Köklü İfadeler — Soru Tipleri ve Tuzaklar

Aşağıda ÖSYM'nin bu konuyu sorma biçimleri var: her tipin nasıl tanınacağı, adım adım çözüm yolu ve öğrencilerin düştüğü tuzaklar. Önce oku, sonra 6 çözümlü soruyla kendini dene.

1. 01

   Kök dışına çıkarma (kısmi kök: √(a²b) = a√b)

   KolaySık çıkar

   Kök içindeki sayının en büyük tam kare çarpanı dışarı alınır (√72 = 6√2). Konunun temel refleksi; hemen her köklü sorunun ilk adımı.

   Nasıl çözülür

   1. Kök içini EN BÜYÜK tam kare çarpanına ayır: 72 = 36⋅2.
   2. Tam kareyi dışarı al: √(36⋅2) = 6√2.
   3. Küçük çarpanla başladıysan (4⋅18 gibi) içeride hâlâ tam kare var demektir; tekrar sadeleştir.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • En büyük tam kareyi bulamayıp yarım sadeleştirmek (√72 = 2√18 bırakmak)→2√18 — sade olmayan, şıklarla eşleşmeyen biçim
   • Tam kareyi köksüz dışarı alırken karekökünü almamak (36 çarpanını 36 olarak yazmak)→36√2
   • Kök içindeki çarpanları toplamak (√(36⋅2) = √38 gibi)→√38

   Örnek

   √72 ifadesinin en sade biçimi nedir?

   √72 = √(36⋅2) = 6√2

2. 02

   Köklü toplama-çıkarma (benzer kökleri birleştirme)

   KolaySık çıkar

   Kök içleri farklı görünen terimler (√48, √27, √75) sadeleşince aynı köke iner; katsayılar toplanır. ÖSYM'nin en sevdiği köklü işlem kalıbı.

   Nasıl çözülür

   1. Her kökü ayrı ayrı sadeleştir: √48 = 4√3, √27 = 3√3, √75 = 5√3.
   2. Benzer kökleri (kök içi aynı olanları) grupla; katsayıları işaretiyle topla.
   3. √a + √b = √(a+b) DEĞİLDİR; sadeleşmeden toplama yapılmaz.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • Kök içlerini doğrudan toplamak (√48 + √27 − √75 = √0 = 0 sanmak)→0
   • Bir kökü yanlış sadeleştirmek (√48 = 2√12 bırakıp katsayıyı 2 almak)→yanlış katsayı, ör. 0 veya 6√3
   • Çıkarmada işareti katsayıya taşımamak→4+3+5 = 12 ⇒ 12√3

   Örnek

   √48 + √27 − √75 işleminin sonucu kaçtır?

   4√3 + 3√3 − 5√3 = 2√3

3. 03

   Kök içine alma ve köklü büyüklük karşılaştırma (a√b = √(a²b))

   OrtaSık çıkar

   3√5 ile 5√2 gibi katsayılı kökler kök içine alınarak (√45 ile √50) karşılaştırılır. Sıralama sorusu olarak da üç sayıyla gelir.

   Nasıl çözülür

   1. Katsayıyı karesiyle içeri al: a√b = √(a²b) (a > 0).
   2. 3√5 = √45, 5√2 = √50.
   3. Aynı kök derecesinde artık yalnız kök içleri karşılaştırılır: 45 < 50 ⇒ 3√5 < 5√2.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • Katsayıyı karesini almadan içeri sokmak (3√5 = √15 yazmak)→√15 ile √10 karşılaştırması — ters sıralama
   • Yalnız katsayılara bakmak (5 > 3 diye 5√2 demek — burada tesadüfen doğru, üç sayılı sıralamada yanıltır)→gerekçesiz, genellenince yanlış sıralama
   • Yalnız kök içlerine bakmak (√5 > √2 diye 3√5 büyük demek)→3√5 > 5√2 — yanlış

   Örnek

   3√5 ile 5√2 sayılarından hangisi daha büyüktür?

   3√5 = √45, 5√2 = √50; 45 < 50 ⇒ 5√2 daha büyüktür

4. 04

   Köklü çarpma-bölme (√a⋅√b = √(ab) birleştirme)

   OrtaSık çıkar

   Aynı dereceli köklerde çarpma/bölme kök içlerini birleştirerek yapılır; sonuç çoğu zaman tam kareye iner. Karma işlem sorusu olarak gelir.

   Nasıl çözülür

   1. Çarpımda kök içlerini çarp: √6⋅√8 = √48.
   2. Bölmede kök içlerini böl: √48/√3 = √16.
   3. Sonucu sadeleştir: √16 = 4. İçler birleştirilmeden ezbere işlem yapma.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • Kök içlerini toplamak (√6⋅√8 = √14 yazmak)→√(14/3) — şıklarda olmayan ifade
   • √16'yı 8 sanmak (kökü ikiye bölme yanılgısı)→8
   • Bölmede içleri bölmek yerine çıkarmak (48 − 3 = 45)→√45 = 3√5

   Örnek

   (√6 ⋅ √8) / √3 işleminin sonucu kaçtır?

   √48/√3 = √16 = 4

5. 05

   Kökün ardışık tam sayılar arasına yerleştirilmesi (√50 tipi)

   OrtaSık çıkar

   Tam kare olmayan bir kökün hangi iki ardışık tam sayı arasında olduğu veya hangi tam sayıya daha yakın olduğu sorulur. Sayı doğrusu/eşitsizlik kılığında da gelir.

   Nasıl çözülür

   1. Kök içini saran iki tam kareyi bul: 81 < 90 < 100.
   2. Karekök al: 9 < √90 < 10.
   3. Yakınlık sorulursa kök içinin hangi tam kareye yakın olduğuna bak (90, 81'e 9 uzak, 100'e 10 uzak ⇒ 9'a ve 10'a yakınlık karşılaştırılır).

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • Kök içini 2'ye bölerek tahmin etmek (√90 ≈ 45 sanmak)→45 civarı — tamamen yanlış aralık
   • Tam kareleri yanlış anmak (√90'ı 8 ile 9 arasına koymak)→8 < √90 < 9
   • Aralığın uçlarını dahil etmek (√81 = 9 iken 90 için de eşitlik bırakmak)→9 ≤ √90 gibi hatalı eşitsizlik

   Örnek

   √90 sayısı hangi ardışık iki tam sayı arasındadır?

   81 < 90 < 100 ⇒ 9 < √90 < 10, yani 9 ile 10 arasında

6. 06

   √(x²) = |x| tuzağı (işaretli harfli ifadeler)

   Orta

   x'in işareti verilip √(x²) veya √(ax²) içeren ifade sadeleştirilir. √(x²) = x yazan öğrenci işaret hatasına düşer; ÖSYM'nin bilinçli kurduğu ayrıntı sorusu.

   Nasıl çözülür

   1. √(x²) = |x| — her zaman. x'in işaretine göre aç: x < 0 ise |x| = −x.
   2. Katsayılı biçimde önce tam kareyi ayır: √(9x²) = 3|x|.
   3. Verilen işaret bilgisiyle mutlak değeri kaldır, kalan cebiri topla.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • √(9x²) = 3x yazmak (mutlak değeri atlamak)→3x − 2x = x
   • x < 0 iken |x| = x almak (işaret bilgisini kullanmamak)→x
   • √(9x²)'de 9'un kökünü almamak (9|x| yazmak)→−9x − 2x = −11x

   Örnek

   x < 0 olmak üzere √(9x²) − 2x ifadesinin eşiti nedir?

   √(9x²) = 3|x| = −3x ⇒ −3x − 2x = −5x

   Sık birleştiği konular: Üslü İfadeler

7. 07

   İç içe kökler (√(a√a) tipini kesirli üsse çevirme)

   Zor

   √(a√a), kök içinde kök barındıran ifadeler. En sağlam yol kesirli üsse çevirmektir: √a = a^(1/2), kökün kökü üsleri çarpar. Zor bloğun köklü sorusu.

   Nasıl çözülür

   1. İçten dışa yaz: 5√5 = 5¹⋅5^(1/2) = 5^(3/2).
   2. Dış kökü üs çarpımıyla uygula: √(5^(3/2)) = 5^(3/4).
   3. Gerekirse kök yazımına dön: 5^(3/4) = ⁴√(5³) = ⁴√125.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • Kökün kökünde üsleri çarpmak yerine toplamak (5^(3/2 + 1/2) = 5² yazmak)→25
   • İçteki çarpımı 5^(1/2)⋅5^(1/2) = 5 sanmak (5¹ çarpanını unutmak)→5^(1/2) = √5
   • √(5√5) = 5√5 sanmak (dış kökü yok saymak)→5^(3/2)

   Örnek

   √(5√5) ifadesi 5'in kaçıncı kuvvetidir?

   5√5 = 5^(3/2) ⇒ √(5^(3/2)) = 5^(3/4)

   Sık birleştiği konular: Üslü İfadeler