çözümebak

12. Sınıf · İntegral

Belirsiz İntegral

~8 dk okumaZorluk: Orta20 çözümlü soru

İntegral, türev almanın ters işlemidir: türevi bilinen bir fonksiyonu geri bulmaktır. F'(x)=f(x) ise F'ye f'nin bir ters türevi denir ve \int f(x)\,dx=F(x)+c yazılır. Bu derste ters türev kavramını, integral sabiti c'nin neden zorunlu olduğunu, kuvvet kuralını ve integralin temel özelliklerini öğreneceğiz. Aldığın her integralin türevini geri alarak kendini denetlemek en güvenilir alışkanlıktır. Bol örnek ve "Sıra Sende" alıştırmalarıyla ilerleyeceğiz.

1. Ters Türev ve Belirsiz İntegral

Bir F fonksiyonunun türevi f ise, yani F'(x)=f(x) ise, F'ye f'nin bir ters türevi (ilkel fonksiyonu) denir. Bu işlemi şöyle gösteririz:

\int f(x)\,dx=F(x)+c \quad\Longleftrightarrow\quad F'(x)=f(x)

Buradaki f(x) ifadesine integrand, dx ifadesine de değişkenin x olduğunu belirten diferansiyel denir. İntegral almak, kısaca "türevi f(x) olan fonksiyon nedir?" sorusunu yanıtlamaktır.

Örneğin \big(x^2\big)'=2x olduğundan, 2x'in bir ters türevi x^2'dir; yani \int 2x\,dx=x^2+c.

Örnek
Soru

\int 3x^2\,dx integralini bulunuz.

Türevi 3x^2 olan fonksiyonu ara: \big(x^3\big)'=3x^2.

  1. Türevi 3x^2 olan fonksiyon x^3'tür çünkü \big(x^3\big)'=3x^2.
  2. Ters türev sonsuz çokluktadır; sabit ekle: x^3+c.
Sonuç: \int 3x^2\,dx=x^3+c.

2. İntegral Sabiti c Neden Daima Yazılır?

Bir sabitin türevi sıfırdır. Bu yüzden F(x) bir ters türevse, F(x)+5, F(x)-2 ve genel olarak F(x)+c de aynı türeve sahiptir. Türevi f olan sonsuz çoklukta fonksiyon vardır ve bunlar birbirinden yalnızca bir sabitle ayrılır. Bu sonsuz aileyi tek ifadede toplamak için integral sabiti c her zaman eklenir.

İşte bu "belirsizlik" yüzünden \int f(x)\,dx ifadesine belirsiz integral denir: tek bir fonksiyon değil, bir fonksiyon ailesi verir.

Örnek
Soru

x^2+1, x^2+7 ve x^2-4 fonksiyonlarının türevleri nedir? Bu, \int 2x\,dx hakkında ne söyler?

  1. Üçünün de türevi 2x'tir; çünkü eklenen sabitlerin (1,\ 7,\ -4) türevi 0'dır.
  2. Demek ki türevi 2x olan fonksiyon tek değil; hepsi x^2+c biçimindedir.
Sonuç: \int 2x\,dx=x^2+c; sabit c bu sonsuz aileyi temsil eder.

3. Kuvvet (Üs) Kuralı

İntegralin en çok kullanılan kuralı, türevdeki üs kuralının tersidir. n\neq -1 olmak üzere:

\int x^{n}\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+c

Yani "üssü bir artır, yeni üsse böl". Kontrol: \dfrac{x^{n+1}}{n+1}'in türevi \dfrac{(n+1)x^{n}}{n+1}=x^{n}'dir. Kural n=-1 için geçerli değildir (payda 0 olur); o özel durum bu programın kapsamı dışındadır.

Özel olarak sabit bir k sayısının integrali: \int k\,dx=kx+c (çünkü (kx)'=k).

Örnek
Soru

\int x^{4}\,dx ve \int \dfrac{1}{x^{2}}\,dx integrallerini bulunuz.

İkincide \dfrac{1}{x^2}=x^{-2} yazıp kuvvet kuralını uygula; n=-2 için n+1=-1.

  1. \int x^{4}\,dx=\dfrac{x^{5}}{5}+c.
  2. \dfrac{1}{x^{2}}=x^{-2}; kurala göre \int x^{-2}\,dx=\dfrac{x^{-1}}{-1}+c=-x^{-1}+c=-\dfrac{1}{x}+c.
Sonuç: \dfrac{x^{5}}{5}+c ve -\dfrac{1}{x}+c.

4. Sabitle Çarpma ve Toplam-Fark Kuralı

İntegral, türev gibi doğrusal bir işlemdir. Sabit çarpan integralin dışına alınabilir, toplam ve farkın integrali ise terim terim alınır:

\int k\cdot f(x)\,dx=k\int f(x)\,dx \qquad\qquad \int \big(f\pm g\big)\,dx=\int f\,dx\pm\int g\,dx

Bu iki kural sayesinde her polinomu terim terim integralleyebiliriz. Not: Çarpımın ve bölümün integrali için böyle basit bir kural yoktur; yalnız toplam-fark terim terim ayrılır.

Örnek
Soru

\int \big(6x^{2}-4x+5\big)\,dx integralini bulunuz.

  1. Terim terim ayır ve sabitleri dışarı al: 6\int x^{2}\,dx-4\int x\,dx+\int 5\,dx.
  2. Her terimi integralle: 6\cdot\dfrac{x^{3}}{3}-4\cdot\dfrac{x^{2}}{2}+5x.
  3. Sadeleştir ve tek sabit ekle: 2x^{3}-2x^{2}+5x+c.
Sonuç: 2x^{3}-2x^{2}+5x+c.

5. Köklü ve Üslü İfadelerin İntegrali

Kök ve kesirli üs içeren ifadeleri önce üslü biçimde yazıp kuvvet kuralını uygularız: \sqrt{x}=x^{1/2}, \sqrt[3]{x}=x^{1/3} gibi.

\int \sqrt{x}\,dx=\int x^{1/2}\,dx=\dfrac{x^{3/2}}{3/2}+c=\dfrac{2}{3}x^{3/2}+c

Burada \dfrac{x^{3/2}}{3/2}=x^{3/2}\cdot\dfrac{2}{3} olduğuna dikkat et: kesre bölmek, tersiyle çarpmaktır.

Örnek
Soru

\int \big(\sqrt{x}+\dfrac{3}{x^{2}}\big)\,dx integralini bulunuz.

Her terimi üslü yaz: \sqrt{x}=x^{1/2}, \dfrac{3}{x^2}=3x^{-2}. Sonra kuvvet kuralını uygula.

  1. Üslü yaz: \int \big(x^{1/2}+3x^{-2}\big)\,dx.
  2. Birinci terim: \dfrac{x^{3/2}}{3/2}=\dfrac{2}{3}x^{3/2}.
  3. İkinci terim: 3\cdot\dfrac{x^{-1}}{-1}=-3x^{-1}=-\dfrac{3}{x}.
  4. Birleştir: \dfrac{2}{3}x^{3/2}-\dfrac{3}{x}+c.
Sonuç: \dfrac{2}{3}x^{3/2}-\dfrac{3}{x}+c (yani \dfrac{2}{3}x\sqrt{x}-\dfrac{3}{x}+c).

6. Başlangıç Koşuluyla c'yi Belirleme

Belirsiz integral bir aile verir; ailedeki tek bir fonksiyonu seçmek için fonksiyonun bir noktadaki değeri (başlangıç koşulu) verilir. Önce genel integrali yazar, sonra koşulu yerine koyarak c'yi buluruz.

Örnek
Soru

f'(x)=2x+1 ve f(1)=4 ise f(x) fonksiyonunu bulunuz.

Önce f(x)=\int(2x+1)\,dx yazıp genel çözümü bul; sonra f(1)=4 koşulunu kullanarak c'yi çöz.

  1. İntegralle: f(x)=\int(2x+1)\,dx=x^{2}+x+c.
  2. Koşulu yerine koy: f(1)=1^{2}+1+c=2+c. Bu 4'e eşit: 2+c=4\Rightarrow c=2.
  3. Sonuç: f(x)=x^{2}+x+2.
Sonuç: f(x)=x^{2}+x+2.

Çözümlü Örnekler

Örnek
Soru

\int \big(4x^{3}-6x\big)\,dx integralini bulunuz.

  1. Terim terim integralle: 4\cdot\dfrac{x^{4}}{4}-6\cdot\dfrac{x^{2}}{2}.
  2. Sadeleştir: x^{4}-3x^{2}+c.
Sonuç: x^{4}-3x^{2}+c.
Örnek
Soru

\int \big(5-x^{3}\big)\,dx integralini bulunuz.

  1. Sabitin integrali: \int 5\,dx=5x.
  2. Kuvvet kuralı: \int x^{3}\,dx=\dfrac{x^{4}}{4}.
  3. Farkı birleştir: 5x-\dfrac{x^{4}}{4}+c.
Sonuç: 5x-\dfrac{x^{4}}{4}+c.
Örnek
Soru

\int \dfrac{x^{2}+1}{x^{2}}\,dx integralini bulunuz.

Çarpımın/bölümün hazır integral kuralı yok; önce kesri terim terim böl: \dfrac{x^2+1}{x^2}=1+x^{-2}.

  1. Kesri böl: \dfrac{x^{2}+1}{x^{2}}=\dfrac{x^{2}}{x^{2}}+\dfrac{1}{x^{2}}=1+x^{-2}.
  2. Terim terim integralle: \int 1\,dx+\int x^{-2}\,dx=x+\dfrac{x^{-1}}{-1}.
  3. Sadeleştir: x-\dfrac{1}{x}+c.
Sonuç: x-\dfrac{1}{x}+c.
Örnek
Soru

Türevi f'(x)=3x^{2}-2 olan ve grafiği (0,\ 5) noktasından geçen f fonksiyonunu bulunuz.

  1. İntegralle: f(x)=\int(3x^{2}-2)\,dx=x^{3}-2x+c.
  2. Nokta koşulu f(0)=5: 0-0+c=5\Rightarrow c=5.
  3. Sonuç: f(x)=x^{3}-2x+5.
Sonuç: f(x)=x^{3}-2x+5.
Örnek
Soru

\int \big(2\sqrt{x}\big)\,dx integralini bulunuz.

  1. Sabiti dışarı al, kökü üslü yaz: 2\int x^{1/2}\,dx.
  2. Kuvvet kuralı: 2\cdot\dfrac{x^{3/2}}{3/2}=2\cdot\dfrac{2}{3}x^{3/2}=\dfrac{4}{3}x^{3/2}.
Sonuç: \dfrac{4}{3}x^{3/2}+c (yani \dfrac{4}{3}x\sqrt{x}+c).

Alıştırmalar — Sıra Sende

Önce kendin çözmeyi dene; sonra çözümü açıp karşılaştır.

Örnek
Soru

\int x^{6}\,dx integralini bul.

  1. Kuvvet kuralı: \dfrac{x^{7}}{7}+c.
Sonuç: \dfrac{x^{7}}{7}+c.
Örnek
Soru

\int \big(8x-3\big)\,dx integralini bul.

  1. Terim terim: 8\cdot\dfrac{x^{2}}{2}-3x=4x^{2}-3x.
Sonuç: 4x^{2}-3x+c.
Örnek
Soru

\int \big(x^{2}-4x+7\big)\,dx integralini bul.

  1. Terim terim: \dfrac{x^{3}}{3}-4\cdot\dfrac{x^{2}}{2}+7x=\dfrac{x^{3}}{3}-2x^{2}+7x.
Sonuç: \dfrac{x^{3}}{3}-2x^{2}+7x+c.
Örnek
Soru

\int \dfrac{4}{x^{3}}\,dx integralini bul.

  1. Üslü yaz: 4\int x^{-3}\,dx.
  2. Kuvvet kuralı: 4\cdot\dfrac{x^{-2}}{-2}=-2x^{-2}=-\dfrac{2}{x^{2}}.
Sonuç: -\dfrac{2}{x^{2}}+c.
Örnek
Soru

\int \sqrt[3]{x}\,dx integralini bul.

  1. Üslü yaz: \int x^{1/3}\,dx.
  2. Kuvvet kuralı: \dfrac{x^{4/3}}{4/3}=\dfrac{3}{4}x^{4/3}.
Sonuç: \dfrac{3}{4}x^{4/3}+c.
Örnek
Soru

\int \big(x+2\big)^{2}\,dx integralini bul.

Hazır bir "kare" kuralı yok; önce çarpımı aç: (x+2)^2=x^2+4x+4.

  1. Aç: (x+2)^{2}=x^{2}+4x+4.
  2. Terim terim integralle: \dfrac{x^{3}}{3}+4\cdot\dfrac{x^{2}}{2}+4x=\dfrac{x^{3}}{3}+2x^{2}+4x.
Sonuç: \dfrac{x^{3}}{3}+2x^{2}+4x+c.
Örnek
Soru

f'(x)=4x^{3} ve f(1)=3 ise f(2) değerini bul.

Önce f(x)=\int 4x^3\,dx ile genel çözümü ve c'yi bul; sonra x=2 koy.

  1. İntegralle: f(x)=\int 4x^{3}\,dx=x^{4}+c.
  2. Koşul: f(1)=1+c=3\Rightarrow c=2, yani f(x)=x^{4}+2.
  3. İstenen: f(2)=2^{4}+2=16+2=18.
Sonuç: f(2)=18.
Örnek
Soru

\int \dfrac{x^{3}-x}{x}\,dx integralini bul.

Bölümün hazır kuralı yok; önce paydayı her terime böl: \dfrac{x^3-x}{x}=x^2-1.

  1. Sadeleştir: \dfrac{x^{3}-x}{x}=\dfrac{x^{3}}{x}-\dfrac{x}{x}=x^{2}-1.
  2. Terim terim integralle: \dfrac{x^{3}}{3}-x.
Sonuç: \dfrac{x^{3}}{3}-x+c.
Örnek
Soru

Bir cismin hızı v(t)=6t-4 (m/s) ve t=0 anında konumu x(0)=2 m ise, konum fonksiyonu x(t)'yi bul. Hız, konumun türevidir: x'(t)=v(t).

Konum, hızın integralidir: x(t)=\int v(t)\,dt. Sonra x(0)=2 ile c'yi belirle.

  1. İntegralle: x(t)=\int (6t-4)\,dt=6\cdot\dfrac{t^{2}}{2}-4t+c=3t^{2}-4t+c.
  2. Başlangıç koşulu x(0)=2: 3\cdot 0-4\cdot 0+c=c=2.
  3. Sonuç: x(t)=3t^{2}-4t+2.
Sonuç: x(t)=3t^{2}-4t+2.

Sık Yapılan Hatalar

Not: İntegralde tek güvenilir denetim türevle geri gitmektir: bulduğun sonucun türevini al, integrand çıkıyorsa doğrudur. Her adımda "bunun türevi gerçekten f(x) mi?" diye sor.

İlgili yazılar

İntegral — diğer konular