden kalan: $20 = 6 \cdot 3 + 2$ → kalan $2$ .

Sonuç: Kalan

2

Alıştırmalar — Sıra Sende

Önce kendin çözmeyi dene; sonra çözümü açıp karşılaştır.

Örnek

Soru

$5130$ sayısı $9$ ile bölünür mü?

$5 + 1 + 3 + 0 = 9$ ; $9$ 'a bölünür.

Sonuç: Evet.

Örnek

Soru

$321 □$ sayısının $5$ ile bölünebilmesi için $□$ ne olmalı?

$5$ kuralı: birler $0$ ya da $5$ .

Sonuç:

□ \in {0, 5}

Örnek

Soru

$4 B 6$ sayısı $3$ ile bölünüyorsa $B$ kaç farklı değer alabilir?

$4 + B + 6 = 10 + B$ , $3$ 'ün katı olmalı.
$B \in {2, 5, 8}$ (toplam $12, 15, 18$ ).

Sonuç:

3

farklı değer.

Örnek

Soru

$9361$ sayısı $11$ ile bölünür mü?

Sağdan: $1 - 6 + 3 - 9 = - 11$ → $11$ 'in katı.

Sonuç: Evet.

Örnek

Soru

$81 □$ sayısının hem $2$ hem $3$ ile (yani $6$ ile) bölünmesi için $□$ kaç olabilir?

Çift: $□ \in {0, 2, 4, 6, 8}$ .
$3$ : $8 + 1 + □ = 9 + □$ , $3$ 'ün katı → $□ \in {0, 3, 6, 9}$ .
Ortak: $□ \in {0, 6}$ .

Sonuç:

□ \in {0, 6}

Örnek

Soru

$725 □$ sayısının $8$ ile bölünebilmesi için $□$ kaç olabilir?

$8$ kuralı: son üç basamak $5 □$ değil, $25 □$ sayısı $8$ 'e bölünmeli.
$25 □$ değerleri $250 \dots 259$ arası; $8$ 'e bölünen tek değer $256 = 8 \cdot 32$ .
$□ = 6$ .

Sonuç:

□ = 6

(sayı

7256

Örnek

Soru

$147 A$ sayısının $4$ ile bölümünden kalan $2$ ise $A$ rakamının alabileceği değerleri bulunuz.

$4$ ile bölünme yalnız son iki basamağa ( $7 A$ ) bağlıdır. $7 A$ sayısının $4$ 'e bölümünden kalan $2$ olmalı.

Kalan, son iki basamak $7 A = 70 + A$ 'nın $4$ 'e göre kalanına eşittir.
$70 = 4 \cdot 17 + 2$ , kalanı $2$ ; o hâlde $(2 + A)$ 'nın $4$ 'e bölümünden kalan $2$ olmalı → $A$ , $4$ 'ün katı.
$A \in {0, 4, 8}$ . (Kontrol: $70, 74, 78$ → kalanlar $2, 2, 2$ .) ✓

Sonuç:

A \in {0, 4, 8}

Örnek

Soru

$5 A B 0$ dört basamaklı sayısı hem $9$ hem $11$ ile bölünüyorsa $A + B$ kaçtır?

$9$ kuralı rakam toplamına, $11$ kuralı alternatif toplama bakar. İki denklemi kur; $A, B$ tek rakam ( $0$ – $9$ ) olduğundan tek çözümü ara.

$9$ için: $5 + A + B + 0 = 5 + A + B$ , $9$ 'un katı olmalı → $A + B \in {4, 13}$ .
$11$ için (sağdan $+, -, +, -$ ): $0 - B + A - 5 = A - B - 5$ , $11$ 'in katı olmalı → $A - B - 5 \in {- 11, 0}$ → $A - B = - 6$ veya $A - B = 5$ .
$A, B \in {0, \dots, 9}$ deneyelim: $A + B = 13$ ve $A - B = 5$ → $A = 9, B = 4$ (geçerli). Diğer birleşimler tek rakam vermez.
Demek $A = 9, B = 4$ ve $A + B = 13$ .

Sonuç:

A + B = 13

(sayı

5940

Örnek

Soru

Rakamları farklı, $\overline{3 a 4}$ biçiminde, $6$ ile bölünebilen kaç farklı üç basamaklı sayı vardır?

$6 = 2 \cdot 3$ . Sayı zaten $4$ ile bittiğinden çift; yalnız $3$ koşulunu uygula. Sonra rakamların farklı olma şartını ( $a \neq = 3, a \neq = 4$ ) ele.

Birler basamağı $4$ → sayı çift, $2$ koşulu sağlanır.
$3$ için: $3 + a + 4 = 7 + a$ , $3$ 'ün katı → $a \in {2, 5, 8}$ (toplam $9, 12, 15$ ).
Rakamlar farklı olmalı: $a \neq = 3$ ve $a \neq = 4$ ; ${2, 5, 8}$ zaten bunları içermez.
$3$ farklı değer → $3$ sayı ( $324, 354, 384$ ).

Sonuç:

3

farklı sayı.

Sık Yapılan Hatalar

$4$ ve $8$ 'i rakam toplamıyla denemek. $4$ son iki, $8$ son üç basamağa bakar; rakam toplamı $3$ ve $9$ içindir.
$6, 12, 15$ için tek kural aramak. Bunlar bileşiktir; çarpanlarının (aralarında asal) tüm kurallarını birlikte sağlamak gerekir.
$11$ 'de işaretleri yanlış başlatmak. Alternatif toplama birler basamağından başla; sonuç $0$ veya $11$ 'in katı olmalı.
Kalanı bölme yapmadan yanlış okumak. $9$ 'a göre kalan, rakamlar toplamının kalanıdır; rakam toplamının kendisi değil.

Not: $6, 8, 12$ gibi bileşik bölenlerde sayıyı aralarında asal çarpanlarına böl ( $6 = 2 \cdot 3$ ) ve her çarpanın kuralını ayrı ayrı uygula. İki koşulun ortak çözümü cevaptır.

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, konuyu sınav formatında (5 şıklı) pekiştirmen için özgün biçimde hazırlanmıştır.

Çözümlü Sorular

Her soruyu önce kendin dene; takıldığında Çözüme Bak.

Soru 1Kolay

\overline{27 □}

üç basamaklı sayısının

5

ile bölünebilmesi için

□

yerine kaç farklı rakam gelebilir?

$5$ ile bölünebilme kuralı: birler basamağı $0$ ya da $5$ olmalıdır.
Bu durumda $□ \in {0, 5}$ olur.
Yani $□$ yerine $2$ farklı rakam gelebilir.

Sonuç:

2

farklı rakam (

□ \in {0, 5}

Soru 2Kolay

6802

sayısının

9

ile bölümünden kalan kaçtır?

$9$ 'a göre kalan, rakamlar toplamının $9$ 'a göre kalanına eşittir.
Rakamlar toplamı: $6 + 8 + 0 + 2 = 16$ .
$16 = 1 \cdot 9 + 7$ olduğundan kalan $7$ 'dir.

Sonuç: Kalan

7

Soru 3Orta

\overline{53 □}

üç basamaklı sayısının

6

ile bölünebilmesi için

□

yerine gelebilecek rakam kaçtır?

$6 = 2 \cdot 3$ olduğundan sayı hem $2$ hem $3$ ile bölünmelidir.
$2$ (çift) koşulu: $□ \in {0, 2, 4, 6, 8}$ .
$3$ koşulu: $5 + 3 + □ = 8 + □$ değeri $3$ 'ün katı olmalı → $□ \in {1, 4, 7}$ .
İki koşulun ortak çözümü: $□ = 4$ (sayı $534$ ).

Sonuç:

□ = 4

Soru 4Orta

\overline{7 □ 32}

dört basamaklı sayısı

11

ile tam bölünüyorsa

□

kaçtır?

$11$ kuralı: birler basamağından başlayarak dönüşümlü $+, -, +, -$ işaretle alternatif toplam alınır; sonuç $0$ ya da $11$ 'in katı olmalıdır.
Sağdan: $2 - 3 + □ - 7 = □ - 8$ .
$□ - 8$ ifadesinin $11$ 'in katı olması gerekir. Tek rakam ( $0$ – $9$ ) için tek çözüm $□ - 8 = 0$ , yani $□ = 8$ .
Kontrol: $7832$ için $2 - 3 + 8 - 7 = 0$ . ✓

Sonuç:

□ = 8

(sayı

7832

Soru 5Orta

Bir fabrika günde

\overline{72 B 0}

tane ürün üretmektedir. Bu üretim miktarı hem

5

hem de

9

ile tam bölünebildiğine göre,

B

rakamının alabileceği en büyük değer kaçtır?

Sayı $0$ ile bittiği için $5$ ile bölünme koşulu her durumda sağlanır.
$9$ ile bölünme: rakamlar toplamı $7 + 2 + B + 0 = 9 + B$ değeri $9$ 'un katı olmalı.
$9 + B$ 'nin $9$ 'un katı olması için $B \in {0, 9}$ .
En büyük değer $B = 9$ 'dur (sayı $7290$ ).

Sonuç:

B = 9

(sayı

7290

Soru 6Zor

\overline{473 A}

dört basamaklı sayısının

4

ile bölümünden kalan

3

olduğuna göre,

A

rakamı kaç farklı değer alabilir?

$4$ ile bölünme (ve kalan) yalnız son iki basamağa, yani $\overline{3 A} = 30 + A$ sayısına bağlıdır.
$30 = 4 \cdot 7 + 2$ olduğundan $30$ 'un $4$ 'e göre kalanı $2$ 'dir; dolayısıyla $(2 + A)$ 'nın $4$ 'e göre kalanı $3$ olmalıdır.
$(2 + A) \equiv 3 (mod 4) \Rightarrow A \equiv 1 (mod 4)$ , yani $A \in {1, 5, 9}$ .
Kontrol: $31, 35, 39$ sayılarının $4$ 'e bölümünden kalan sırasıyla $3, 3, 3$ 'tür. ✓
$A$ rakamı $3$ farklı değer alır.

Sonuç:

3

farklı değer (

A \in {1, 5, 9}

0/6 soru cevaplandı

1. Temel Bölünebilme Kuralları

2. 11 ile Bölünebilme

3. Bileşik Bölenler

4. Kalan Bulma

Çözümlü Örnekler

Alıştırmalar — Sıra Sende

Sık Yapılan Hatalar

Sınav Tarzı Sorular

Çözümlü Sorular

Sayılar — diğer konular