12. Sınıf · İntegral

Belirsiz İntegral

~8 dk okumaZorluk: Orta6 çözümlü soru

Bu konu yeni müfredattan (Türkiye Yüzyılı Maarif Modeli) kaldırıldı; ancak geçiş dönemi nedeniyle ~2027 YKS'ye kadar sınavda çıkmaya devam ediyor.

İntegral, türev almanın ters işlemidir: türevi bilinen bir fonksiyonu geri bulmaktır. $F^{'} (x) = f (x)$ ise $F$ 'ye $f$ 'nin bir ters türevi denir ve $\int f (x) d x = F (x) + c$ yazılır. Bu derste ters türev kavramını, integral sabiti $c$ 'nin neden zorunlu olduğunu, kuvvet kuralını ve integralin temel özelliklerini öğreneceğiz. Aldığın her integralin türevini geri alarak kendini denetlemek en güvenilir alışkanlıktır. Bol örnek ve "Sıra Sende" alıştırmalarıyla ilerleyeceğiz.

1. Ters Türev ve Belirsiz İntegral

Bir $F$ fonksiyonunun türevi $f$ ise, yani $F^{'} (x) = f (x)$ ise, $F$ 'ye $f$ 'nin bir ters türevi (ilkel fonksiyonu) denir. Bu işlemi şöyle gösteririz:

$\int f (x) d x = F (x) + c ⟺ F^{'} (x) = f (x)$

Buradaki $f (x)$ ifadesine integrand, $d x$ ifadesine de değişkenin $x$ olduğunu belirten diferansiyel denir. İntegral almak, kısaca "türevi $f (x)$ olan fonksiyon nedir?" sorusunu yanıtlamaktır.

Örneğin $(x^{2})^{'} = 2 x$ olduğundan, $2 x$ 'in bir ters türevi $x^{2}$ 'dir; yani $\int 2 x d x = x^{2} + c$ .

Örnek

Soru

$\int 3 x^{2} d x$ integralini bulunuz.

Türevi $3 x^{2}$ olan fonksiyonu ara: $(x^{3})^{'} = 3 x^{2}$ .

Türevi $3 x^{2}$ olan fonksiyon $x^{3}$ 'tür çünkü $(x^{3})^{'} = 3 x^{2}$ .
Ters türev sonsuz çokluktadır; sabit ekle: $x^{3} + c$ .

Sonuç:

\int 3 x^{2} d x = x^{3} + c

2. İntegral Sabiti $c$ Neden Daima Yazılır?

Bir sabitin türevi sıfırdır. Bu yüzden $F (x)$ bir ters türevse, $F (x) + 5$ , $F (x) - 2$ ve genel olarak $F (x) + c$ de aynı türeve sahiptir. Türevi $f$ olan sonsuz çoklukta fonksiyon vardır ve bunlar birbirinden yalnızca bir sabitle ayrılır. Bu sonsuz aileyi tek ifadede toplamak için integral sabiti $c$ her zaman eklenir.

İşte bu "belirsizlik" yüzünden $\int f (x) d x$ ifadesine belirsiz integral denir: tek bir fonksiyon değil, bir fonksiyon ailesi verir.

Örnek

Soru

$x^{2} + 1$ , $x^{2} + 7$ ve $x^{2} - 4$ fonksiyonlarının türevleri nedir? Bu, $\int 2 x d x$ hakkında ne söyler?

Üçünün de türevi $2 x$ 'tir; çünkü eklenen sabitlerin ( $1, 7, - 4$ ) türevi $0$ 'dır.
Demek ki türevi $2 x$ olan fonksiyon tek değil; hepsi $x^{2} + c$ biçimindedir.

Sonuç:

\int 2 x d x = x^{2} + c

; sabit

c

bu sonsuz aileyi temsil eder.

3. Kuvvet (Üs) Kuralı

İntegralin en çok kullanılan kuralı, türevdeki üs kuralının tersidir. $n \neq = - 1$ olmak üzere:

$\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + c$

Yani "üssü bir artır, yeni üsse böl". Kontrol: $\frac{x ^{n + 1}}{n + 1}$ 'in türevi $\frac{( n + 1 ) x ^{n}}{n + 1} = x^{n}$ 'dir. Kural $n = - 1$ için geçerli değildir (payda $0$ olur); o özel durum bu programın kapsamı dışındadır.

Özel olarak sabit bir $k$ sayısının integrali: $\int k d x = k x + c$ (çünkü $(k x)^{'} = k$ ).

Örnek

Soru

$\int x^{4} d x$ ve $\int \frac{1}{x ^{2}} d x$ integrallerini bulunuz.

İkincide $\frac{1}{x ^{2}} = x^{- 2}$ yazıp kuvvet kuralını uygula; $n = - 2$ için $n + 1 = - 1$ .

$\int x^{4} d x = \frac{x ^{5}}{5} + c$ .
$\frac{1}{x ^{2}} = x^{- 2}$ ; kurala göre $\int x^{- 2} d x = \frac{x ^{- 1}}{- 1} + c = - x^{- 1} + c = - \frac{1}{x} + c$ .

Sonuç:

\frac{x ^{5}}{5} + c

- \frac{1}{x} + c

4. Sabitle Çarpma ve Toplam-Fark Kuralı

İntegral, türev gibi doğrusal bir işlemdir. Sabit çarpan integralin dışına alınabilir, toplam ve farkın integrali ise terim terim alınır:

$\int k \cdot f (x) d x = k \int f (x) d x \int (f \pm g) d x = \int f d x \pm \int g d x$

Bu iki kural sayesinde her polinomu terim terim integralleyebiliriz. Not: Çarpımın ve bölümün integrali için böyle basit bir kural yoktur; yalnız toplam-fark terim terim ayrılır.

Örnek

Soru

$\int (6 x^{2} - 4 x + 5) d x$ integralini bulunuz.

Terim terim ayır ve sabitleri dışarı al: $6 \int x^{2} d x - 4 \int x d x + \int 5 d x$ .
Her terimi integralle: $6 \cdot \frac{x ^{3}}{3} - 4 \cdot \frac{x ^{2}}{2} + 5 x$ .
Sadeleştir ve tek sabit ekle: $2 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x + c$ .

Sonuç:

2 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x + c

5. Köklü ve Üslü İfadelerin İntegrali

Kök ve kesirli üs içeren ifadeleri önce üslü biçimde yazıp kuvvet kuralını uygularız: $x = x^{1/2}$ , $3 x = x^{1/3}$ gibi.

$\int x d x = \int x^{1/2} d x = \frac{x ^{3/2}}{3/2} + c = \frac{2}{3} x^{3/2} + c$

Burada $\frac{x ^{3/2}}{3/2} = x^{3/2} \cdot \frac{2}{3}$ olduğuna dikkat et: kesre bölmek, tersiyle çarpmaktır.

Örnek

Soru

$\int (x + \frac{3}{x ^{2}}) d x$ integralini bulunuz.

Her terimi üslü yaz: $x = x^{1/2}$ , $\frac{3}{x ^{2}} = 3 x^{- 2}$ . Sonra kuvvet kuralını uygula.

Üslü yaz: $\int (x^{1/2} + 3 x^{- 2}) d x$ .
Birinci terim: $\frac{x ^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3} x^{3/2}$ .
İkinci terim: $3 \cdot \frac{x ^{- 1}}{- 1} = - 3 x^{- 1} = - \frac{3}{x}$ .
Birleştir: $\frac{2}{3} x^{3/2} - \frac{3}{x} + c$ .

Sonuç:

\frac{2}{3} x^{3/2} - \frac{3}{x} + c

(yani

\frac{2}{3} x x - \frac{3}{x} + c

6. Başlangıç Koşuluyla $c$ 'yi Belirleme

Belirsiz integral bir aile verir; ailedeki tek bir fonksiyonu seçmek için fonksiyonun bir noktadaki değeri (başlangıç koşulu) verilir. Önce genel integrali yazar, sonra koşulu yerine koyarak $c$ 'yi buluruz.

Örnek

Soru

$f^{'} (x) = 2 x + 1$ ve $f (1) = 4$ ise $f (x)$ fonksiyonunu bulunuz.

Önce $f (x) = \int (2 x + 1) d x$ yazıp genel çözümü bul; sonra $f (1) = 4$ koşulunu kullanarak $c$ 'yi çöz.

İntegralle: $f (x) = \int (2 x + 1) d x = x^{2} + x + c$ .
Koşulu yerine koy: $f (1) = 1^{2} + 1 + c = 2 + c$ . Bu $4$ 'e eşit: $2 + c = 4 \Rightarrow c = 2$ .
Sonuç: $f (x) = x^{2} + x + 2$ .

Sonuç:

f (x) = x^{2} + x + 2

Çözümlü Örnekler

Örnek

Soru

$\int (4 x^{3} - 6 x) d x$ integralini bulunuz.

Terim terim integralle: $4 \cdot \frac{x ^{4}}{4} - 6 \cdot \frac{x ^{2}}{2}$ .
Sadeleştir: $x^{4} - 3 x^{2} + c$ .

Sonuç:

x^{4} - 3 x^{2} + c

Örnek

Soru

$\int (5 - x^{3}) d x$ integralini bulunuz.

Sabitin integrali: $\int 5 d x = 5 x$ .
Kuvvet kuralı: $\int x^{3} d x = \frac{x ^{4}}{4}$ .
Farkı birleştir: $5 x - \frac{x ^{4}}{4} + c$ .

Sonuç:

5 x - \frac{x ^{4}}{4} + c

Örnek

Soru

$\int \frac{x ^{2} + 1}{x ^{2}} d x$ integralini bulunuz.

Çarpımın/bölümün hazır integral kuralı yok; önce kesri terim terim böl: $\frac{x ^{2} + 1}{x ^{2}} = 1 + x^{- 2}$ .

Kesri böl: $\frac{x ^{2} + 1}{x ^{2}} = \frac{x ^{2}}{x ^{2}} + \frac{1}{x ^{2}} = 1 + x^{- 2}$ .
Terim terim integralle: $\int 1 d x + \int x^{- 2} d x = x + \frac{x ^{- 1}}{- 1}$ .
Sadeleştir: $x - \frac{1}{x} + c$ .

Sonuç:

x - \frac{1}{x} + c

Örnek

Soru

Türevi $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 2$ olan ve grafiği $(0, 5)$ noktasından geçen $f$ fonksiyonunu bulunuz.

İntegralle: $f (x) = \int (3 x^{2} - 2) d x = x^{3} - 2 x + c$ .
Nokta koşulu $f (0) = 5$ : $0 - 0 + c = 5 \Rightarrow c = 5$ .
Sonuç: $f (x) = x^{3} - 2 x + 5$ .

Sonuç:

f (x) = x^{3} - 2 x + 5

Örnek

Soru

$\int (2 x) d x$ integralini bulunuz.

Sabiti dışarı al, kökü üslü yaz: $2 \int x^{1/2} d x$ .
Kuvvet kuralı: $2 \cdot \frac{x ^{3/2}}{3/2} = 2 \cdot \frac{2}{3} x^{3/2} = \frac{4}{3} x^{3/2}$ .

Sonuç:

\frac{4}{3} x^{3/2} + c

(yani

\frac{4}{3} x x + c

Alıştırmalar — Sıra Sende

Önce kendin çözmeyi dene; sonra çözümü açıp karşılaştır.

Örnek

Soru

$\int x^{6} d x$ integralini bul.

Kuvvet kuralı: $\frac{x ^{7}}{7} + c$ .

Sonuç:

\frac{x ^{7}}{7} + c

Örnek

Soru

$\int (8 x - 3) d x$ integralini bul.

Terim terim: $8 \cdot \frac{x ^{2}}{2} - 3 x = 4 x^{2} - 3 x$ .

Sonuç:

4 x^{2} - 3 x + c

Örnek

Soru

$\int (x^{2} - 4 x + 7) d x$ integralini bul.

Terim terim: $\frac{x ^{3}}{3} - 4 \cdot \frac{x ^{2}}{2} + 7 x = \frac{x ^{3}}{3} - 2 x^{2} + 7 x$ .

Sonuç:

\frac{x ^{3}}{3} - 2 x^{2} + 7 x + c

Örnek

Soru

$\int \frac{4}{x ^{3}} d x$ integralini bul.

Üslü yaz: $4 \int x^{- 3} d x$ .
Kuvvet kuralı: $4 \cdot \frac{x ^{- 2}}{- 2} = - 2 x^{- 2} = - \frac{2}{x ^{2}}$ .

Sonuç:

- \frac{2}{x ^{2}} + c

Örnek

Soru

$\int 3 x d x$ integralini bul.

Üslü yaz: $\int x^{1/3} d x$ .
Kuvvet kuralı: $\frac{x ^{4/3}}{4/3} = \frac{3}{4} x^{4/3}$ .

Sonuç:

\frac{3}{4} x^{4/3} + c

Örnek

Soru

$\int (x + 2)^{2} d x$ integralini bul.

Hazır bir "kare" kuralı yok; önce çarpımı aç: $(x + 2)^{2} = x^{2} + 4 x + 4$ .

Aç: $(x + 2)^{2} = x^{2} + 4 x + 4$ .
Terim terim integralle: $\frac{x ^{3}}{3} + 4 \cdot \frac{x ^{2}}{2} + 4 x = \frac{x ^{3}}{3} + 2 x^{2} + 4 x$ .

Sonuç:

\frac{x ^{3}}{3} + 2 x^{2} + 4 x + c

Örnek

Soru

$f^{'} (x) = 4 x^{3}$ ve $f (1) = 3$ ise $f (2)$ değerini bul.

Önce $f (x) = \int 4 x^{3} d x$ ile genel çözümü ve $c$ 'yi bul; sonra $x = 2$ koy.

İntegralle: $f (x) = \int 4 x^{3} d x = x^{4} + c$ .
Koşul: $f (1) = 1 + c = 3 \Rightarrow c = 2$ , yani $f (x) = x^{4} + 2$ .
İstenen: $f (2) = 2^{4} + 2 = 16 + 2 = 18$ .

Sonuç:

f (2) = 18

Örnek

Soru

$\int \frac{x ^{3} - x}{x} d x$ integralini bul.

Bölümün hazır kuralı yok; önce paydayı her terime böl: $\frac{x ^{3} - x}{x} = x^{2} - 1$ .

Sadeleştir: $\frac{x ^{3} - x}{x} = \frac{x ^{3}}{x} - \frac{x}{x} = x^{2} - 1$ .
Terim terim integralle: $\frac{x ^{3}}{3} - x$ .

Sonuç:

\frac{x ^{3}}{3} - x + c

Örnek

Soru

Bir cismin hızı $v (t) = 6 t - 4$ (m/s) ve $t = 0$ anında konumu $x (0) = 2$ m ise, konum fonksiyonu $x (t)$ 'yi bul. Hız, konumun türevidir: $x^{'} (t) = v (t)$ .

Konum, hızın integralidir: $x (t) = \int v (t) d t$ . Sonra $x (0) = 2$ ile $c$ 'yi belirle.

İntegralle: $x (t) = \int (6 t - 4) d t = 6 \cdot \frac{t ^{2}}{2} - 4 t + c = 3 t^{2} - 4 t + c$ .
Başlangıç koşulu $x (0) = 2$ : $3 \cdot 0 - 4 \cdot 0 + c = c = 2$ .
Sonuç: $x (t) = 3 t^{2} - 4 t + 2$ .

Sonuç:

x (t) = 3 t^{2} - 4 t + 2

Sık Yapılan Hatalar

İntegral sabiti $c$ 'yi unutmak. Belirsiz integral bir aile verir; $c$ yazılmazsa cevap eksiktir.
Üssü yanlış yönde değiştirmek. Kuvvet kuralında üssü bir artırıp yeni üsse bölersin ( $\int x^{n} = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1}$ ); türevdeki gibi azaltmazsın.
Çarpım/bölüm/kuvvet için "kolay kural" uydurmak. $\int f \cdot g \neq = (\int f) (\int g)$ ; $\int (x + 2)^{2}$ doğrudan alınmaz. Önce aç ya da sadeleştir, sonra terim terim integralle.
Kesirli üste bölmeyi yanlış yapmak. $\frac{x ^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3} x^{3/2}$ 'dir; kesre bölmek tersiyle çarpmaktır.

Not: İntegralde tek güvenilir denetim türevle geri gitmektir: bulduğun sonucun türevini al, integrand çıkıyorsa doğrudur. Her adımda "bunun türevi gerçekten $f (x)$ mi?" diye sor.

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, konuyu sınav formatında (5 şıklı) pekiştirmen için özgün biçimde hazırlanmıştır.

Çözümlü Sorular

Her soruyu önce kendin dene; takıldığında Çözüme Bak.

Soru 1Kolay

\int (9 x^{2} - 4 x + 3) d x

integralinin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?

Doğrusallık gereği terim terim integral alınır ve sabitler dışarı çıkarılır.
$9 \int x^{2} d x = 9 \cdot \frac{x ^{3}}{3} = 3 x^{3}$ .
$- 4 \int x d x = - 4 \cdot \frac{x ^{2}}{2} = - 2 x^{2}$ .
$\int 3 d x = 3 x$ .
Birleştirip tek sabit eklenir: $3 x^{3} - 2 x^{2} + 3 x + c$ .

Sonuç:

3 x^{3} - 2 x^{2} + 3 x + c

(A).

Soru 2Orta

\int \frac{2}{x ^{3}} d x

integralinin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?

İfadeyi üslü biçimde yaz: $\frac{2}{x ^{3}} = 2 x^{- 3}$ .
Kuvvet kuralı: $n = - 3$ için $n + 1 = - 2$ , yani $\int x^{- 3} d x = \frac{x ^{- 2}}{- 2}$ .
Sabitle çarp: $2 \cdot \frac{x ^{- 2}}{- 2} = - x^{- 2} = - \frac{1}{x ^{2}}$ .
Sonuç: $- \frac{1}{x ^{2}} + c$ .

Sonuç:

- \frac{1}{x ^{2}} + c

(C).

Soru 3Orta

\int 3 x d x

integralinin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?

Sabiti dışarı al, kökü üslü yaz: $3 \int x^{1/2} d x$ .
Kuvvet kuralı: $\int x^{1/2} d x = \frac{x ^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3} x^{3/2}$ .
Kesre bölmek tersiyle çarpmaktır; sonra sabitle çarp: $3 \cdot \frac{2}{3} x^{3/2} = 2 x^{3/2}$ .
Sonuç: $2 x^{3/2} + c$ .

Sonuç:

2 x^{3/2} + c

(B).

Soru 4Orta

\int \frac{x ^{3} + 2 x}{x} d x

integralinin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?

Bölümün hazır integral kuralı yoktur; önce sadeleştir.
$\frac{x ^{3} + 2 x}{x} = \frac{x ^{3}}{x} + \frac{2 x}{x} = x^{2} + 2$ .
Terim terim integralle: $\int x^{2} d x + \int 2 d x = \frac{x ^{3}}{3} + 2 x$ .
Sonuç: $\frac{x ^{3}}{3} + 2 x + c$ .

Sonuç:

\frac{x ^{3}}{3} + 2 x + c

(B).

Soru 5Orta

f^{'} (x) = 6 x^{2} - 2

f (1) = 5

olduğuna göre

f (2)

değeri kaçtır?

Önce genel çözümü bul: $f (x) = \int (6 x^{2} - 2) d x = 6 \cdot \frac{x ^{3}}{3} - 2 x + c = 2 x^{3} - 2 x + c$ .
Başlangıç koşulunu uygula: $f (1) = 2 \cdot 1 - 2 \cdot 1 + c = c$ . Bu $5$ 'e eşit, yani $c = 5$ .
Böylece $f (x) = 2 x^{3} - 2 x + 5$ .
İstenen değer: $f (2) = 2 \cdot 8 - 2 \cdot 2 + 5 = 16 - 4 + 5 = 17$ .

Sonuç:

f (2) = 17

(D).

Soru 6Zor

Doğrusal bir yolda hareket eden bir cismin hızı

v (t) = 4 t + 3

(m/s) olup

t = 0

anındaki konumu

x (0) = 1

m'dir. Hız konumun türevi olduğuna göre (

x^{'} (t) = v (t)

), cismin

t = 2

s anındaki konumu kaç metredir?

Konum, hızın integralidir: $x (t) = \int (4 t + 3) d t = 4 \cdot \frac{t ^{2}}{2} + 3 t + c = 2 t^{2} + 3 t + c$ .
Başlangıç koşulu $x (0) = 1$ : $2 \cdot 0 + 3 \cdot 0 + c = c = 1$ .
Böylece $x (t) = 2 t^{2} + 3 t + 1$ .
$t = 2$ için: $x (2) = 2 \cdot 4 + 3 \cdot 2 + 1 = 8 + 6 + 1 = 15$ m.

Sonuç:

x (2) = 15

m (E).

0/6 soru cevaplandı

1. Ters Türev ve Belirsiz İntegral

2. İntegral Sabiti c Neden Daima Yazılır?

3. Kuvvet (Üs) Kuralı

4. Sabitle Çarpma ve Toplam-Fark Kuralı

5. Köklü ve Üslü İfadelerin İntegrali

6. Başlangıç Koşuluyla c'yi Belirleme

Çözümlü Örnekler

Alıştırmalar — Sıra Sende

Sık Yapılan Hatalar

Sınav Tarzı Sorular

Çözümlü Sorular

İlgili yazılar

İntegral — diğer konular

2. İntegral Sabiti $c$ Neden Daima Yazılır?

6. Başlangıç Koşuluyla $c$ 'yi Belirleme