9. Sınıf · İstatistiksel Araştırma Süreci

Veri Dağılımlarını Eleştirel Yorumlama

~6 dk okumaZorluk: Orta6 çözümlü soru

Veriyi hesaplamak kadar onu doğru yorumlamak da istatistiğin parçasıdır. Bu derste hazır bir veri dağılımını eleştirel gözle okumayı: grafik türünü doğru anlamayı (özellikle daire grafiği), bir özetin (ortalama/medyan) veriyi ne kadar temsil ettiğini sorgulamayı ve yanıltıcı sunumları fark etmeyi öğreneceğiz. Amaç, bir grafiğe bakıp "bu bana gerçekten ne söylüyor?" sorusunu sorabilmek. Bol örnek ve "Sıra Sende" alıştırmalarıyla pekiştireceğiz.

1. Daire Grafiğini Okuma

Daire grafiğinde bütün, $360°$ (ya da $%100$ ) olarak alınır. Her seçeneğin payı bir dilim ile gösterilir:

$Dilim a \overset{c}{¸} ı s ı = \frac{par c ¸ a}{toplam} \cdot 360° Y \overset{u}{¨} zde = \frac{par c ¸ a}{toplam} \cdot 100$

Şekil 1 —

40

kişinin seçimlerini gösteren daire grafiği. A seçeneğini

10

kişi seçtiyse dilim açısı

\frac{10}{40} \cdot 360° = 90°

, yüzdesi

%25

'tir.

Örnek

Soru

$200$ kişilik bir ankette bir seçeneğin dilim açısı $54°$ 'dir. Bu seçeneği kaç kişi işaretlemiştir?

Oranı açıdan bul: $\frac{54°}{360°} = \frac{3}{20}$ .
Kişi sayısı: $\frac{3}{20} \cdot 200 = 30$ .

Sonuç:

30

kişi.

2. Özet Veriyi Temsil Ediyor mu?

Tek bir ortalama, veriyi her zaman iyi temsil etmez. Uç değerler ortalamayı çeker; bu durumda medyan daha sağlıklıdır.

Örnek

Soru

Bir ofiste $4$ çalışan aylık $20$ bin, patron ise $200$ bin TL kazanıyor. "Ortalama maaş" çalışanları doğru yansıtır mı?

Ortalamayı hesapla, sonra çalışanların çoğunun gerçekte ne kazandığıyla karşılaştır.

Ortalama: $\frac{4 \cdot 20 + 200}{5} = \frac{280}{5} = 56$ bin TL.
Oysa $5$ kişinin maaşları sıralı: $20, 20, 20, 20, 200$ ; medyan $20$ bin.
Patronun maaşı (uç değer) ortalamayı yukarı çekmiş; çalışanların hiçbiri $56$ bin almıyor.

Sonuç: Hayır; uç değer yüzünden ortalama yanıltıcıdır, medyan (

20

bin) daha temsil edicidir.

3. Yanıltıcı Sunumlar

Aynı veri, sunuma göre farklı izlenim bırakabilir. Sık karşılaşılan tuzaklar:

Kesik eksen: sütun grafiğinde dikey eksen $0$ 'dan başlamazsa küçük farklar büyük görünür.
Eksik bütün: daire grafiğinde dilimlerin yüzdeleri toplamı $100$ değilse veri eksiktir.
Oran/sayı karışıklığı: " $%50$ arttı" ile " $50$ kişi arttı" aynı şey değildir; toplamı bilmeden yorum yapılamaz.

Şekil 2 — Aynı veri (

A = 24°

B = 22°

) iki türlü çiziliyor. Solda dikey eksen

20

'den başladığı için A'nın sütunu B'nin iki katı görünür; sağda eksen

0

'dan başlayınca sütunlar neredeyse eşittir. Gerçek fark yalnız

2°

'dir — kesik eksen küçük farkı abartır.

Örnek

Soru

Bir daire grafiğinde dilimler $%30$ , $%25$ ve $%20$ olarak veriliyor. Bu grafik bir bütünü tam gösteriyor mu?

Yüzdeleri topla: $30 + 25 + 20 = 75$ .
Toplam $%100$ değil; $%25$ 'lik kısım eksik (gösterilmemiş).

Sonuç: Hayır; yüzdeler

100

'e tamamlanmıyor, veri eksik sunulmuş.

Çözümlü Örnekler

Örnek

Soru

$120$ kişilik ankette bir seçeneğin yüzdesi $%35$ 'tir. Bu seçeneğin dilim açısı kaç derecedir?

Açı $= \frac{35}{100} \cdot 360° = 126°$ .

Sonuç:

126°

Örnek

Soru

Bir veri kümesi: $2, 3, 3, 4, 38$ . Ortalama mı medyan mı veriyi daha iyi temsil eder?

Ortalama: $\frac{2 + 3 + 3 + 4 + 38}{5} = \frac{50}{5} = 10$ .
Medyan: sıralı listenin ortası $3$ .
Verilerin çoğu $2$ – $4$ arasında; $38$ bir uç değer. Ortalama ( $10$ ) hiçbir veriye yakın değil.

Sonuç: Medyan (

3

) veriyi daha iyi temsil eder.

Örnek

Soru

Bir daire grafiğinde "Evet" dilimi $216°$ 'dir. Ankete katılanların yüzde kaçı "Evet" demiştir?

Yüzde $= \frac{216}{360} \cdot 100 = 60$ .

Sonuç:

%60

Örnek

Soru

Şekil 2'deki gibi iki şehrin sıcaklık grafiğinde dikey eksen $20°$ 'den başlıyor ve A şehrinin sütunu B'nin iki katı görünüyor. Gerçek sıcaklıklar A $= 24°$ , B $= 22°$ ise sütunlar yanıltıcı mı?

Gerçek fark yalnız $2°$ ( $24$ ve $22$ ).
Eksen $0$ yerine $20$ 'den başladığından A'nın sütunu ( $4$ birim) B'nin ( $2$ birim) iki katı görünür.

Sonuç: Evet; kesik eksen küçük farkı abartmış, grafik yanıltıcıdır.

Alıştırmalar — Sıra Sende

Önce kendin çözmeyi dene; sonra çözümü açıp karşılaştır.

Örnek

Soru

$300$ kişilik ankette dilim açısı $72°$ olan seçeneği kaç kişi seçmiştir?

$\frac{72}{360} \cdot 300 = \frac{1}{5} \cdot 300 = 60$ .

Sonuç:

60

kişi.

Örnek

Soru

Bir daire grafiğinde dilimler $%40$ , $%35$ , $%15$ . Eksik yüzde kaçtır?

$100 - (40 + 35 + 15) = 100 - 90 = 10$ .

Sonuç:

%10

Örnek

Soru

$1, 2, 2, 3, 92$ verisinde ortalama kaçtır ve veriyi iyi temsil eder mi?

Ortalama: $\frac{1 + 2 + 2 + 3 + 92}{5} = \frac{100}{5} = 20$ .
$92$ bir uç değer; çoğu veri $1$ – $3$ arası. Ortalama temsil etmiyor (medyan $2$ ).

Sonuç: Ortalama

20

; uç değer yüzünden temsil etmez, medyan daha iyi.

Örnek

Soru

Bir seçeneğin yüzdesi $%45$ ise daire grafiğindeki dilim açısı kaç derecedir?

$\frac{45}{100} \cdot 360 = 162°$ .

Sonuç:

162°

Örnek

Soru

"Bu yıl üye sayımız $%100$ arttı" diyen bir kulüp aslında $10$ üyeden $20$ üyeye çıkmış. Bu ifade yanıltıcı mı?

$%100$ artış doğru ( $10 \to 20$ iki katı), ama mutlak artış yalnız $10$ kişi.
Yüzde büyük görünse de sayı küçük; bağlam verilmezse abartılı izlenim doğurur.

Sonuç: Teknik olarak doğru ama bağlamsız; sayı verilmediğinde yanıltıcı olabilir.

Örnek

Soru

Bir daire grafiğinde "Spor" diliminin açısı $90°$ 'dir. Bu dilimi $45$ kişi seçtiyse ankete toplam kaç kişi katılmıştır?

$90°$ 'nin tüm daireye ( $360°$ ) oranı, $45$ kişinin toplam kişiye oranına eşittir.

$\frac{90}{360} = \frac{1}{4}$ ; yani $45$ kişi toplamın $\frac{1}{4}$ 'üdür.
Toplam $= 45 \cdot 4 = 180$ kişi.

Sonuç:

180

kişi.

Örnek

Soru

Bir ürünün fiyatı önce $%20$ artıyor, sonra yeni fiyat üzerinden $%20$ azalıyor. Fiyat başlangıçtaki değerine eşit mi olur?

Başlangıç fiyatına $100$ TL de; artışı ve azalışı sırayla uygula. Yüzdeler farklı tabanlar üzerinden hesaplanır.

Başlangıç $100$ TL. $%20$ artış: $100 \cdot 1, 2 = 120$ TL.
Yeni fiyat üzerinden $%20$ azalış: $120 \cdot 0, 8 = 96$ TL.
Sonuç $96 < 100$ ; çünkü azalış daha büyük bir taban ( $120$ ) üzerinden hesaplandı.

Sonuç: Hayır; fiyat

96

TL'ye, yani başlangıçtan

%4

daha aşağı iner. "Eşit artış-azalış eski değeri verir" düşüncesi yanıltıcıdır.

Örnek

Soru

Bir markette $5$ kasiyer saatte sırasıyla $30, 32, 28, 30, x$ müşteri karşılıyor. Bu verinin hem ortalaması hem modu $30$ ise $x$ kaçtır?

Önce ortalama koşulunu kur; bulduğun $x$ değerinin modu da $30$ yapıp yapmadığını kontrol et.

Ortalama koşulu: $\frac{30 + 32 + 28 + 30 + x}{5} = 30 \Rightarrow 120 + x = 150 \Rightarrow x = 30$ .
Kontrol — mod: değerler $30, 32, 28, 30, 30$ ; $30$ üç kez tekrar ediyor, mod $30$ . İki koşul da sağlanır.

Sonuç:

x = 30

Sık Yapılan Hatalar

Daire grafiğinde açı ve yüzdeyi karıştırmak. Tam daire $360° = %100$ ; $\frac{a c ¸ ı}{360} = \frac{y u ¨ zde}{100}$ orantısını kur.
Ortalamayı her zaman "tipik değer" sanmak. Uç değer varken ortalama yanıltır; medyanı da kontrol et.
Eksik bütünü fark etmemek. Daire diliminin yüzdeleri $100$ 'e tamamlanmıyorsa veri eksik sunulmuştur.
Yüzde ile sayıyı denkleştirmek. " $%50$ arttı" ifadesi toplam bilinmeden bir miktar (kişi/adet) anlamına gelmez.

Not: Bir grafiği yorumlarken üç soru sor: Eksen nerede başlıyor? Bütün tam mı? Özet (ortalama/medyan) veriyi gerçekten temsil ediyor mu? Eleştirel okuma, doğru hesaplamak kadar önemlidir.

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, konuyu sınav formatında (5 şıklı) pekiştirmen için özgün biçimde hazırlanmıştır.

Çözümlü Sorular

Her soruyu önce kendin dene; takıldığında Çözüme Bak.

Soru 1Kolay

Bir daire grafiğinde bir seçeneğin yüzdesi

%65

'tir. Bu seçeneğin dilim açısı kaç derecedir?

Açı ile yüzde arasındaki orantı: $\frac{a c ¸ ı}{360} = \frac{y u ¨ zde}{100}$ .
Açı $= \frac{65}{100} \cdot 360°$ .
$\frac{65}{100} \cdot 360 = 65 \cdot 3, 6 = 234°$ .

Sonuç:

234°

Soru 2Orta

Bir daire grafiğinde bir seçeneğin dilim açısı

120°

'dir ve bu seçeneği

48

kişi işaretlemiştir. Ankete toplam kaç kişi katılmıştır?

Dilimin daireye oranı: $\frac{120}{360} = \frac{1}{3}$ .
Yani $48$ kişi toplamın $\frac{1}{3}$ 'üdür.
Toplam $= 48 \cdot 3 = 144$ kişi.

Sonuç:

144

kişi.

Soru 3Kolay

Bir daire grafiğinde dilimler

%28

%17

%33

olarak veriliyor. Grafikte gösterilmeyen (eksik) yüzde kaçtır?

Daire grafiğinde tüm dilimlerin yüzdeleri toplamı $%100$ olmalıdır.
Verilenlerin toplamı: $28 + 17 + 33 = 78$ .
Eksik yüzde $= 100 - 78 = 22$ .

Sonuç:

%22

Soru 4Orta

6, 7, 8, 9, 120

veri kümesinin ortalaması kaçtır?

Ortalama $= \frac{6 + 7 + 8 + 9 + 120}{5}$ .
Pay: $6 + 7 + 8 + 9 + 120 = 150$ .
Ortalama $= \frac{150}{5} = 30$ . (Not: $120$ bir uç değerdir; medyan $8$ veriyi daha iyi temsil eder.)

Sonuç: Ortalama

30

; ama uç değer nedeniyle medyan (

8

) daha temsil edicidir.

Soru 5Orta

Bir kafenin müşteri sayısı pazartesi

40

, salı

50

kişidir. Kafe sahibi "Müşterilerimiz

%25

arttı!" diyor. Bu ifadeyle ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Mutlak artış: $50 - 40 = 10$ kişi.
Yüzde artış $= \frac{10}{40} \cdot 100 = %25$ ; yani ifade doğrudur.
Ancak $%25$ 'lik oran yalnız $10$ kişilik bir artışa karşılık gelir; yüzde ile mutlak sayı karıştırılmamalıdır.

Sonuç: İfade doğrudur: oransal artış

%25

, fakat mutlak artış sadece

10

kişidir.

Soru 6Zor

Bir öğrencinin

5

sınav notundan dördü

12, 15, 15, 18

olarak biliniyor. Beşinci not

x

'tir ve notların ortalaması

20

olduğuna göre,

x

kaçtır ve bu durumda ortalama mı yoksa medyan mı notları daha iyi temsil eder?

Ortalama koşulu: $\frac{12 + 15 + 15 + 18 + x}{5} = 20$ .
$60 + x = 100 \Rightarrow x = 40$ .
Sıralı veri: $12, 15, 15, 18, 40$ ; medyan (ortadaki) $15$ 'tir.
$40$ bir uç değerdir ve ortalamayı yukarı çeker; notların çoğu $12$ – $18$ arasındadır. Bu nedenle medyan ( $15$ ) veriyi daha iyi temsil eder.

Sonuç:

x = 40

; uç değer nedeniyle medyan (

15

) daha iyi temsil eder.

0/6 soru cevaplandı

1. Daire Grafiğini Okuma

2. Özet Veriyi Temsil Ediyor mu?

3. Yanıltıcı Sunumlar

Çözümlü Örnekler

Alıştırmalar — Sıra Sende

Sık Yapılan Hatalar

Sınav Tarzı Sorular

Çözümlü Sorular

İstatistiksel Araştırma Süreci — diğer konular