12. Sınıf · İntegral

Belirli İntegral ve Alan

~9 dk okumaZorluk: Zor6 çözümlü soru

Bu konu yeni müfredattan (Türkiye Yüzyılı Maarif Modeli) kaldırıldı; ancak geçiş dönemi nedeniyle ~2027 YKS'ye kadar sınavda çıkmaya devam ediyor.

Belirsiz integral bir fonksiyon ailesi verirdi; belirli integral ise bir sayı verir ve bu sayının en güzel anlamı alandır: $f (x) \geq 0$ ise $\int_{a}^{b} f (x) d x$ , eğri ile $x$ -ekseni arasında, $x = a$ ile $x = b$ doğruları arasındaki bölgenin alanıdır. Bu derste belirli integralin tanımını, onu kolayca hesaplatan Analizin Temel Teoremi'ni (Newton–Leibniz kuralı), temel özelliklerini ve eğri altında kalan alan hesabını öğreneceğiz. Anahtar incelik işaret meselesidir: eksenin altındaki bölgeler integrale negatif katkı verir. Bol örnek ve "Sıra Sende" alıştırmalarıyla ilerleyeceğiz.

1. Belirli İntegral ve Alan Fikri

$[a, b]$ aralığında sürekli ve $f (x) \geq 0$ olan bir $f$ için, eğri ile $x$ -ekseni arasında kalan bölgenin alanını düşünelim. Bu bölgeyi ince dikdörtgen şeritlere böler, alanlarını toplar ve şeritleri sonsuz inceltirsek belirli integrale ulaşırız:

$A = \int_{a}^{b} f (x) d x$

Buradaki $a$ ve $b$ sayılarına alt ve üst sınır denir. Aşağıdaki şekilde bu alan ve onu yaklaşık veren dikdörtgen şeritler gösterilmiştir.

Şekil 1 —

y = f (x)

eğrisi ile

x

-ekseni arasında,

x = a

ile

x = b

arasındaki taranmış alan

A = \int_{a}^{b} f (x) d x

'tir. Dikdörtgen şeritlerin toplam alanı, şeritler inceldikçe bu integrale yaklaşır.

2. Analizin Temel Teoremi (Newton–Leibniz Kuralı)

Belirli integrali şerit toplamıyla hesaplamak çok zahmetlidir. Neyse ki onu ters türev ile bağlayan güçlü bir kural vardır. $F$ , $f$ 'nin herhangi bir ters türeviyse ( $F^{'} = f$ ):

$\int_{a}^{b} f (x) d x = [F (x)]_{a}^{b} = F (b) - F (a)$

Yani: integrali bul, üst sınırı yerine koy, alt sınırı yerine koy, çıkar. Burada integral sabiti $c$ önemsizdir; çünkü $F (b) + c$ ve $F (a) + c$ çıkarılınca $c$ sadeleşir. Bu yüzden belirli integralde $c$ yazmayız.

Örnek

Soru

$\int_{1}^{3} 2 x d x$ değerini bulunuz.

Önce $\int 2 x d x = x^{2}$ ters türevini bul; sonra $[x^{2}]_{1}^{3} = 3^{2} - 1^{2}$ yaz.

Ters türev: $\int 2 x d x = x^{2}$ .
Sınırları yerleştir: $[x^{2}]_{1}^{3} = 3^{2} - 1^{2} = 9 - 1 = 8$ .

Sonuç:

8

3. Polinomların Belirli İntegrali

Polinomu terim terim integralleyip Newton–Leibniz kuralını uygularız. Köşeli parantezdeki ters türevi düzgün yazmak, işaret hatalarını önler.

Örnek

Soru

$\int_{0}^{2} (3 x^{2} + 1) d x$ değerini bulunuz.

Ters türev: $\int (3 x^{2} + 1) d x = x^{3} + x$ .
Sınırları yerleştir: $[x^{3} + x]_{0}^{2} = (2^{3} + 2) - (0 + 0)$ .
Hesapla: $(8 + 2) - 0 = 10$ .

Sonuç:

10

4. Belirli İntegralin Temel Özellikleri

Aşağıdaki özellikler hesabı kolaylaştırır:

$\int_{a}^{a} f (x) d x = 0 \int_{a}^{b} f (x) d x = - \int_{b}^{a} f (x) d x$

$\int_{a}^{b} f (x) d x + \int_{b}^{c} f (x) d x = \int_{a}^{c} f (x) d x \int_{a}^{b} k f (x) d x = k \int_{a}^{b} f (x) d x$

Sırasıyla: alt ve üst sınır eşitse integral $0$ 'dır; sınırların yerini değiştirmek işareti değiştirir; aralık iki parçaya bölünebilir; sabit çarpan dışarı alınır.

Örnek

Soru

$\int_{2}^{5} f (x) d x = 9$ ise $\int_{5}^{2} 3 f (x) d x$ değerini bulunuz.

Sabiti dışarı al: $\int_{5}^{2} 3 f (x) d x = 3 \int_{5}^{2} f (x) d x$ .
Sınırları ters çevir, işaret değişir: $\int_{5}^{2} f (x) d x = - \int_{2}^{5} f (x) d x = - 9$ .
Çarp: $3 \cdot (- 9) = - 27$ .

Sonuç:

- 27

5. Eğri ile $x$ -Ekseni Arasındaki Alan

$[a, b]$ aralığında $f (x) \geq 0$ ise alan doğrudan integraldir: $A = \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

Eğer bölge eksenin altında kalıyorsa ( $f (x) \leq 0$ ), integral negatif çıkar. Alan pozitif bir büyüklük olduğundan mutlak değer alınır:

$A = \int_{a}^{b} f (x) d x$

Eğri aralık içinde ekseni kesiyorsa, önce kesim noktasından böl: eksen üstü ve eksen altı parçaların alanlarını ayrı ayrı (mutlak değerle) bulup topla. Aksi hâlde negatif ve pozitif katkılar birbirini götürür ve yanlış alan bulursun.

Örnek

Soru

$f (x) = x^{2}$ eğrisi ile $x$ -ekseni arasında, $x = 0$ ile $x = 3$ arasındaki alanı bulunuz.

$[0, 3]$ aralığında $x^{2} \geq 0$ , yani eğri eksenin üstünde; alan doğrudan $\int_{0}^{3} x^{2} d x$ 'tir.

Aralıkta $f (x) = x^{2} \geq 0$ , bölge eksenin üstünde; alan integralin kendisidir.
Ters türev: $\int x^{2} d x = \frac{x ^{3}}{3}$ .
Sınırları yerleştir: $[\frac{x ^{3}}{3}]_{0}^{3} = \frac{27}{3} - 0 = 9$ .

Sonuç: Alan

9

birimkaredir.

Örnek

Soru

$f (x) = x - 2$ doğrusu ile $x$ -ekseni arasında, $x = 0$ ile $x = 2$ arasındaki alanı bulunuz.

$[0, 2]$ aralığında $x - 2 \leq 0$ , yani bölge eksenin altında. İntegral negatif çıkar; alan için mutlak değer al.

Aralıkta $x - 2 \leq 0$ (örneğin $x = 0$ için $- 2$ ); bölge eksenin altında.
İntegrali hesapla: $\int_{0}^{2} (x - 2) d x = [\frac{x ^{2}}{2} - 2 x]_{0}^{2} = (2 - 4) - 0 = - 2$ .
Alan pozitiftir, mutlak değer al: $A = ∣ - 2∣ = 2$ .

Sonuç: Alan

2

birimkaredir.

Çözümlü Örnekler

Örnek

Soru

$\int_{1}^{2} (4 x^{3}) d x$ değerini bulunuz.

Ters türev: $\int 4 x^{3} d x = x^{4}$ .
Sınırlar: $[x^{4}]_{1}^{2} = 2^{4} - 1^{4} = 16 - 1 = 15$ .

Sonuç:

15

Örnek

Soru

$\int_{- 1}^{1} (x^{2} + 2) d x$ değerini bulunuz.

Ters türev: $\frac{x ^{3}}{3} + 2 x$ .
Üst sınır $x = 1$ : $\frac{1}{3} + 2 = \frac{7}{3}$ .
Alt sınır $x = - 1$ : $\frac{- 1}{3} - 2 = - \frac{7}{3}$ .
Çıkar: $\frac{7}{3} - (- \frac{7}{3}) = \frac{14}{3}$ .

Sonuç:

\frac{14}{3}

Örnek

Soru

$\int_{1}^{4} x d x$ değerini bulunuz.

$x = x^{1/2}$ ; ters türevi $\frac{2}{3} x^{3/2}$ . $4^{3/2} = (4)^{3} = 8$ olduğunu kullan.

Üslü yaz, integralle: $\int x^{1/2} d x = \frac{2}{3} x^{3/2}$ .
Üst sınır $x = 4$ : $\frac{2}{3} \cdot 4^{3/2} = \frac{2}{3} \cdot 8 = \frac{16}{3}$ .
Alt sınır $x = 1$ : $\frac{2}{3} \cdot 1 = \frac{2}{3}$ .
Çıkar: $\frac{16}{3} - \frac{2}{3} = \frac{14}{3}$ .

Sonuç:

\frac{14}{3}

Örnek

Soru

$\int_{0}^{1} f (x) d x = 4$ ve $\int_{1}^{3} f (x) d x = 5$ ise $\int_{0}^{3} f (x) d x$ kaçtır?

Aralık birleştirme özelliği: $\int_{0}^{1} + \int_{1}^{3} = \int_{0}^{3}$ .

Aralıkları birleştir: $\int_{0}^{3} f (x) d x = \int_{0}^{1} f (x) d x + \int_{1}^{3} f (x) d x$ .
Topla: $4 + 5 = 9$ .

Sonuç:

9

Örnek

Soru

$f (x) = 4 - x^{2}$ parabolü ile $x$ -ekseni arasında kalan bölgenin alanını bulunuz.

Önce eğrinin ekseni kestiği yerleri bul ( $4 - x^{2} = 0$ ); bunlar sınırlardır. Aralarında $4 - x^{2} \geq 0$ olduğundan bölge eksenin üstündedir.

Eksen kesimleri: $4 - x^{2} = 0 \Rightarrow x = \pm 2$ . Sınırlar $a = - 2$ , $b = 2$ .
$[- 2, 2]$ aralığında $4 - x^{2} \geq 0$ ; alan doğrudan integraldir.
Ters türev: $\int (4 - x^{2}) d x = 4 x - \frac{x ^{3}}{3}$ .
Üst sınır $x = 2$ : $8 - \frac{8}{3} = \frac{16}{3}$ . Alt sınır $x = - 2$ : $- 8 + \frac{8}{3} = - \frac{16}{3}$ .
Çıkar: $\frac{16}{3} - (- \frac{16}{3}) = \frac{32}{3}$ .

Sonuç: Alan

\frac{32}{3}

birimkaredir.

Alıştırmalar — Sıra Sende

Önce kendin çözmeyi dene; sonra çözümü açıp karşılaştır.

Örnek

Soru

$\int_{0}^{2} 3 x^{2} d x$ değerini bul.

Ters türev: $x^{3}$ .
$[x^{3}]_{0}^{2} = 8 - 0 = 8$ .

Sonuç:

8

Örnek

Soru

$\int_{1}^{2} (2 x + 3) d x$ değerini bul.

Ters türev: $x^{2} + 3 x$ .
$(4 + 6) - (1 + 3) = 10 - 4 = 6$ .

Sonuç:

6

Örnek

Soru

$\int_{3}^{3} (x^{4} - 7 x) d x$ değerini bul.

Alt ve üst sınır eşit: integral $0$ 'dır.

Sonuç:

0

Örnek

Soru

$\int_{0}^{1} (x^{3} + x) d x$ değerini bul.

Ters türev: $\frac{x ^{4}}{4} + \frac{x ^{2}}{2}$ .
$x = 1$ : $\frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{3}{4}$ . $x = 0$ : $0$ .
Çıkar: $\frac{3}{4}$ .

Sonuç:

\frac{3}{4}

Örnek

Soru

$\int_{2}^{6} f (x) d x = 12$ ise $\int_{2}^{6} \frac{1}{2} f (x) d x$ kaçtır?

Sabiti dışarı al: $\frac{1}{2} \int_{2}^{6} f (x) d x = \frac{1}{2} \cdot 12$ .
Hesapla: $6$ .

Sonuç:

6

Örnek

Soru

$f (x) = 2 x$ doğrusu ile $x$ -ekseni arasında, $x = 0$ ile $x = 3$ arasındaki alanı bul.

$[0, 3]$ aralığında $2 x \geq 0$ ; alan integraldir.
$\int_{0}^{3} 2 x d x = [x^{2}]_{0}^{3} = 9 - 0 = 9$ .

Sonuç: Alan

9

birimkaredir.

Örnek

Soru

$\int_{1}^{4} \frac{1}{x ^{2}} d x$ değerini bul.

$\frac{1}{x ^{2}} = x^{- 2}$ ; ters türevi $- x^{- 1} = - \frac{1}{x}$ .

Üslü yaz, integralle: $\int x^{- 2} d x = - x^{- 1} = - \frac{1}{x}$ .
Üst sınır $x = 4$ : $- \frac{1}{4}$ . Alt sınır $x = 1$ : $- 1$ .
Çıkar: $- \frac{1}{4} - (- 1) = - \frac{1}{4} + 1 = \frac{3}{4}$ .

Sonuç:

\frac{3}{4}

Örnek

Soru

$f (x) = x^{2} - 1$ eğrisi ile $x$ -ekseni arasında, $x = 0$ ile $x = 2$ arasındaki alanı bul. (Dikkat: eğri bu aralıkta ekseni kesiyor.)

$x^{2} - 1$ , $x = 1$ 'de işaret değiştirir: $[0, 1]$ aralığında eksen altında, $[1, 2]$ aralığında eksen üstünde. İki parçayı ayrı hesaplayıp mutlak değerlerini topla.

İşaret değişimi $x = 1$ 'de ( $x^{2} - 1 = 0$ ). Ters türev: $\frac{x ^{3}}{3} - x$ .
$[0, 1]$ (eksen altı): $\int_{0}^{1} (x^{2} - 1) d x = (\frac{1}{3} - 1) - 0 = - \frac{2}{3}$ ; alan $- \frac{2}{3} = \frac{2}{3}$ .
$[1, 2]$ (eksen üstü): $\int_{1}^{2} (x^{2} - 1) d x = (\frac{8}{3} - 2) - (\frac{1}{3} - 1) = \frac{2}{3} - (- \frac{2}{3}) = \frac{4}{3}$ .
Topla: $\frac{2}{3} + \frac{4}{3} = 2$ .

Sonuç: Alan

2

birimkaredir.

Örnek

Soru

$f^{'} (x) = 6 x$ ve $f (0) = 1$ ise $\int_{1}^{2} f^{'} (x) d x$ değerini bul; ayrıca bunun $f (2) - f (1)$ 'e eşit olduğunu göster.

Analizin Temel Teoremi'ne göre $\int_{1}^{2} f^{'} (x) d x = f (2) - f (1)$ . Önce $\int 6 x d x = 3 x^{2}$ ters türevini kullan.

$f^{'} (x) = 6 x$ 'in ters türevi $3 x^{2}$ (bu, $f$ 'nin türevi olduğundan $f$ 'nin kendisi olur, sabite kadar).
Belirli integral: $\int_{1}^{2} 6 x d x = [3 x^{2}]_{1}^{2} = 12 - 3 = 9$ .
Doğrulama: $f (x) = 3 x^{2} + c$ ; $f (0) = c = 1$ , yani $f (x) = 3 x^{2} + 1$ . O hâlde $f (2) - f (1) = (12 + 1) - (3 + 1) = 13 - 4 = 9$ . Aynı sonuç.

Sonuç:

9

; gerçekten

f (2) - f (1) = 9

Sık Yapılan Hatalar

Eksen altı bölgeyi mutlak değersiz bırakmak. $f (x) \leq 0$ ise integral negatif çıkar; alan istendiğinde mutlak değer al.
İşaret değiştiren eğride tek integral almak. Eğri aralık içinde ekseni kesiyorsa, kesim noktasından böl ve parçaların alanlarını ayrı ayrı (mutlak değerle) topla; yoksa katkılar birbirini götürür.
Alt sınırı yerine koyarken işareti kaçırmak. Newton–Leibniz'de $F (b) - F (a)$ ; $F (a)$ 'nın tümünü çıkar, özellikle $F (a)$ negatifse "eksi eksi artı" olur.
Belirli integralde $c$ yazmak. $c$ sadeleşir; köşeli parantezde ters türevi $c$ 'siz yazmak yeterlidir.

Not: Alan sorusunda refleksin önce işaret kontrolü olsun: eğri aralıkta ekseni kesiyor mu? Kesiyorsa böl, kesmiyorsa tek integral; her zaman alanı pozitif raporla. Hesabı bitince ters türevin türevini alıp integrandı geri bulduğunu kontrol et.

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, konuyu sınav formatında (5 şıklı) pekiştirmen için özgün biçimde hazırlanmıştır.

Çözümlü Sorular

Her soruyu önce kendin dene; takıldığında Çözüme Bak.

Soru 1Orta

\int_{1}^{2} (6 x^{2} - 2 x) d x

değeri kaçtır?

Ters türevi terim terim bul: $\int (6 x^{2} - 2 x) d x = 2 x^{3} - x^{2}$ .
Newton-Leibniz kuralı: $[2 x^{3} - x^{2}]_{1}^{2} = F (2) - F (1)$ .
Üst sınır $x = 2$ : $2 \cdot 8 - 4 = 16 - 4 = 12$ .
Alt sınır $x = 1$ : $2 \cdot 1 - 1 = 2 - 1 = 1$ .
Çıkar: $12 - 1 = 11$ .

Sonuç:

11

Soru 2Kolay

\int_{4}^{9} f (x) d x = 10

olduğuna göre

\int_{9}^{4} 3 f (x) d x

değeri kaçtır?

Sabit çarpanı integral dışına al: $\int_{9}^{4} 3 f (x) d x = 3 \int_{9}^{4} f (x) d x$ .
Sınırların yeri değişince işaret değişir: $\int_{9}^{4} f (x) d x = - \int_{4}^{9} f (x) d x = - 10$ .
Çarp: $3 \cdot (- 10) = - 30$ .

Sonuç:

- 30

Soru 3Orta

\int_{1}^{4} \frac{1}{x} d x

değeri kaçtır?

Üslü yaz: $\frac{1}{x} = x^{- 1/2}$ .
Ters türev: $\int x^{- 1/2} d x = \frac{x ^{1/2}}{1/2} = 2 x^{1/2} = 2 x$ .
Üst sınır $x = 4$ : $24 = 2 \cdot 2 = 4$ .
Alt sınır $x = 1$ : $21 = 2$ .
Çıkar: $4 - 2 = 2$ .

Sonuç:

2

Soru 4Orta

f (x) = 9 - x^{2}

parabolü ile

x

-ekseni arasında kalan bölgenin alanı kaç birimkaredir?

Eğrinin ekseni kestiği noktalar sınırları verir: $9 - x^{2} = 0 \Rightarrow x = \pm 3$ .
$[- 3, 3]$ aralığında $9 - x^{2} \geq 0$ ; bölge eksenin üstünde, alan doğrudan integraldir.
Ters türev: $\int (9 - x^{2}) d x = 9 x - \frac{x ^{3}}{3}$ .
Üst sınır $x = 3$ : $27 - \frac{27}{3} = 27 - 9 = 18$ .
Alt sınır $x = - 3$ : $- 27 - \frac{- 27}{3} = - 27 + 9 = - 18$ .
Çıkar: $18 - (- 18) = 36$ .

Sonuç: Alan

36

birimkaredir.

Soru 5Zor

f (x) = x - 3

doğrusu ile

x

-ekseni arasında,

x = 1

ile

x = 4

arasında kalan bölgenin alanı kaç birimkaredir?

Doğru $x = 3$ noktasında ekseni keser ( $x - 3 = 0$ ); bu noktada işaret değişir, aralığı böl.
Ters türev: $\int (x - 3) d x = \frac{x ^{2}}{2} - 3 x$ .
$[1, 3]$ (eksen altı): $[\frac{x ^{2}}{2} - 3 x]_{1}^{3} = (\frac{9}{2} - 9) - (\frac{1}{2} - 3) = - \frac{9}{2} + \frac{5}{2} = - 2$ ; alan $∣ - 2∣ = 2$ .
$[3, 4]$ (eksen üstü): $[\frac{x ^{2}}{2} - 3 x]_{3}^{4} = (8 - 12) - (\frac{9}{2} - 9) = - 4 + \frac{9}{2} = \frac{1}{2}$ ; alan $\frac{1}{2}$ .
Alanları topla: $2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$ . (Bölmeden tek integral alsaydık $- \frac{3}{2} = \frac{3}{2}$ bulunurdu; bu yanlıştır çünkü katkılar birbirini götürür.)

Sonuç: Alan

\frac{5}{2}

birimkaredir.

Soru 6Orta

Bir aracın

t

saniyedeki hızı

v (t) = 3 t^{2} + 2

(m/s) ile veriliyor. Aracın

t = 1

ile

t = 3

saniyeleri arasında aldığı yol kaç metredir? (Alınan yol

\int_{1}^{3} v (t) d t

ile bulunur.)

Yol: $\int_{1}^{3} (3 t^{2} + 2) d t$ .
Ters türev: $\int (3 t^{2} + 2) d t = t^{3} + 2 t$ .
Üst sınır $t = 3$ : $27 + 6 = 33$ .
Alt sınır $t = 1$ : $1 + 2 = 3$ .
Çıkar: $33 - 3 = 30$ .

Sonuç:

30

metre.

0/6 soru cevaplandı

1. Belirli İntegral ve Alan Fikri

2. Analizin Temel Teoremi (Newton–Leibniz Kuralı)

3. Polinomların Belirli İntegrali

4. Belirli İntegralin Temel Özellikleri

5. Eğri ile x-Ekseni Arasındaki Alan

Çözümlü Örnekler

Alıştırmalar — Sıra Sende

Sık Yapılan Hatalar

Sınav Tarzı Sorular

Çözümlü Sorular

İntegral — diğer konular

5. Eğri ile $x$ -Ekseni Arasındaki Alan