12. Sınıf · Trigonometri

Ters Trigonometrik Fonksiyonlar

~7 dk okumaZorluk: Orta6 çözümlü soru

" $sin x = \frac{1}{2}$ ise $x$ kaçtır?" sorusunun cevabını veren fonksiyonlar ters trigonometrik fonksiyonlardır: $arcsin$ , $arccos$ ve $arctan$ . Bir fonksiyonun tersinin olabilmesi için bire bir olması gerekir; oysa $sin$ , $cos$ , $tan$ periyodik oldukları için bire bir değildir. Bu yüzden tanım kümelerini uygun bir aralığa kısıtlarız ve ancak o zaman tersini tanımlarız. Bu derste bu kısıtlamaları, ters fonksiyonların tanım ve değer kümelerini, temel değerlerini ve $sin (arccos x)$ gibi bileşke ifadeleri öğreneceğiz. Bol örnek ve "Sıra Sende" alıştırmalarıyla pekiştireceğiz.

1. Neden Kısıtlama Gerekir?

$y = sin x$ grafiğine yatay bir doğru çizersen onu sonsuz noktada keser; yani $sin x = \frac{1}{2}$ denkleminin sonsuz çözümü vardır. Tek bir cevap verebilmek için $sin$ 'i, tüm değerlerini bir kez aldığı artan bir aralığa kısıtlarız: $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ .

Şekil 1 —

y = sin x

periyodiktir, bir yatay doğru sonsuz kez keser; bire bir değildir.

arcsin

tanımlamak için tanım kümesini

[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]

aralığına kısıtlarız (sinüsün

- 1

'den

1

'e bir kez arttığı aralık).

Kısıtlanmış aralıklarda her fonksiyon bire bir olur ve tersi tanımlanır:

Fonksiyon	Kısıtlı tanım kümesi	Ters fonksiyon	Değer kümesi
$sin$	$[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$	$arcsin$	$[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$
$cos$	$[0, π]$	$arccos$	$[0, π]$
$tan$	$(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$	$arctan$	$(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$

2. Arcsin Fonksiyonu

$arcsin x$ (veya $sin^{- 1} x$ ), "sinüsü $x$ olan, $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ aralığındaki açı"dır:

$arcsin x = θ ⟺ sin θ = x ve θ \in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$

Tanım kümesi $[- 1, 1]$ , değer kümesi $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ 'dir. Cevap daima bu aralıktadır — negatif girdi için cevap dördüncü bölge (negatif açı) verir, II. veya III. bölge değil.

Örnek

Soru

$arcsin \frac{1}{2}$ ve $arcsin (- \frac{3}{2})$ değerlerini bulunuz.

Cevabın $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ aralığında olması gerektiğini unutma. Negatif girdide cevap negatif bir açıdır.

$sin θ = \frac{1}{2}$ ve $θ \in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ : $θ = \frac{π}{6}$ .
$sin θ = - \frac{3}{2}$ ve $θ \in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ : $θ = - \frac{π}{3}$ (IV. bölge, çünkü cevap bu aralıkta olmalı).

Sonuç:

arcsin \frac{1}{2} = \frac{π}{6}

arcsin (- \frac{3}{2}) = - \frac{π}{3}

3. Arccos Fonksiyonu

$arccos x$ , "kosinüsü $x$ olan, $[0, π]$ aralığındaki açı"dır:

$arccos x = θ ⟺ cos θ = x ve θ \in [0, π]$

Tanım kümesi $[- 1, 1]$ , değer kümesi $[0, π]$ 'dir. Dikkat: negatif girdide cevap ikinci bölgededir (örneğin $arccos (- \frac{1}{2}) = \frac{2 π}{3}$ ), çünkü cevap $[0, π]$ içinde kalmalıdır.

Örnek

Soru

$arccos (- \frac{1}{2})$ ve $arccos 0$ değerlerini bulunuz.

$cos θ = - \frac{1}{2}$ ve $θ \in [0, π]$ : II. bölgede $θ = \frac{2 π}{3}$ (çünkü $cos \frac{2 π}{3} = - \frac{1}{2}$ ).
$cos θ = 0$ ve $θ \in [0, π]$ : $θ = \frac{π}{2}$ .

Sonuç:

arccos (- \frac{1}{2}) = \frac{2 π}{3}

arccos 0 = \frac{π}{2}

4. Arctan Fonksiyonu

$arctan x$ , "tanjantı $x$ olan, $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ aralığındaki açı"dır:

$arctan x = θ ⟺ tan θ = x ve θ \in (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$

Tanım kümesi tüm gerçek sayılardır ( $R$ ), çünkü tanjant her değeri alır; değer kümesi $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ (uçlar dahil değil). Birim çember, bu temel değerleri görmenin en kolay yoludur.

Şekil 2 — Birim çemberde bir açı ve uç noktası

P = (cos α, sin α)

. Ters trigonometrik fonksiyonlar bu işlemi tersine çevirir: bir koordinat değeri verilir, ona karşılık gelen (uygun aralıktaki)

α

açısı bulunur.

Örnek

Soru

$arctan 1$ ve $arctan (- 3)$ değerlerini bulunuz.

$tan θ = 1$ ve $θ \in (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ : $θ = \frac{π}{4}$ .
$tan θ = - 3$ ve $θ \in (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ : $θ = - \frac{π}{3}$ (çünkü $tan (- \frac{π}{3}) = - 3$ ).

Sonuç:

arctan 1 = \frac{π}{4}

arctan (- 3) = - \frac{π}{3}

5. Bileşke (İç İçe) İfadeler

$sin (arccos x)$ gibi ifadelerde içteki ters fonksiyonun ürettiği açıya bir ad ( $θ$ ) verip dik üçgen veya $sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1$ özdeşliğini kullanırız. İşaret, ters fonksiyonun değer kümesinden belirlenir.

İki kullanışlı özdeşlik (tanım kümesi içindeki her $x$ için): $sin (arcsin x) = x$ ve $cos (arccos x) = x$ . Ama dikkat: $arcsin (sin x)$ daima $x$ değildir — yalnız $x \in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ ise $x$ 'tir.

Örnek

Soru

$cos (arcsin \frac{3}{5})$ değerini bulunuz.

$θ = arcsin \frac{3}{5}$ de; o zaman $sin θ = \frac{3}{5}$ ve $θ \in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ , yani $cos θ \geq 0$ . $cos θ = 1 - sin^{2} θ$ .

$θ = arcsin \frac{3}{5}$ olsun: $sin θ = \frac{3}{5}$ , $θ \in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ olduğundan $cos θ \geq 0$ .
$cos θ = 1 - sin^{2} θ = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} = \frac{4}{5}$ .

Sonuç:

cos (arcsin \frac{3}{5}) = \frac{4}{5}

Çözümlü Örnekler

Örnek

Soru

$arcsin (- \frac{1}{2}) + arccos (- \frac{1}{2})$ toplamını bulunuz.

$arcsin (- \frac{1}{2}) = - \frac{π}{6}$ (cevap $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ aralığında).
$arccos (- \frac{1}{2}) = \frac{2 π}{3}$ (cevap $[0, π]$ aralığında).
Topla: $- \frac{π}{6} + \frac{2 π}{3} = - \frac{π}{6} + \frac{4 π}{6} = \frac{3 π}{6} = \frac{π}{2}$ .

Sonuç:

\frac{π}{2}

Örnek

Soru

$tan (arccos \frac{4}{5})$ değerini bulunuz.

$θ = arccos \frac{4}{5}$ de; $cos θ = \frac{4}{5}$ , $θ \in [0, π]$ ve $\frac{4}{5} > 0$ olduğundan $θ$ I. bölgede, $sin θ \geq 0$ . Önce $sin θ$ 'yı bul.

$θ = arccos \frac{4}{5}$ : $cos θ = \frac{4}{5}$ . Girdi pozitif olduğundan $θ \in [0, \frac{π}{2}]$ , $sin θ \geq 0$ .
$sin θ = 1 - cos^{2} θ = 1 - \frac{16}{25} = \frac{3}{5}$ .
$tan θ = \frac{sin θ}{cos θ} = \frac{3/5}{4/5} = \frac{3}{4}$ .

Sonuç:

tan (arccos \frac{4}{5}) = \frac{3}{4}

Örnek

Soru

$arccos (cos \frac{4 π}{3})$ değerini bulunuz.

Cevap $[0, π]$ aralığında olmalı; $\frac{4 π}{3}$ bu aralıkta değil. Önce $cos \frac{4 π}{3}$ 'ü bul, sonra $[0, π]$ içinde aynı kosinüsü veren açıyı ara.

$cos \frac{4 π}{3} = - \frac{1}{2}$ .
$arccos (- \frac{1}{2})$ , $[0, π]$ aralığında kosinüsü $- \frac{1}{2}$ olan açıdır: $\frac{2 π}{3}$ .
(Dikkat: $\frac{4 π}{3}$ değer kümesi dışında olduğundan cevap $\frac{4 π}{3}$ değildir.)

Sonuç:

\frac{2 π}{3}

Örnek

Soru

$sin (arctan \frac{5}{12})$ değerini bulunuz.

$θ = arctan \frac{5}{12}$ : $tan θ = \frac{5}{12}$ . Girdi pozitif, $θ \in (0, \frac{π}{2})$ , tüm oranlar pozitif.
Dik üçgen: karşı kenar $5$ , komşu kenar $12$ , hipotenüs $5^{2} + 1 2^{2} = 169 = 13$ .
$sin θ = \frac{kar s ¸ ı}{hipoten u ¨ s} = \frac{5}{13}$ .

Sonuç:

sin (arctan \frac{5}{12}) = \frac{5}{13}

Alıştırmalar — Sıra Sende

Önce kendin çözmeyi dene; sonra çözümü açıp karşılaştır.

Örnek

Soru

$arccos 1$ ve $arcsin 1$ değerlerini bul.

$cos θ = 1$ , $θ \in [0, π]$ : $θ = 0$ .
$sin θ = 1$ , $θ \in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ : $θ = \frac{π}{2}$ .

Sonuç:

arccos 1 = 0

arcsin 1 = \frac{π}{2}

Örnek

Soru

$arctan 0 + arctan (\frac{3}{3})$ toplamını bul.

$arctan 0 = 0$ .
$tan θ = \frac{3}{3} = \frac{1}{3}$ , $θ \in (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ : $θ = \frac{π}{6}$ .
Topla: $0 + \frac{π}{6} = \frac{π}{6}$ .

Sonuç:

\frac{π}{6}

Örnek

Soru

$cos (arccos \frac{2}{7})$ değerini bul.

$\frac{2}{7} \in [- 1, 1]$ olduğundan $cos (arccos x) = x$ özdeşliği geçerlidir.
Sonuç doğrudan $\frac{2}{7}$ 'dir.

Sonuç:

\frac{2}{7}

Örnek

Soru

$arcsin \frac{2}{2} + arccos \frac{2}{2}$ toplamını bul.

$arcsin \frac{2}{2} = \frac{π}{4}$ .
$arccos \frac{2}{2} = \frac{π}{4}$ .
Topla: $\frac{π}{4} + \frac{π}{4} = \frac{π}{2}$ (genel kural: $arcsin x + arccos x = \frac{π}{2}$ ).

Sonuç:

\frac{π}{2}

Örnek

Soru

$sin (arccos \frac{1}{2})$ değerini bul.

$θ = arccos \frac{1}{2} = \frac{π}{3}$ .
$sin \frac{π}{3} = \frac{3}{2}$ .

Sonuç:

\frac{3}{2}

Örnek

Soru

$tan (arcsin \frac{3}{5})$ değerini bul.

$θ = arcsin \frac{3}{5}$ de; karşı kenar $3$ , hipotenüs $5$ olan dik üçgenden komşu kenarı bul. $θ$ I. bölgede olduğundan tüm oranlar pozitif.

$θ = arcsin \frac{3}{5}$ : $sin θ = \frac{3}{5}$ , girdi pozitif → $θ \in [0, \frac{π}{2}]$ .
Dik üçgen: karşı $3$ , hipotenüs $5$ , komşu $5^{2} - 3^{2} = 4$ .
$tan θ = \frac{3}{4}$ .

Sonuç:

\frac{3}{4}

Örnek

Soru

$arcsin (sin \frac{5 π}{6})$ değerini bul.

Cevap $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ aralığında olmalı; $\frac{5 π}{6}$ bu aralıkta değil. Önce $sin \frac{5 π}{6}$ 'yı bul, sonra aralık içinde aynı sinüsü veren açıyı ara.

$sin \frac{5 π}{6} = \frac{1}{2}$ .
$arcsin \frac{1}{2}$ , $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ aralığında sinüsü $\frac{1}{2}$ olan açıdır: $\frac{π}{6}$ .
Demek ki sonuç $\frac{5 π}{6}$ değil, $\frac{π}{6}$ 'dır.

Sonuç:

\frac{π}{6}

Örnek

Soru

$cos (arcsin x)$ ifadesini $x \in [- 1, 1]$ için $x$ cinsinden yaz.

$θ = arcsin x$ de; $θ \in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ olduğundan bu aralıkta $cos θ \geq 0$ — yani kök pozitif alınır.

$θ = arcsin x$ : $sin θ = x$ ve $θ \in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ , bu aralıkta $cos θ \geq 0$ .
$cos θ = 1 - sin^{2} θ = 1 - x^{2}$ (pozitif kök).

Sonuç:

cos (arcsin x) = 1 - x^{2}

Örnek

Soru

$sin (2 arctan \frac{1}{3})$ değerini bul.

$θ = arctan \frac{1}{3}$ de; iki kat açı formülü $sin 2 θ = 2 sin θ cos θ$ gerekir. Önce dik üçgenden $sin θ$ ve $cos θ$ 'yı bul.

$θ = arctan \frac{1}{3}$ : $tan θ = \frac{1}{3}$ , I. bölge. Dik üçgen: karşı $1$ , komşu $3$ , hipotenüs $1^{2} + 3^{2} = 10$ .
$sin θ = \frac{1}{10}$ , $cos θ = \frac{3}{10}$ .
İki kat açı: $sin 2 θ = 2 sin θ cos θ = 2 \cdot \frac{1}{10} \cdot \frac{3}{10} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$ .

Sonuç:

\frac{3}{5}

Sık Yapılan Hatalar

Değer kümesini görmezden gelmek. $arcsin$ ve $arctan$ cevapları $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ , $arccos$ cevapları $[0, π]$ içinde olmalıdır. Negatif girdide $arccos$ II. bölge verir, $arcsin$ ise negatif (IV. bölge) açı verir.
$arcsin (sin x) = x$ sanmak. Bu yalnız $x \in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ ise doğrudur; başka aralıklarda önce $sin x$ hesaplanıp değer kümesindeki açı bulunur.
Tanım kümesini aşmak. $arcsin x$ ve $arccos x$ yalnız $x \in [- 1, 1]$ için tanımlıdır; $arcsin 2$ tanımsızdır. ( $arctan$ ise her gerçek sayıda tanımlıdır.)
Bileşkede işareti yanlış almak. $cos (arcsin x)$ gibi ifadelerde kökün işareti, içteki ters fonksiyonun değer kümesine bakılarak seçilir; $arcsin$ ve $arccos$ 'un kapsadığı aralıkta kosinüs/sinüs işareti farklı çıkabilir.

Not: Ters trigonometrik bir değer sorulduğunda iki şeyi birlikte düşün: "hangi açının" trigonometrik değeri bu ve "o açı hangi aralıkta olmalı". Bileşke ifadelerde içteki açıya $θ$ adını ver, dik üçgen kur veya $sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1$ kullan; işareti daima değer kümesinden doğrula.

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, konuyu sınav formatında (5 şıklı) pekiştirmen için özgün biçimde hazırlanmıştır.

Çözümlü Sorular

Her soruyu önce kendin dene; takıldığında Çözüme Bak.

Soru 1Kolay

arccos (- \frac{3}{2})

değeri kaçtır?

$arccos$ cevabı $[0, π]$ aralığında olmalıdır.
$cos θ = - \frac{3}{2}$ olan açı bu aralıkta II. bölgededir.
$cos \frac{5 π}{6} = - \frac{3}{2}$ olduğundan $θ = \frac{5 π}{6}$ .
(Girdi negatif olduğu için cevap I. bölgede $\frac{π}{6}$ değildir; ayrıca $\frac{7 π}{6}$ değer kümesi dışındadır.)

Sonuç:

\frac{5 π}{6}

Soru 2Kolay

arcsin (- \frac{1}{2}) + arctan 3

toplamı kaçtır?

$arcsin (- \frac{1}{2})$ cevabı $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ aralığında negatif açıdır: $- \frac{π}{6}$ .
$arctan 3$ cevabı $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ aralığındadır: $\frac{π}{3}$ .
Topla: $- \frac{π}{6} + \frac{π}{3} = - \frac{π}{6} + \frac{2 π}{6} = \frac{π}{6}$ .

Sonuç:

\frac{π}{6}

Soru 3Orta

tan (arcsin (- \frac{5}{13}))

değeri kaçtır?

$θ = arcsin (- \frac{5}{13})$ olsun: $sin θ = - \frac{5}{13}$ .
Girdi negatif olduğundan $θ$ , $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ içinde IV. bölgededir; orada $cos θ \geq 0$ .
$cos θ = 1 - sin^{2} θ = 1 - \frac{25}{169} = \frac{12}{13}$ .
$tan θ = \frac{sin θ}{cos θ} = \frac{- 5/13}{12/13} = - \frac{5}{12}$ .

Sonuç:

- \frac{5}{12}

Soru 4Orta

arcsin (sin \frac{2 π}{3})

değeri kaçtır?

$arcsin$ cevabı $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ aralığında olmalı; $\frac{2 π}{3}$ bu aralıkta değildir.
Önce $sin \frac{2 π}{3} = \frac{3}{2}$ .
$arcsin \frac{3}{2}$ , aralıkta sinüsü $\frac{3}{2}$ olan açıdır: $\frac{π}{3}$ .
Yani sonuç $\frac{2 π}{3}$ değil, $\frac{π}{3}$ 'tür.

Sonuç:

\frac{π}{3}

Soru 5Orta

Bir yürüyüş rampası, yatayda

15

m ilerlerken

8

m yükselmektedir. Rampanın yatayla yaptığı açı

α = arctan \frac{8}{15}

olduğuna göre,

sin α

değeri kaçtır?

$α = arctan \frac{8}{15}$ olsun: $tan α = \frac{8}{15}$ ve girdi pozitif olduğundan $α \in (0, \frac{π}{2})$ , tüm oranlar pozitiftir.
Dik üçgen: karşı kenar $8$ , komşu kenar $15$ , hipotenüs $8^{2} + 1 5^{2} = 289 = 17$ .
$sin α = \frac{kar s ¸ ı}{hipoten u ¨ s} = \frac{8}{17}$ .

Sonuç:

\frac{8}{17}

Soru 6Zor

cos (arcsin \frac{3}{5} + arccos \frac{5}{13})

değeri kaçtır?

$A = arcsin \frac{3}{5}$ : $sin A = \frac{3}{5}$ , girdi pozitif ve $A \in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ olduğundan $cos A = \frac{4}{5}$ .
$B = arccos \frac{5}{13}$ : $cos B = \frac{5}{13}$ , $B \in [0, π]$ ve girdi pozitif olduğundan $sin B = \frac{12}{13}$ .
Toplam formülü: $cos (A + B) = cos A cos B - sin A sin B$ .
$= \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{13} - \frac{3}{5} \cdot \frac{12}{13} = \frac{20}{65} - \frac{36}{65} = - \frac{16}{65}$ .

Sonuç:

- \frac{16}{65}

0/6 soru cevaplandı

1. Neden Kısıtlama Gerekir?

2. Arcsin Fonksiyonu

3. Arccos Fonksiyonu

4. Arctan Fonksiyonu

5. Bileşke (İç İçe) İfadeler

Çözümlü Örnekler

Alıştırmalar — Sıra Sende

Sık Yapılan Hatalar

Sınav Tarzı Sorular

Çözümlü Sorular

Trigonometri — diğer konular