10. Sınıf · Sayılar

Asal Çarpanlar ve Bölenler

~7 dk okumaZorluk: Orta6 çözümlü soru

Sayılar temasına bir sayının yapı taşları olan asal çarpanlarıyla başlıyoruz. Bu derste bir doğal sayıyı asal çarpanlarına ayırmayı, bu ayrışımdan pozitif bölen sayısını ve bölenlerin toplamını bulmayı öğreneceğiz. Asal çarpanlara ayırma; EBOB-EKOK, sadeleştirme ve bölünebilme konularının da temelidir — bu temanın geri kalanında sürekli kullanacaksın. Bol örnek ve "Sıra Sende" alıştırmalarıyla pekiştireceğiz.

1. Asal Sayı ve Asal Çarpan

Asal sayı, $1$ ve kendisinden başka pozitif böleni olmayan, $1$ 'den büyük doğal sayıdır: $2, 3, 5, 7, 11, \dots$ ( $1$ asal değildir; $2$ tek çift asaldır.)

Her doğal sayı, asal sayıların çarpımı olarak tek biçimde yazılabilir (asal çarpanlara ayırma):

$N = p_{1}^{a_{1}} \cdot p_{2}^{a_{2}} \dots p_{k}^{a_{k}}$

Örnek

Soru

$360$ sayısını asal çarpanlarına ayırınız.

Küçük asallarla sırayla böl: $360 = 2 \cdot 180 = 2 \cdot 2 \cdot 90 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 45$ .
$45 = 3 \cdot 15 = 3 \cdot 3 \cdot 5$ .
Topla: $360 = 2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 5$ .

Sonuç:

360 = 2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 5

Şekil 1 —

360

sayısının çarpan ağacı. Her adımda en küçük asalı (turuncu yaprak) sola, kalan çarpanı sağa yazarız:

360 \to 2 \cdot 180 \to 2 \cdot 90 \to 2 \cdot 45 \to 3 \cdot 15 \to 3 \cdot 5

. Yapraklardaki asalları sayınca

360 = 2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 5

çıkar.

2. Pozitif Bölen Sayısı

$N = p_{1}^{a_{1}} \cdot p_{2}^{a_{2}} \dots p_{k}^{a_{k}}$ ise $N$ 'nin pozitif bölen sayısı, üslerin birer fazlasının çarpımıdır:

$b \overset{o}{¨} len say ı s ı = (a_{1} + 1) (a_{2} + 1) \dots (a_{k} + 1)$

Örnek

Soru

$360 = 2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 5$ sayısının kaç pozitif böleni vardır?

Her asal çarpanın üssünü $1$ artırıp çarp. Üsler $3, 2, 1$ ise $(3 + 1) (2 + 1) (1 + 1)$ hesapla.

Üsler: $3, 2, 1$ .
Bölen sayısı: $(3 + 1) (2 + 1) (1 + 1) = 4 \cdot 3 \cdot 2 = 24$ .

Sonuç:

24

pozitif bölen.

3. Bölenlerin Toplamı ve Çift/Tek Bölenler

Bölenlerin toplamı, her asal için $(1 + p + p^{2} + \dots + p^{a})$ çarpanlarının çarpımıdır. Pratikte sık sorulan iki ölçü:

Tek bölen sayısı: $2$ 'nin üssünü yok say, kalan üslerle bölen sayısı formülünü uygula.
Çift bölen sayısı: toplam bölen sayısından tek bölen sayısını çıkar.

Örnek

Soru

$72 = 2^{3} \cdot 3^{2}$ sayısının kaç tek, kaç çift böleni vardır?

Toplam bölen: $(3 + 1) (2 + 1) = 12$ .
Tek bölenler: $2$ 'yi yok say, yalnız $3^{2}$ kalır: $(2 + 1) = 3$ tek bölen.
Çift bölenler: $12 - 3 = 9$ .

Sonuç:

3

tek,

9

çift bölen.

Çözümlü Örnekler

Örnek

Soru

$540$ sayısını asal çarpanlarına ayırıp pozitif bölen sayısını bulunuz.

Ayır: $540 = 2^{2} \cdot 3^{3} \cdot 5$ .
Bölen sayısı: $(2 + 1) (3 + 1) (1 + 1) = 3 \cdot 4 \cdot 2 = 24$ .

Sonuç:

540 = 2^{2} \cdot 3^{3} \cdot 5

24

bölen.

Örnek

Soru

$2^{a} \cdot 3^{2}$ sayısının $15$ pozitif böleni varsa $a$ kaçtır?

Bölen sayısı: $(a + 1) (2 + 1) = 15$ .
$(a + 1) \cdot 3 = 15 \Rightarrow a + 1 = 5 \Rightarrow a = 4$ .

Sonuç:

a = 4

Örnek

Soru

$200$ sayısının kaç böleni asaldır?

$200 = 2^{3} \cdot 5^{2}$ .
Asal bölenler yalnız asal çarpanlardır: $2$ ve $5$ .

Sonuç:

2

tane (

2

5

Örnek

Soru

$2^{3} \cdot 5^{2}$ sayısının $5$ ile tam bölünen (yani $5$ 'in katı olan) kaç pozitif böleni vardır?

$5$ 'in katı bölenlerde $5$ en az birinci kuvvetten bulunur. $5^{1}$ 'i sabit ayır, kalan kısmın bölen sayısını say.

$5$ 'in katı bölen $= 5 \cdot (2^{x} \cdot 5^{y})$ biçiminde; $x \in {0, 1, 2, 3}$ , $y \in {0, 1}$ .
Sayısı: $4 \cdot 2 = 8$ .

Sonuç:

8

bölen.

Alıştırmalar — Sıra Sende

Önce kendin çözmeyi dene; sonra çözümü açıp karşılaştır.

Örnek

Soru

$84$ sayısını asal çarpanlarına ayır.

$84 = 2^{2} \cdot 21 = 2^{2} \cdot 3 \cdot 7$ .

Sonuç:

84 = 2^{2} \cdot 3 \cdot 7

Örnek

Soru

$2^{4} \cdot 3 \cdot 5^{2}$ sayısının kaç pozitif böleni vardır?

$(4 + 1) (1 + 1) (2 + 1) = 5 \cdot 2 \cdot 3 = 30$ .

Sonuç:

30

Örnek

Soru

$96$ sayısının kaç çift böleni vardır?

$96 = 2^{5} \cdot 3$ ; toplam bölen $(5 + 1) (1 + 1) = 12$ .
Tek bölen (2'yi yok say): $(1 + 1) = 2$ .
Çift bölen: $12 - 2 = 10$ .

Sonuç:

10

Örnek

Soru

Bir sayı $2^{a} \cdot 7$ biçiminde ve $8$ pozitif böleni varsa $a$ kaçtır?

$(a + 1) (1 + 1) = 8 \Rightarrow (a + 1) \cdot 2 = 8 \Rightarrow a + 1 = 4 \Rightarrow a = 3$ .

Sonuç:

a = 3

Örnek

Soru

$45$ sayısının pozitif bölenlerinin toplamını bulunuz.

$45 = 3^{2} \cdot 5$ . Bölenler: $1, 3, 5, 9, 15, 45$ .
Toplam: $1 + 3 + 5 + 9 + 15 + 45 = 78$ .

Sonuç:

78

Örnek

Soru

$300$ sayısının kaç tek böleni vardır?

$300 = 2^{2} \cdot 3 \cdot 5^{2}$ .
Tek bölen için $2$ 'yi yok say; geriye $3 \cdot 5^{2}$ kalır.
$(1 + 1) (2 + 1) = 2 \cdot 3 = 6$ .

Sonuç:

6

tek bölen.

Örnek

Soru

$2^{5} \cdot 3^{a}$ sayısının $24$ pozitif böleni varsa $a$ kaçtır?

Bölen sayısı: $(5 + 1) (a + 1) = 24$ .
$6 \cdot (a + 1) = 24 \Rightarrow a + 1 = 4 \Rightarrow a = 3$ .

Sonuç:

a = 3

Örnek

Soru

$720$ sayısının kaç böleni tam karedir (yani bir tam sayının karesine eşittir)?

Bir bölenin tam kare olması için asal çarpanlarının tüm üsleri çift olmalıdır. Her asal için seçilebilecek çift üsleri ( $0, 2, 4, \dots$ ) say.

$720 = 2^{4} \cdot 3^{2} \cdot 5$ .
Tam kare bölen $2^{x} \cdot 3^{y} \cdot 5^{z}$ 'de $x, y, z$ çift olmalı.
$x \in {0, 2, 4}$ (3 seçenek), $y \in {0, 2}$ (2 seçenek), $z \in {0}$ (1 seçenek).
Sayısı: $3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$ .

Sonuç:

6

tane (bunlar

1, 4, 16, 9, 36, 144

Örnek

Soru

$12$ pozitif böleni olan ve $2^{a} \cdot 3^{b}$ biçiminde yazılabilen kaç farklı sayı vardır? ( $a, b \geq 1$ tam sayı.)

$(a + 1) (b + 1) = 12$ olacak şekilde, ikisi de $\geq 2$ olan çarpan çiftlerini listele. $a, b \geq 1$ olduğundan $a + 1 \geq 2$ ve $b + 1 \geq 2$ .

$(a + 1) (b + 1) = 12$ ve her iki çarpan $\geq 2$ .
$12$ 'nin çarpan çiftleri (sıralı): $2 \cdot 6, 3 \cdot 4, 4 \cdot 3, 6 \cdot 2$ .
Buradan $(a, b)$ : $(1, 5), (2, 3), (3, 2), (5, 1)$ → $4$ farklı sayı.

Sonuç:

4

farklı sayı.

Sık Yapılan Hatalar

$1$ 'i asal saymak. $1$ asal değildir; en küçük asal $2$ 'dir.
Bölen sayısında üsleri çarpmak. Bölen sayısı üslerin çarpımı değil, birer fazlasının çarpımıdır: $(a + 1) (b + 1) \dots$
Asal bölen ile bölen sayısını karıştırmak. $200 = 2^{3} \cdot 5^{2}$ 'nin $12$ böleni ama yalnız $2$ asal böleni vardır.
Tek bölende $2$ 'yi tamamen atmamak. Tek bölen sayısı için $2$ 'nin üssünü sıfır kabul et (yok say), sonra kalan üslerle hesapla.
Tam kare bölende üsleri tek bırakmak. Bir bölenin tam kare olması için her asalın üssü çift ( $0, 2, 4, \dots$ ) olmalı; her asal için kaç çift üs seçilebildiğini çarp.

Not: Hemen her bölen sorusu önce asal çarpanlara ayırmakla başlar. Ayrışımı yazdıktan sonra bölen sayısı $(a + 1) (b + 1) \dots$ formülü kapıyı açar.

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, konuyu sınav formatında (5 şıklı) pekiştirmen için özgün biçimde hazırlanmıştır.

Çözümlü Sorular

Her soruyu önce kendin dene; takıldığında Çözüme Bak.

Soru 1Kolay

126

sayısının asal çarpanlarına ayrılmış biçimi aşağıdakilerden hangisidir?

$126$ çift olduğu için önce $2$ ile bölelim: $126 = 2 \cdot 63$ .
$63 = 9 \cdot 7 = 3^{2} \cdot 7$ .
Birleştirince $126 = 2 \cdot 3^{2} \cdot 7$ elde edilir.
Kontrol: $2 \cdot 9 \cdot 7 = 126$ .

Sonuç:

126 = 2 \cdot 3^{2} \cdot 7

(C)

Soru 2Kolay

2^{2} \cdot 5^{3} \cdot 7

biçiminde yazılan sayının kaç pozitif böleni vardır?

Bölen sayısı, üslerin birer fazlasının çarpımıdır.
Üsler: $2, 3, 1$ .
Bölen sayısı $= (2 + 1) (3 + 1) (1 + 1) = 3 \cdot 4 \cdot 2$ .
$= 24$ .

Sonuç:

24

pozitif bölen (E)

Soru 3Orta

600

sayısının kaç çift böleni vardır?

Önce ayıralım: $600 = 2^{3} \cdot 3 \cdot 5^{2}$ .
Toplam bölen sayısı: $(3 + 1) (1 + 1) (2 + 1) = 4 \cdot 2 \cdot 3 = 24$ .
Tek bölen sayısı için $2$ 'yi yok say, geriye $3 \cdot 5^{2}$ kalır: $(1 + 1) (2 + 1) = 6$ .
Çift bölen sayısı $= 24 - 6 = 18$ .

Sonuç:

18

çift bölen (D)

Soru 4Orta

2^{a} \cdot 3^{2} \cdot 5

biçimindeki bir sayının

36

pozitif böleni olduğuna göre

a

kaçtır?

Bölen sayısı formülü: $(a + 1) (2 + 1) (1 + 1) = 36$ .
$(a + 1) \cdot 3 \cdot 2 = 36 \Rightarrow (a + 1) \cdot 6 = 36$ .
$a + 1 = 6 \Rightarrow a = 5$ .

Sonuç:

a = 5

(B)

Soru 5Orta

Bir depoda toplam sayısı

N = 2^{4} \cdot 3^{2} \cdot 7

olan özdeş vidalar, ancak grup içindeki vida sayısı

N

'yi tam bölen ve

6

'nın katı olacak biçimde eşit gruplara ayrılabiliyor. Buna göre kaç farklı grup büyüklüğü seçilebilir?

Grup büyüklüğü, $N$ 'nin bir böleni ve $6 = 2 \cdot 3$ 'ün katı olmalıdır.
Bölen $2^{x} \cdot 3^{y} \cdot 7^{z}$ biçiminde; $6$ 'nın katı olması için $x \geq 1$ ve $y \geq 1$ gerekir.
$x \in {1, 2, 3, 4}$ (4 seçenek), $y \in {1, 2}$ (2 seçenek), $z \in {0, 1}$ (2 seçenek).
Sayısı: $4 \cdot 2 \cdot 2 = 16$ .

Sonuç:

16

farklı grup büyüklüğü (D)

Soru 6Zor

1800

sayısının kaç pozitif böleni tam karedir?

Ayıralım: $1800 = 2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 5^{2}$ .
Bir bölenin tam kare olması için $2^{x} \cdot 3^{y} \cdot 5^{z}$ 'de $x, y, z$ çift olmalıdır.
$x \in {0, 2}$ (2 seçenek), $y \in {0, 2}$ (2 seçenek), $z \in {0, 2}$ (2 seçenek).
Sayısı: $2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ (bunlar $1, 4, 9, 25, 36, 100, 225, 900$ ).

Sonuç:

8

tam kare bölen (A)

0/6 soru cevaplandı

1. Asal Sayı ve Asal Çarpan

2. Pozitif Bölen Sayısı

3. Bölenlerin Toplamı ve Çift/Tek Bölenler

Çözümlü Örnekler

Alıştırmalar — Sıra Sende

Sık Yapılan Hatalar

Sınav Tarzı Sorular

Çözümlü Sorular

Sayılar — diğer konular