12. Sınıf · Trigonometri

Yarım Açı ve Dönüşüm Formülleri

~8 dk okumaZorluk: Zor6 çözümlü soru

Bu konu yeni müfredattan (Türkiye Yüzyılı Maarif Modeli) kaldırıldı; ancak geçiş dönemi nedeniyle ~2027 YKS'ye kadar sınavda çıkmaya devam ediyor.

Toplam-fark ve iki kat açı formüllerinin doğal devamı olan üç formül ailesini öğreneceğiz: yarım açı formülleri (bir açının yarısının sinüs-kosinüs-tanjantı), toplam-çarpım (iki trigonometrik değerin toplamını çarpıma çevirme) ve çarpım-toplam (çarpımı toplama çevirme). Bu formüller, doğrudan hesaplanamayan açıları ( $\frac{π}{8}$ , $\frac{π}{12}$ gibi) değerlendirmeye, trigonometrik denklemleri çarpanlara ayırmaya ve integral hesaplarında ifadeleri sadeleştirmeye yarar. Hepsi iki kat açı formüllerinden türer; ezberden çok nereden geldiğini kavramaya odaklanacağız. Bol örnek ve "Sıra Sende" alıştırmalarıyla pekiştireceğiz.

1. Yarım Açı Formülleri (Sinüs ve Kosinüs)

İki kat açı kosinüs formülünü hatırla: $cos 2 x = 1 - 2 sin^{2} x = 2 cos^{2} x - 1$ . Burada $2 x$ yerine $α$ , dolayısıyla $x$ yerine $\frac{α}{2}$ yazarsak yarım açı formüllerini elde ederiz:

$sin^{2} \frac{α}{2} = \frac{1 - cos α}{2} cos^{2} \frac{α}{2} = \frac{1 + cos α}{2}$

Kök alınca işaret, $\frac{α}{2}$ 'nin bulunduğu bölgeye göre belirlenir:

$sin \frac{α}{2} = \pm \frac{1 - cos α}{2} cos \frac{α}{2} = \pm \frac{1 + cos α}{2}$

Örnek

Soru

$cos 22, 5^{\circ}$ değerini bulunuz.

$22, 5^{\circ}$ , $4 5^{\circ}$ 'nin yarısıdır. $cos 4 5^{\circ} = \frac{2}{2}$ bilinen bir değerdir; yarım açı kosinüs formülünü kullan.

$22, 5^{\circ} = \frac{4 5 ^{\circ}}{2}$ , yani $α = 4 5^{\circ}$ ve $cos 4 5^{\circ} = \frac{2}{2}$ .
$22, 5^{\circ}$ I. bölgededir, kosinüs pozitiftir: $cos 22, 5^{\circ} = \frac{1 + c o s 4 5 ^{\circ}}{2} = \frac{1 + \frac{2}{2}}{2} = \frac{2 + 2}{4} = \frac{2 + 2}{2} .$

Sonuç:

cos 22, 5^{\circ} = \frac{2 + 2}{2}

2. Yarım Açı Tanjant Formülü

Tanjant için sinüs ve kosinüs yarım açılarını oranlarsak, paydan ve paydayı düzenleyince çok kullanışlı iki biçim çıkar:

$tan \frac{α}{2} = \frac{sin α}{1 + cos α} = \frac{1 - cos α}{sin α}$

Bu iki biçim birbirine eşittir (eşleniklerle çarpınca aynı sonuca varır) ve içinde kök bulunmaz — bu yüzden işaret derdi yoktur, doğrudan değer verir.

Örnek

Soru

$tan \frac{α}{2}$ değerini, $cos α = \frac{3}{5}$ ve $α$ I. bölgede iken bulunuz.

Önce $sin α$ 'yı bul (I. bölgede pozitif), sonra $tan \frac{α}{2} = \frac{1 - cos α}{sin α}$ biçimini kullan.

I. bölgede $sin α > 0$ : $sin α = 1 - cos^{2} α = 1 - \frac{9}{25} = \frac{4}{5}$ .
Formülü uygula: $tan \frac{α}{2} = \frac{1 - c o s α}{s i n α} = \frac{1 - \frac{3}{5}}{\frac{4}{5}} = \frac{\frac{2}{5}}{\frac{4}{5}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} .$

Sonuç:

tan \frac{α}{2} = \frac{1}{2}

3. Toplam-Çarpım Formülleri

İki sinüs (veya iki kosinüs) değerinin toplamını çarpıma çeviren formüller, trigonometrik denklemleri çarpanlara ayırmanın anahtarıdır:

$sin A + sin B = 2 sin \frac{A + B}{2} cos \frac{A - B}{2}$ $sin A - sin B = 2 cos \frac{A + B}{2} sin \frac{A - B}{2}$ $cos A + cos B = 2 cos \frac{A + B}{2} cos \frac{A - B}{2}$ $cos A - cos B = - 2 sin \frac{A + B}{2} sin \frac{A - B}{2}$

Hatırlama anahtarı: toplananların yarı toplamı $\frac{A + B}{2}$ ve yarı farkı $\frac{A - B}{2}$ kullanılır. $cos A - cos B$ 'deki eksi işaretine dikkat.

Örnek

Soru

$sin 7 5^{\circ} + sin 1 5^{\circ}$ değerini bulunuz.

$sin A + sin B$ formülünde $A = 7 5^{\circ}$ , $B = 1 5^{\circ}$ . Yarı toplam $4 5^{\circ}$ , yarı fark $3 0^{\circ}$ olur — her ikisi de bilinen açı.

Formülü uygula: $sin 7 5^{\circ} + sin 1 5^{\circ} = 2 sin \frac{7 5 ^{\circ} + 1 5 ^{\circ}}{2} cos \frac{7 5 ^{\circ} - 1 5 ^{\circ}}{2} = 2 sin 4 5^{\circ} cos 3 0^{\circ} .$
Bilinen değerleri yaz: $sin 4 5^{\circ} = \frac{2}{2}$ , $cos 3 0^{\circ} = \frac{3}{2}$ .
Çarp: $2 \cdot \frac{2}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{6}{2}$ .

Sonuç:

sin 7 5^{\circ} + sin 1 5^{\circ} = \frac{6}{2}

4. Çarpım-Toplam Formülleri

Tersine, iki trigonometrik değerin çarpımını toplama çevirmek (özellikle integralde) gerekir. Bu formüller toplam-fark formüllerini toplayıp çıkararak elde edilir:

$sin A cos B = \frac{1}{2} [sin (A + B) + sin (A - B)]$ $cos A cos B = \frac{1}{2} [cos (A + B) + cos (A - B)]$ $sin A sin B = \frac{1}{2} [cos (A - B) - cos (A + B)]$

Örnek

Soru

$2 sin 10 5^{\circ} cos 4 5^{\circ}$ ifadesini hesaplayınız.

$sin A cos B$ formülünü kullan ( $A = 10 5^{\circ}$ , $B = 4 5^{\circ}$ ): $2 sin 10 5^{\circ} cos 4 5^{\circ} = sin (10 5^{\circ} + 4 5^{\circ}) + sin (10 5^{\circ} - 4 5^{\circ}) = sin 15 0^{\circ} + sin 6 0^{\circ} .$
Değerleri yaz: $sin 15 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ , $sin 6 0^{\circ} = \frac{3}{2}$ .
Topla: $\frac{1}{2} + \frac{3}{2} = \frac{1 + 3}{2}$ .

Sonuç:

\frac{1 + 3}{2}

İki kat ve yarım açı değerlerini görmek için bilinen üçgenler işe yarar: $45$ - $45$ - $90$ ve $30$ - $60$ - $90$ üçgenleri, $\frac{π}{8}$ ve $\frac{π}{12}$ gibi yarım açıların türetildiği temel değerleri verir.

Şekil 1 —

45

45

90

üçgeni.

cos 4 5^{\circ} = sin 4 5^{\circ} = \frac{2}{2}

buradan okunur;

22, 5^{\circ} = \frac{4 5 ^{\circ}}{2}

değerleri bu temel değerden yarım açı formülüyle türetilir.

Şekil 2 —

30

60

90

üçgeni.

sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}

cos 3 0^{\circ} = \frac{3}{2}

değerleri; toplam-çarpım örneklerinde

3 0^{\circ}

6 0^{\circ}

bu üçgenden gelir.

Çözümlü Örnekler

Örnek

Soru

$sin 22, 5^{\circ}$ değerini bulunuz.

$22, 5^{\circ} = \frac{4 5 ^{\circ}}{2}$ , $cos 4 5^{\circ} = \frac{2}{2}$ ; $22, 5^{\circ}$ I. bölgede, sinüs pozitif.
Yarım açı sinüs formülü: $sin 22, 5^{\circ} = \frac{1 - c o s 4 5 ^{\circ}}{2} = \frac{1 - \frac{2}{2}}{2} = \frac{2 - 2}{4} = \frac{2 - 2}{2} .$

Sonuç:

sin 22, 5^{\circ} = \frac{2 - 2}{2}

Örnek

Soru

$cos 7 5^{\circ} - cos 1 5^{\circ}$ değerini bulunuz.

$cos A - cos B$ formülünde eksi işareti ve çift sinüs vardır: $- 2 sin \frac{A + B}{2} sin \frac{A - B}{2}$ .

Formülü uygula ( $A = 7 5^{\circ}$ , $B = 1 5^{\circ}$ ): $cos 7 5^{\circ} - cos 1 5^{\circ} = - 2 sin \frac{7 5 ^{\circ} + 1 5 ^{\circ}}{2} sin \frac{7 5 ^{\circ} - 1 5 ^{\circ}}{2} = - 2 sin 4 5^{\circ} sin 3 0^{\circ} .$
Değerleri yaz: $sin 4 5^{\circ} = \frac{2}{2}$ , $sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ .
Çarp: $- 2 \cdot \frac{2}{2} \cdot \frac{1}{2} = - \frac{2}{2}$ .

Sonuç:

cos 7 5^{\circ} - cos 1 5^{\circ} = - \frac{2}{2}

Örnek

Soru

$\frac{sin 4 0 ^{\circ} + sin 2 0 ^{\circ}}{cos 4 0 ^{\circ} + cos 2 0 ^{\circ}}$ ifadesini sadeleştiriniz.

Hem payı hem paydayı toplam-çarpıma çevir; ortak $cos \frac{A - B}{2}$ çarpanı sadeleşir, geriye $\frac{sin}{cos} = tan$ kalır.

Pay: $sin 4 0^{\circ} + sin 2 0^{\circ} = 2 sin 3 0^{\circ} cos 1 0^{\circ}$ .
Payda: $cos 4 0^{\circ} + cos 2 0^{\circ} = 2 cos 3 0^{\circ} cos 1 0^{\circ}$ .
Oran: $\frac{2 sin 3 0 ^{\circ} cos 1 0 ^{\circ}}{2 cos 3 0 ^{\circ} cos 1 0 ^{\circ}} = \frac{sin 3 0 ^{\circ}}{cos 3 0 ^{\circ}} = tan 3 0^{\circ} = \frac{3}{3}$ .

Sonuç:

tan 3 0^{\circ} = \frac{3}{3}

Örnek

Soru

$sin α = \frac{5}{13}$ ve $α$ I. bölgede iken $tan \frac{α}{2}$ değerini bulunuz.

I. bölgede $cos α > 0$ : $cos α = 1 - sin^{2} α = 1 - \frac{25}{169} = \frac{12}{13}$ .
$tan \frac{α}{2} = \frac{sin α}{1 + cos α} = \frac{\frac{5}{13}}{1 + \frac{12}{13}} = \frac{\frac{5}{13}}{\frac{25}{13}} = \frac{5}{25} = \frac{1}{5}$ .

Sonuç:

tan \frac{α}{2} = \frac{1}{5}

Örnek

Soru

$2 cos 5 0^{\circ} cos 1 0^{\circ}$ ifadesini toplam biçiminde yazınız.

$cos A cos B$ formülü ( $A = 5 0^{\circ}$ , $B = 1 0^{\circ}$ ): $2 cos 5 0^{\circ} cos 1 0^{\circ} = cos (5 0^{\circ} + 1 0^{\circ}) + cos (5 0^{\circ} - 1 0^{\circ}) = cos 6 0^{\circ} + cos 4 0^{\circ} .$
$cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ , dolayısıyla ifade $\frac{1}{2} + cos 4 0^{\circ}$ 'dir.

Sonuç:

cos 6 0^{\circ} + cos 4 0^{\circ} = \frac{1}{2} + cos 4 0^{\circ}

Alıştırmalar — Sıra Sende

Önce kendin çözmeyi dene; sonra çözümü açıp karşılaştır.

Örnek

Soru

$sin 5 0^{\circ} + sin 1 0^{\circ}$ ifadesini çarpım biçiminde yaz.

$sin A + sin B = 2 sin \frac{A + B}{2} cos \frac{A - B}{2}$ ( $A = 5 0^{\circ}$ , $B = 1 0^{\circ}$ ).
$= 2 sin 3 0^{\circ} cos 2 0^{\circ} = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot cos 2 0^{\circ} = cos 2 0^{\circ}$ .

Sonuç:

cos 2 0^{\circ}

Örnek

Soru

$cos 4 0^{\circ} + cos 8 0^{\circ} + cos 16 0^{\circ}$ ifadesinde ilk iki terimi çarpıma çevir.

$cos 4 0^{\circ} + cos 8 0^{\circ} = 2 cos \frac{4 0 ^{\circ} + 8 0 ^{\circ}}{2} cos \frac{8 0 ^{\circ} - 4 0 ^{\circ}}{2} = 2 cos 6 0^{\circ} cos 2 0^{\circ}$ .
$cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ , yani $= 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot cos 2 0^{\circ} = cos 2 0^{\circ}$ .

Sonuç:

cos 4 0^{\circ} + cos 8 0^{\circ} = cos 2 0^{\circ}

Örnek

Soru

$2 sin 7 5^{\circ} sin 1 5^{\circ}$ ifadesini hesapla.

$sin A sin B$ formülü: $2 sin 7 5^{\circ} sin 1 5^{\circ} = cos (7 5^{\circ} - 1 5^{\circ}) - cos (7 5^{\circ} + 1 5^{\circ}) = cos 6 0^{\circ} - cos 9 0^{\circ}$ .
$cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ , $cos 9 0^{\circ} = 0$ , yani $\frac{1}{2} - 0 = \frac{1}{2}$ .

Sonuç:

\frac{1}{2}

Örnek

Soru

$cos α = - \frac{7}{25}$ ve $α$ II. bölgede iken $sin \frac{α}{2}$ değerini bul.

II. bölgede $9 0^{\circ} < α < 18 0^{\circ}$ olduğundan $4 5^{\circ} < \frac{α}{2} < 9 0^{\circ}$ , yani $\frac{α}{2}$ I. bölgededir: işaret pozitif.

$\frac{α}{2}$ I. bölgede, $sin \frac{α}{2} > 0$ .
$sin \frac{α}{2} = \frac{1 - cos α}{2} = \frac{1 - ( - \frac{7}{25} )}{2} = \frac{\frac{32}{25}}{2} = \frac{16}{25} = \frac{4}{5}$ .

Sonuç:

sin \frac{α}{2} = \frac{4}{5}

Örnek

Soru

$sin 8 0^{\circ} - sin 2 0^{\circ}$ ifadesini çarpım biçiminde yaz ve değerini bul.

$sin A - sin B = 2 cos \frac{A + B}{2} sin \frac{A - B}{2}$ ( $A = 8 0^{\circ}$ , $B = 2 0^{\circ}$ ).
$= 2 cos 5 0^{\circ} sin 3 0^{\circ} = 2 cos 5 0^{\circ} \cdot \frac{1}{2} = cos 5 0^{\circ}$ .

Sonuç:

cos 5 0^{\circ}

Örnek

Soru

$tan 1 5^{\circ}$ değerini yarım açı tanjant formülüyle bul.

$1 5^{\circ} = \frac{3 0 ^{\circ}}{2}$ , $cos 3 0^{\circ} = \frac{3}{2}$ , $sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ .
$tan 1 5^{\circ} = \frac{1 - cos 3 0 ^{\circ}}{sin 3 0 ^{\circ}} = \frac{1 - \frac{3}{2}}{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{2 - 3}{2}}{\frac{1}{2}} = 2 - 3$ .

Sonuç:

tan 1 5^{\circ} = 2 - 3

Örnek

Soru

$\frac{sin 3 x + sin x}{cos 3 x + cos x}$ ifadesini sadeleştir.

Pay ve paydayı toplam-çarpıma çevir: $A = 3 x$ , $B = x$ . Yarı toplam $2 x$ , yarı fark $x$ . Ortak $cos x$ çarpanı sadeleşir.

Pay: $sin 3 x + sin x = 2 sin 2 x cos x$ .
Payda: $cos 3 x + cos x = 2 cos 2 x cos x$ .
Oran: $\frac{2 sin 2 x cos x}{2 cos 2 x cos x} = \frac{sin 2 x}{cos 2 x} = tan 2 x$ .

Sonuç:

tan 2 x

Örnek

Soru

$cos 2 0^{\circ} cos 4 0^{\circ} cos 8 0^{\circ}$ çarpımının $\frac{1}{8}$ olduğunu gösteren ilk adımı yaz: $2 cos 4 0^{\circ} cos 2 0^{\circ}$ ifadesini topla biçiminde yaz.

$cos A cos B = \frac{1}{2} [cos (A + B) + cos (A - B)]$ . Buradan $2 cos 4 0^{\circ} cos 2 0^{\circ} = cos 6 0^{\circ} + cos 2 0^{\circ}$ çıkar.

$2 cos 4 0^{\circ} cos 2 0^{\circ} = cos (4 0^{\circ} + 2 0^{\circ}) + cos (4 0^{\circ} - 2 0^{\circ}) = cos 6 0^{\circ} + cos 2 0^{\circ}$ .
$cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ , yani $2 cos 4 0^{\circ} cos 2 0^{\circ} = \frac{1}{2} + cos 2 0^{\circ}$ .

Sonuç:

2 cos 4 0^{\circ} cos 2 0^{\circ} = \frac{1}{2} + cos 2 0^{\circ}

Örnek

Soru

$\frac{cos 4 x - cos 2 x}{sin 4 x + sin 2 x}$ ifadesini sadeleştir.

Pay $cos A - cos B$ (eksi işaret, çift sinüs), payda $sin A + sin B$ . Her ikisinde de yarı toplam $3 x$ , yarı fark $x$ çıkar; ortak çarpanı sadeleştir.

Pay: $cos 4 x - cos 2 x = - 2 sin \frac{4 x + 2 x}{2} sin \frac{4 x - 2 x}{2} = - 2 sin 3 x sin x$ .
Payda: $sin 4 x + sin 2 x = 2 sin \frac{4 x + 2 x}{2} cos \frac{4 x - 2 x}{2} = 2 sin 3 x cos x$ .
Oran: $\frac{- 2 sin 3 x sin x}{2 sin 3 x cos x} = - \frac{sin x}{cos x} = - tan x$ .

Sonuç:

- tan x

Örnek

Soru

$sin \frac{α}{2} = \frac{1}{5}$ ve $\frac{α}{2}$ I. bölgede iken $cos α$ değerini bul.

Yarım açı formülünü ters yönde kullan: $cos α = 1 - 2 sin^{2} \frac{α}{2}$ (iki kat açı formülü).

İki kat açı kosinüs formülü: $cos α = 1 - 2 sin^{2} \frac{α}{2}$ .
$sin^{2} \frac{α}{2} = (\frac{1}{5})^{2} = \frac{1}{5}$ .
$cos α = 1 - 2 \cdot \frac{1}{5} = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$ .

Sonuç:

cos α = \frac{3}{5}

Sık Yapılan Hatalar

Yarım açıda işareti unutmak. $sin \frac{α}{2}$ ve $cos \frac{α}{2}$ kök içerir; başına $\pm$ gelir ve işaret $\frac{α}{2}$ 'nin bölgesine göre seçilir, $α$ 'nın bölgesine göre değil.
$cos A - cos B$ formülünde işareti karıştırmak. Bu tek formülde başta eksi vardır ve iki sinüs çarpılır: $- 2 sin \frac{A + B}{2} sin \frac{A - B}{2}$ .
Toplam-çarpımda yarı toplam/yarı fark yerine $A, B$ 'yi yazmak. Argümanlar daima $\frac{A + B}{2}$ ve $\frac{A - B}{2}$ 'dir, $A$ ve $B$ değil.
Çarpım-toplamdaki $\frac{1}{2}$ katsayısını düşürmek. $sin A cos B = \frac{1}{2} [\dots]$ ; $2 sin A cos B$ verilmedikçe $\frac{1}{2}$ kalır.

Not: Bu üç formül ailesini ezberlemek yerine kaynaklarını hatırla: yarım açı, $cos 2 x$ 'in iki yazılışından; toplam-çarpım ve çarpım-toplam ise toplam-fark formüllerini toplayıp çıkarmaktan gelir. Bir denklemde toplam görünce çarpıma (çarpanlara ayırmak için), çarpım görünce toplama (integral/sadeleştirme için) geçmeyi refleks hâline getir.

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, konuyu sınav formatında (5 şıklı) pekiştirmen için özgün biçimde hazırlanmıştır.

Çözümlü Sorular

Her soruyu önce kendin dene; takıldığında Çözüme Bak.

Soru 1Orta

cos α = - \frac{7}{25}

α

II. bölgede iken

tan \frac{α}{2}

değeri kaçtır?

$α$ II. bölgede olduğundan $sin α > 0$ : $sin α = 1 - cos^{2} α = 1 - \frac{49}{625} = \frac{576}{625} = \frac{24}{25}$ .
Yarım açı tanjant formülü: $tan \frac{α}{2} = \frac{1 - cos α}{sin α} = \frac{1 - ( - \frac{7}{25} )}{\frac{24}{25}} = \frac{\frac{32}{25}}{\frac{24}{25}} = \frac{32}{24} = \frac{4}{3}$ .
İstersen $\frac{sin α}{1 + cos α} = \frac{\frac{24}{25}}{1 - \frac{7}{25}} = \frac{\frac{24}{25}}{\frac{18}{25}} = \frac{4}{3}$ ile de aynı sonuç bulunur.

Sonuç:

tan \frac{α}{2} = \frac{4}{3}

(C).

Soru 2Kolay

cos 10 5^{\circ} + cos 1 5^{\circ}

ifadesinin değeri kaçtır?

$cos A + cos B = 2 cos \frac{A + B}{2} cos \frac{A - B}{2}$ formülünde $A = 10 5^{\circ}$ , $B = 1 5^{\circ}$ .
Yarı toplam $\frac{10 5 ^{\circ} + 1 5 ^{\circ}}{2} = 6 0^{\circ}$ , yarı fark $\frac{10 5 ^{\circ} - 1 5 ^{\circ}}{2} = 4 5^{\circ}$ .
$= 2 cos 6 0^{\circ} cos 4 5^{\circ} = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} = \frac{2}{2}$ .

Sonuç:

\frac{2}{2}

(A).

Soru 3Orta

\frac{cos 5 x - cos x}{sin 5 x - sin x}

ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşağıdakilerden hangisidir?

Pay: $cos 5 x - cos x = - 2 sin \frac{5 x + x}{2} sin \frac{5 x - x}{2} = - 2 sin 3 x sin 2 x$ (eksi işaret ve çift sinüse dikkat).
Payda: $sin 5 x - sin x = 2 cos \frac{5 x + x}{2} sin \frac{5 x - x}{2} = 2 cos 3 x sin 2 x$ .
Oran: $\frac{- 2 sin 3 x sin 2 x}{2 cos 3 x sin 2 x} = - \frac{sin 3 x}{cos 3 x} = - tan 3 x$ .

Sonuç:

- tan 3 x

(C).

Soru 4Orta

sin \frac{π}{12}

değeri aşağıdakilerden hangisidir?

$\frac{π}{12} = 1 5^{\circ} = \frac{3 0 ^{\circ}}{2}$ ; $\frac{π}{12}$ I. bölgede olduğundan sinüs pozitiftir.
Yarım açı sinüs formülü: $sin 1 5^{\circ} = \frac{1 - cos 3 0 ^{\circ}}{2}$ ve $cos 3 0^{\circ} = \frac{3}{2}$ .
$= \frac{1 - \frac{3}{2}}{2} = \frac{2 - 3}{4} = \frac{2 - 3}{2}$ .

Sonuç:

\frac{2 - 3}{2}

(B).

Soru 5Orta

Bir aydınlatma projesinde iki farklı ışığın parlaklık katkısı

L = sin 8 0^{\circ} + sin 4 0^{\circ}

ifadesiyle veriliyor. Bu ifade sadeleştirildiğinde aşağıdakilerden hangisine eşittir?

$sin A + sin B = 2 sin \frac{A + B}{2} cos \frac{A - B}{2}$ formülünde $A = 8 0^{\circ}$ , $B = 4 0^{\circ}$ .
Yarı toplam $\frac{8 0 ^{\circ} + 4 0 ^{\circ}}{2} = 6 0^{\circ}$ , yarı fark $\frac{8 0 ^{\circ} - 4 0 ^{\circ}}{2} = 2 0^{\circ}$ .
$= 2 sin 6 0^{\circ} cos 2 0^{\circ} = 2 \cdot \frac{3}{2} \cdot cos 2 0^{\circ} = 3 cos 2 0^{\circ}$ .

Sonuç:

3 cos 2 0^{\circ}

(A).

Soru 6Zor

2 sin 52, 5^{\circ} cos 7, 5^{\circ}

ifadesinin değeri kaçtır?

$sin A cos B = \frac{1}{2} [sin (A + B) + sin (A - B)]$ olduğundan $2 sin A cos B = sin (A + B) + sin (A - B)$ .
$A = 52, 5^{\circ}$ , $B = 7, 5^{\circ}$ : $A + B = 6 0^{\circ}$ , $A - B = 4 5^{\circ}$ .
$2 sin 52, 5^{\circ} cos 7, 5^{\circ} = sin 6 0^{\circ} + sin 4 5^{\circ} = \frac{3}{2} + \frac{2}{2} = \frac{3 + 2}{2}$ .

Sonuç:

\frac{3 + 2}{2}

(D).

0/6 soru cevaplandı

1. Yarım Açı Formülleri (Sinüs ve Kosinüs)

2. Yarım Açı Tanjant Formülü

3. Toplam-Çarpım Formülleri

4. Çarpım-Toplam Formülleri

Çözümlü Örnekler

Alıştırmalar — Sıra Sende

Sık Yapılan Hatalar

Sınav Tarzı Sorular

Çözümlü Sorular

Trigonometri — diğer konular