İkinci Dereceden Eşitsizlikler — Soru Tipleri ve Tuzaklar

Aşağıda ÖSYM'nin bu konuyu sorma biçimleri var: her tipin nasıl tanınacağı, adım adım çözüm yolu ve öğrencilerin düştüğü tuzaklar. Önce oku, sonra 5 çözümlü soruyla kendini dene.

1. 01

   İşaret tablosuyla temel eşitsizlik

   KolaySık çıkar

   ax²+bx+c ile kurulmuş tek eşitsizliğin çözüm kümesi. Kökleri bul, a'nın işaretine göre tabloyu kur — konunun açılış sorusu.

   Nasıl çözülür

   1. İfadeyi sıfıra eşitleyip kökleri bul (çarpanlara ayır ya da Δ).
   2. a>0 ise parabol köklerin dışında pozitif, arasında negatiftir (a<0 ise tersi).
   3. Eşitsizliğin yönüne göre aralığı seç; ≤ / ≥ ise kökler dahil, < / > ise hariç.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • a>0 iken 'arasında pozitif' sanmak→doğru aralığın tümleyeni (dış aralıklar)
   • < eşitsizliğinde kökleri dahil etmek→açık aralık yerine kapalı aralık

   Örnek

   x²−x−6 < 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?

   (x−3)(x+2)<0, kökler −2 ve 3; a=1>0 olduğundan arasında negatif ⇒ (−2, 3)

2. 02

   Tam sayı çözüm sayısı / toplamı

   KolaySık çıkar

   Çözüm kümesi bir aralıktır; aralıktaki tam sayıların sayısı ya da toplamı istenir. ÖSYM'nin sayısal cevap üretme kalıbı.

   Nasıl çözülür

   1. Eşitsizliği işaret tablosuyla çöz, aralığı yaz.
   2. Uç noktaların dahil olup olmadığına bak (≤/≥ ise kökler dahil).
   3. Aralıktaki tam sayıları tek tek listele; sayarken 0'ı unutma.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • ≤ eşitsizliğinde kökleri saymamak→doğru sayının 2 eksiği
   • Sayarken 0'ı atlamak→doğru sayının 1 eksiği

   Örnek

   x²−3x−10 ≤ 0 eşitsizliğini sağlayan kaç tam sayı vardır?

   (x−5)(x+2)≤0 ⇒ −2≤x≤5; tam sayılar −2,−1,0,1,2,3,4,5 ⇒ 8 tane

3. 03

   Çarpım / bölüm biçiminde eşitsizlik (payda tuzağı)

   OrtaSık çıkar

   Rasyonel ya da çarpanlı eşitsizlik. Konunun bir numaralı tuzağı: paydayı sıfır yapan değer, eşitlik olsa bile ASLA çözüme dahil edilmez.

   Nasıl çözülür

   1. Payın ve paydanın köklerini ayrı ayrı bul, sayı doğrusuna sırala.
   2. Tek katlı her kökte işaret değişir; tabloyu kur.
   3. ≥ / ≤ durumunda pay kökleri dahil, payda kökleri her zaman hariç.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • ≥ diye payda kökünü de dahil etmek→tanımsız noktayı içeren yanlış küme (ör. köşeli parantezli −3)
   • Bölümü çarpım gibi çözüp payda kısıtını hiç yazmamak→payda kökünü içeren kapalı aralık

   Örnek

   (x−2)/(x+3) ≥ 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?

   Kökler: pay x=2 (dahil), payda x=−3 (hariç); dışta pozitif ⇒ (−∞,−3) ∪ [2,∞)

4. 04

   Her x için pozitif / negatif olma koşulu

   OrtaSık çıkar

   'Her reel x için f(x)>0' tipi. İki koşul birlikte: a'nın işareti doğru olmalı VE Δ<0 olmalı. Tek koşulla yetinen öğrenci yanlış aralık bulur.

   Nasıl çözülür

   1. Her x için pozitif ⇒ a>0 ve Δ<0; her x için negatif ⇒ a<0 ve Δ<0.
   2. Δ'yı parametre cinsinden yaz, Δ<0 eşitsizliğini çöz.
   3. a'da da parametre varsa iki koşulun kesişimini al.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • Δ<0 yerine Δ>0 yazmak (kök 'olsun' sanmak)→doğru aralığın tümleyeni
   • a'nın işaret koşulunu unutmak (a parametreliyken)→negatif kolu da içeren fazla geniş aralık

   Örnek

   x²+mx+9 > 0 eşitsizliği her reel x için sağlanıyorsa m kaç farklı tam sayı değeri alabilir?

   a=1>0; Δ=m²−36<0 ⇒ −6<m<6; tam sayılar −5,…,5 ⇒ 11 tane

   Sık birleştiği konular: ikinci-derece-denklemler-ayt

5. 05

   Sabitli rasyonel eşitsizlik (çapraz çarpma tuzağı)

   ZorSık çıkar

   f(x)/g(x) ≤ k biçimi. Paydanın işareti bilinmediğinden çapraz çarpma YASAK; sabit sola alınıp tek kesir yapılır. Sınavın seçici sorusu.

   Nasıl çözülür

   1. Sabiti sola al: f(x)/g(x) − k ≤ 0.
   2. Paydaları eşitleyip tek kesir yaz, payı sadeleştir.
   3. Pay ve payda kökleriyle işaret tablosu kur; payda kökü daima hariç.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • Çapraz çarpma yapmak (paydanın işaretini yok saymak)→tek parçalı yanlış aralık — çözümün yalnız bir kolu
   • Payı −1 ile çarparken eşitsizliğin yönünü çevirmemek→doğru kümenin tümleyeni

   Örnek

   (x+3)/(x−1) ≤ 2 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?

   (x+3)/(x−1)−2 = (5−x)/(x−1) ≤ 0 ⇒ (x−5)/(x−1) ≥ 0 ⇒ (−∞,1) ∪ [5,∞)

6. 06

   Eşitsizlik sisteminin ortak çözümü

   Orta

   İki (veya daha çok) eşitsizlik birlikte verilir; kesişim istenir. Hata genellikle kesişim yerine birleşim almakta ya da uç nokta dahilliğini karıştırmaktadır.

   Nasıl çözülür

   1. Her eşitsizliği ayrı ayrı işaret tablosuyla çöz.
   2. Çözümleri aynı sayı doğrusuna işle, KESİŞİMİ al.
   3. Uç noktaları tek tek kontrol et: her iki eşitsizliği de sağlamalı.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • Kesişim yerine birleşim almak→fazla geniş küme (iki çözümün birleşimi)
   • Bir eşitsizlikte hariç olan ucu ortak çözüme dahil etmek→0 gibi sınır değeri içeren yanlış küme

   Örnek

   x²−4 ≤ 0 ve x²−x > 0 sisteminin çözüm kümesi nedir?

   İlki: −2≤x≤2; ikincisi: x(x−1)>0 ⇒ x<0 veya x>1; kesişim ⇒ [−2,0) ∪ (1,2]

7. 07

   Çözüm kümesinden katsayı bulma (ters problem)

   Zor

   Eşitsizliğin çözüm kümesi aralık olarak verilir, katsayılar istenir. Aralığın uç noktaları köklerdir — Vieta ile katsayıya dönülür.

   Nasıl çözülür

   1. Çözüm kümesi (x₁, x₂) ise x₁ ve x₂, ax²+bx+c=0 denkleminin kökleridir.
   2. Kökler toplamı = −b/a, kökler çarpımı = c/a ile katsayıları kur.
   3. Aralığın 'arasında' olması a>0 ile, 'dışında' olması a<0 ile tutarlı mı kontrol et.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • Kökler toplamında işareti unutmak (b=x₁+x₂ yazmak)→b'nin işaretçe tersi (ör. b=4)
   • Aralığın iç/dış bilgisini a'nın işaretiyle bağdaştırmamak→a'nın işareti yanlış seçilmiş katsayı takımı

   Örnek

   x²+bx+c < 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi (−1, 5) ise b+c kaçtır?

   Kökler −1 ve 5: b=−(−1+5)=−4, c=(−1)⋅5=−5 ⇒ b+c=−9

   Sık birleştiği konular: ikinci-derece-denklemler-ayt, polinomlar-ayt