çözümebak

TYT Matematik · Sayılar ve Bölünebilme · Soru Tipleri

Rasyonel Sayılar — Soru Tipleri ve Tuzaklar

7 soru tipiTYT'de ~2.5 soru/yıl · Sınavda orta ağırlıkKonu anlatımı →

Aşağıda ÖSYM'nin bu konuyu sorma biçimleri var: her tipin nasıl tanınacağı, adım adım çözüm yolu ve öğrencilerin düştüğü tuzaklar. Önce oku, sonra 6 çözümlü soruyla kendini dene.

  1. Kesirlerde karışık dört işlem

    KolaySık çıkar

    Toplama–çıkarma–çarpma–bölme aynı ifadede. Kurallar basit ama tuzaklar nettir: toplamada ortak payda, bölmede ikinci kesri ters çevirme, işlem önceliği. Sonuç en sade biçimde istenir.

    Nasıl çözülür

    1. İşlem önceliği: önce parantez, sonra çarpma–bölme, en son toplama–çıkarma.
    2. Toplama/çıkarmada paydaları EKOK ile eşitle, payları işle.
    3. Bölmede ikinci kesri ters çevirip çarp; çarpmadan ÖNCE çapraz sadeleştir.
    4. Sonucu en sade kesir olarak yaz.

    ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

    • Payları ve paydaları ayrı ayrı toplamak (2⁄3 + 1⁄6 = 3⁄9 gibi)ortak paydasız, gerçek değerden küçük kesir
    • Bölmede ters çevirmeden pay⁄pay, payda⁄payda bölmekdoğru cevabın tersi ya da ilgisiz kesir
    • İşlem önceliğini atlayıp soldan sağa gitmektoplamayı bölmeden önce yapan yanlış değer

    Örnek

    (2⁄3 + 1⁄6) ÷ 5⁄4 işleminin sonucu kaçtır?

    2⁄3 + 1⁄6 = 4⁄6 + 1⁄6 = 5⁄6; 5⁄6 ÷ 5⁄4 = 5⁄6 ⋅ 4⁄5 = 4⁄6 = 2⁄3

  2. Ondalık ↔ kesir çevirme (devirli ondalık dahil)

    OrtaSık çıkar

    0,75 gibi sonlu ondalıkların ve 0,2333… (3 devirli) gibi devirli ondalıkların en sade kesre çevrilmesi. Kural: pay = (tüm sayı) − (devretmeyen kısım); payda = devreden basamak kadar 9, devretmeyen basamak kadar 0.

    Nasıl çözülür

    1. Sonlu ondalık: virgülden sonraki basamak sayısı kadar 10'un kuvvetine böl, sadeleştir (0,75 = 75⁄100 = 3⁄4).
    2. Devirli: pay = tüm rakamlar − devretmeyen kısım; payda = 9…90…0 (9'lar devreden, 0'lar devretmeyen basamak sayısınca).
    3. Özel hâl: 0,aaa… = a⁄9; 0,ababab… (iki basamak devirli) = ab⁄99.
    4. Sonucu mutlaka sadeleştir.

    ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

    • Devretmeyen kısmı paydan çıkarmayı unutmak0,2333… için 23⁄90 (doğrusu 21⁄90 = 7⁄30)
    • 9 ve 0 sayılarını ters yazmak (devreden kadar 0, devretmeyen kadar 9)payda 90 yerine 09 mantığında bozuk kesir
    • Sadeleştirmeden bırakmakşıklarda olmayan 21⁄90 gibi sadeleşmemiş değer

    Örnek

    0,2333… (3 rakamı devirli) sayısının en sade kesir biçimi nedir?

    Pay = 23 − 2 = 21, payda = 90 ⇒ 21⁄90 = 7⁄30

  3. Kesir sıralama (payda eşitleme / 1'e yakınlık)

    OrtaSık çıkar

    Üç kesrin küçükten büyüğe sıralanması. Yollar: ortak payda, çapraz çarpım, payları 1 eksik kesirlerde 1'e yakınlık (1'den uzaklığı küçük olan büyüktür). Negatif kesir girince sıra ters döner.

    Nasıl çözülür

    1. Paydalar küçükse EKOK ile ortak paydaya getir, payları karşılaştır.
    2. Pay ve payda farkı sabitse (7⁄8, 8⁄9 gibi) 1'e yakınlığı kullan: 1 − kesir küçük olan büyüktür.
    3. İkili karşılaştırmada çapraz çarpım en hızlısıdır: a⋅d ile b⋅c'yi kıyasla.
    4. Negatif kesirlerde mutlak değerce büyük olan daha KÜÇÜKTÜR.

    ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

    • Yalnız paylara ya da yalnız paydalara bakmakpaydalar farklıyken büyük paylıyı büyük sanan ters sıra
    • 1'e yakınlıkta uzaklığı büyük olanı büyük sanmaktam ters sıralama (5⁄6 > 7⁄8 demek)
    • Negatiflerde pozitif kuralını aynen uygulamak−2⁄3 < −3⁄4 gibi işareti hesaba katmayan sıra

    Örnek

    a = 7⁄8, b = 8⁄9, c = 5⁄6 sayılarını küçükten büyüğe sıralayınız.

    1'den uzaklıklar: 1⁄8, 1⁄9, 1⁄6; en uzak 5⁄6, en yakın 8⁄9 ⇒ c < a < b

  4. İki kesir arasında kesir bulma

    OrtaSık çıkar

    İki kesir arasındaki belirli paydalı kesirler (a⁄b < k⁄n < c⁄d) veya araya sıkışan tam sayı istenir; 'kaç tane k vardır' biçiminde gelir. Sınırların dahil olup olmadığı tuzağın kendisidir.

    Nasıl çözülür

    1. Üç kesri de ortak paydaya getir (aranan kesrin paydası genellikle EKOK'tur).
    2. Eşitsizliği paylara indir: alt pay < k < üst pay.
    3. Aralıktaki tam sayıları listele/say; sınırlar dahil DEĞİL (eşitsizlik keskinse).
    4. Aranan kesrin sadeleşip sınırlarla çakışmadığını kontrol et.

    ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

    • Sınır değerleri de saymak (keskin eşitsizlikte)2 fazla değer
    • Yalnız aranan kesri genişletip sınırları paydasız bırakmakpaylar farklı ölçekte, yanlış aralık
    • İki kesrin 'tam ortası' istenince payların ortalamasını farklı paydalarla almak(a+c)⁄(b+d) türü, ortalama olmayan kesir

    Örnek

    2⁄5 < k⁄20 < 3⁄4 eşitsizliğini sağlayan kaç k tam sayısı vardır?

    8⁄20 < k⁄20 < 15⁄20 ⇒ 8 < k < 15 ⇒ k ∈ {9, 10, 11, 12, 13, 14}, 6 tane

    Sık birleştiği konular: Sayı ve Kesir Problemleri

  5. Merdiven (çok katlı) kesir

    ZorSık çıkar

    1 + 1⁄(1 + 1⁄2) gibi iç içe kesirler. En içteki kattan dışa doğru çözülür; ÖSYM bu tipi işlem disiplini ölçmek için sever. Bazen sonuç x'li verilip içteki bilinmeyen istenir.

    Nasıl çözülür

    1. EN İÇTEKİ kesirden başla; her katı tek kesre indir.
    2. 1 ⁄ (kesir) = kesrin tersi; katları çevirirken pay–payda takla atar.
    3. Dışa doğru kat kat ilerle, her adımda sadeleştir.
    4. Ters problem (sonuç verilip içteki sayı istenirse) aynı merdiveni dıştan içe çöz.

    ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

    • Dıştan içe doğru işlem yapmak1 + 1⁄1 + 1⁄2 = 5⁄2 gibi katları düzleştiren değer
    • 1⁄(kesir) alırken ters çevirmeyi unutmakara katta kesrin kendisiyle devam eden yanlış zincir
    • Ara adımlarda sadeleştirmeyip payda hatası yapmakbüyük paydalı, şıklarla uyuşmayan kesir

    Örnek

    1 + 1 ⁄ (1 + 1⁄2) işleminin sonucu kaçtır?

    İçten dışa: 1 + 1⁄2 = 3⁄2; 1 ⁄ (3⁄2) = 2⁄3; 1 + 2⁄3 = 5⁄3

  6. Payda sıfır olamaz (tanımsızlık koşulu)

    Kolay

    a⁄b ifadesinde b = 0 tanımsızdır; 0⁄b = 0 ise geçerlidir. Kesrin tanımsız olduğu, sıfır olduğu ya da tanımlı olduğu x değerleri sorulur. Kısa ama her düzeyde tuzağa açık soru.

    Nasıl çözülür

    1. Tanımsızlık için PAYDAYI sıfıra eşitle, x'i çöz.
    2. Kesrin sıfır olması için PAYI sıfıra eşitle; aynı x paydayı da sıfırlıyorsa o değer geçersizdir.
    3. 'Tanımlı olduğu değerler' istenirse paydayı sıfırlayan değerleri kümeden çıkar.

    ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

    • Tanımsızlık için payı sıfırlamak (payda yerine)kesri 0 yapan x'i tanımsızlık diye vermek
    • 0⁄b'yi de tanımsız sanmaksıfır değerini eleyip eksik çözüm kümesi
    • Hem payı hem paydayı sıfırlayan x'i 'kesir sıfırdır' saymak0⁄0 belirsizliğini gözden kaçıran fazladan değer

    Örnek

    (x + 3) ⁄ (2x − 8) kesri x'in hangi değeri için tanımsızdır?

    Payda 0 olamaz: 2x − 8 = 0 ⇒ x = 4

  7. Tam sayılı kesir ↔ bileşik kesir (işlemli dönüşüm)

    Orta

    Tam sayılı kesirlerle toplama–çıkarma yapılır, sonuç yine tam sayılı istenir. Dönüşüm yönü iki taraflı: a b⁄c = (a⋅c + b)⁄c ve bileşikten tam sayılıya bölme özdeşliğiyle dönülür.

    Nasıl çözülür

    1. Önce tüm tam sayılı kesirleri bileşiğe çevir: a b⁄c = (a⋅c + b)⁄c.
    2. İşlemi bileşik kesirlerle yap (ortak payda).
    3. Sonucu tam sayılıya döndür: payı paydaya böl, bölüm tam kısım, kalan yeni pay.
    4. Çıkarmada küçükten büyük çıkmıyorsa işaret takibini dikkatli yap.

    ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

    • a b⁄c'yi a⋅(b⁄c) diye çarpım sanmak3 1⁄4 için 3⁄4 — tam kısmı yutan değer
    • Dönüşümde a⋅c + b yerine a + b⋅c yazmakpay yanlış kurulmuş bileşik kesir
    • Tam kısımları ve kesir kısımlarını ayrı çıkarırken borç almayı unutmakkesir kısmı negatif kalan bozuk sonuç

    Örnek

    3 1⁄4 − 1 5⁄6 işleminin sonucu kaçtır?

    13⁄4 − 11⁄6 = 39⁄12 − 22⁄12 = 17⁄12 = 1 5⁄12

7 soru tipini gördün. Şimdi Rasyonel Sayılar sorularını çöz →