9. Sınıf · İstatistiksel Araştırma Süreci

Tek Değişkenli Veri Dağılımları

~7 dk okumaZorluk: Orta6 çözümlü soru

İstatistiksel Araştırma Süreci teması, bir soruyu veriyle yanıtlamayı öğretir. Bu derste tek nicel değişkenli bir veri kümesini özetleyen ölçüleri — merkezî eğilim (aritmetik ortalama, ortanca/medyan, tepe değer/mod) ve yayılım (açıklık) — hesaplamayı ve bir veriyi sütun grafiğinden okumayı öğreneceğiz. Bu ölçüler, "veri genelde nerede toplanıyor ve ne kadar yayılmış?" sorusunun yanıtıdır. Bol örnek ve "Sıra Sende" alıştırmalarıyla pekiştireceğiz.

1. Aritmetik Ortalama

Bir veri kümesinin aritmetik ortalaması $\overline{x}$ , tüm değerlerin toplamının veri sayısına bölümüdür:

$\overline{x} = \frac{verilerin toplam ı}{veri say ı s ı}$

Ortalama, verinin "ağırlık merkezini" temsil eder; aşırı büyük ya da küçük bir uç değerden etkilenir.

Örnek

Soru

$5, 8, 11, 16$ verilerinin aritmetik ortalamasını bulunuz.

Topla: $5 + 8 + 11 + 16 = 40$ .
Veri sayısına böl: $\overline{x} = \frac{40}{4} = 10$ .

Sonuç:

\overline{x} = 10

2. Ortanca (Medyan)

Medyan, veriler küçükten büyüğe sıralandığında tam ortadaki değerdir. Sıralama yapmadan medyan bulunamaz.

Veri sayısı tek ise: ortadaki değer.
Veri sayısı çift ise: ortadaki iki değerin ortalaması.

Medyan, uç değerlerden ortalamadan daha az etkilenir.

Şekil 1 —

3, 4, 6, 7, 9, 10

verisi sayı doğrusuna dizildiğinde medyan, ortadaki iki değer olan

6

ile

7

'nin tam ortasındadır:

\frac{6 + 7}{2} = 6, 5

. Çift veride medyan bir veri değeri olmak zorunda değildir.

Örnek

Soru

$7, 3, 9, 4, 10, 6$ verilerinin medyanını bulunuz.

Önce küçükten büyüğe sırala. Veri sayısı çiftse ortadaki iki değerin ortalamasını al.

Sırala: $3, 4, 6, 7, 9, 10$ .
$6$ veri (çift); ortadakiler $3.$ ve $4.$ sıradaki $6$ ve $7$ .
Medyan: $\frac{6 + 7}{2} = 6, 5$ .

Sonuç: Medyan

= 6, 5

3. Tepe Değer (Mod)

Mod, veri kümesinde en çok tekrar eden değerdir. Bir kümede birden fazla mod olabilir; hiç tekrar yoksa mod yoktur.

Örnek

Soru

$4, 6, 6, 9, 6, 4$ verilerinin modunu bulunuz.

Tekrarlara bak: $6$ üç kez, $4$ iki kez, $9$ bir kez.
En çok tekrar eden değer $6$ 'dır.

Sonuç: Mod

= 6

4. Açıklık (Yayılım)

Açıklık (ranj), verinin en büyük ve en küçük değeri arasındaki farktır; verinin ne kadar yayıldığını gösterir:

$A \overset{c}{¸} ı kl ı k = en b \overset{u}{¨} y \overset{u}{¨} k de \overset{g}{˘} er - en k \overset{u}{¨} \overset{c}{¸} \overset{u}{¨} k de \overset{g}{˘} er$

Örnek

Soru

$14, 9, 21, 6, 18$ verilerinin açıklığını bulunuz.

En büyük $21$ , en küçük $6$ .
Açıklık $= 21 - 6 = 15$ .

Sonuç:

15

5. Sütun Grafiğinden Veri Okuma

Sütun grafiğinde her kategori bir sütunla, değeri sütunun yüksekliğiyle gösterilir. Merkezî eğilim ve açıklık ölçülerini doğrudan yüksekliklerden okuyabilirsin.

Şekil 2 — Bir kırtasiyenin günlere göre sattığı kitap sayısı: Pazartesi

4

, Salı

8

, Çarşamba

6

, Perşembe

10

. Ortalama

\frac{4 + 8 + 6 + 10}{4} = 7

, açıklık

10 - 4 = 6

'dır.

Örnek

Soru

Yukarıdaki grafikte dört günün satışları $4, 8, 6, 10$ 'dur. Medyanı bulunuz.

Sırala: $4, 6, 8, 10$ .
Çift veri; ortadakiler $6$ ve $8$ : $\frac{6 + 8}{2} = 7$ .

Sonuç: Medyan

= 7

Çözümlü Örnekler

Örnek

Soru

$12, 15, 18, 15$ verilerinin ortalama, medyan ve modunu bulunuz.

Ortalama: $\frac{12 + 15 + 18 + 15}{4} = \frac{60}{4} = 15$ .
Sırala: $12, 15, 15, 18$ ; medyan $\frac{15 + 15}{2} = 15$ .
Mod: en çok tekrar eden $15$ .

Sonuç: Ortalama

15

, medyan

15

, mod

15

Örnek

Soru

Bir öğrencinin $4$ sınav ortalaması $80$ 'dir. Beşinci sınavdan $90$ alırsa yeni ortalaması kaç olur?

İlk dört sınavın toplamı: $4 \cdot 80 = 320$ .
Beşinciyi ekle: $320 + 90 = 410$ .
Yeni ortalama: $\frac{410}{5} = 82$ .

Sonuç:

82

Örnek

Soru

$3, 7, x, 9, 11$ verilerinin ortalaması $8$ ise $x$ kaçtır?

Ortalama formülü: $\frac{3 + 7 + x + 9 + 11}{5} = 8$ .
$30 + x = 40 \Rightarrow x = 10$ .

Sonuç:

x = 10

Örnek

Soru

$10$ kişilik bir grubun yaş açıklığı $24$ , en küçük yaş $18$ ise en büyük yaş kaçtır?

Açıklık $=$ en büyük $-$ en küçük: $24 = x - 18$ .
$x = 42$ .

Sonuç:

42

Alıştırmalar — Sıra Sende

Önce kendin çözmeyi dene; sonra çözümü açıp karşılaştır.

Örnek

Soru

$2, 4, 9, 5$ verilerinin ortalamasını bul.

$\frac{2 + 4 + 9 + 5}{4} = \frac{20}{4} = 5$ .

Sonuç:

5

Örnek

Soru

$8, 3, 5, 12, 7$ verilerinin medyanını bul.

Sırala: $3, 5, 7, 8, 12$ .
$5$ veri (tek); ortadaki $7$ .

Sonuç:

7

Örnek

Soru

$5, 5, 8, 8, 8, 2$ verilerinin modu ve açıklığı nedir?

Mod: en çok tekrar eden $8$ (üç kez).
Açıklık: $8 - 2 = 6$ .

Sonuç: Mod

8

, açıklık

6

Örnek

Soru

$6, 10, x$ verilerinin ortalaması $9$ ise $x$ kaçtır?

$\frac{6 + 10 + x}{3} = 9 \Rightarrow 16 + x = 27 \Rightarrow x = 11$ .

Sonuç:

11

Örnek

Soru

Bir sınıfın sınav notları sütun grafiğinde $50, 70, 90, 70$ olarak okunuyor. Notların modunu bul.

En çok tekrar eden değer $70$ (iki kez).

Sonuç: Mod

= 70

Örnek

Soru

$7, 7, 10, 13, 13$ verilerinin ortalama, medyan ve modunu bul. Hepsi eşit mi?

Ortalama: $\frac{7 + 7 + 10 + 13 + 13}{5} = \frac{50}{5} = 10$ .
Sırala: $7, 7, 10, 13, 13$ ; $5$ veri (tek), ortadaki $3.$ değer $10$ .
Mod: $7$ iki kez, $13$ iki kez tekrar ediyor; iki mod var: $7$ ve $13$ .

Sonuç: Ortalama

10

, medyan

10

, mod

7

13

(iki tepe değerli).

Örnek

Soru

$5$ kişilik bir takımın boy ortalaması $174$ cm'dir. Takıma boyu $186$ cm olan bir oyuncu katılırsa yeni ortalama kaç olur?

Önce $5$ kişinin boy toplamını $5 \cdot 174$ ile bul; yeni oyuncuyu ekleyip $6$ 'ya böl.

İlk $5$ kişinin toplamı: $5 \cdot 174 = 870$ .
Yeni oyuncuyu ekle: $870 + 186 = 1056$ .
Yeni ortalama: $\frac{1056}{6} = 176$ cm.

Sonuç:

176

cm.

Örnek

Soru

$4, 9, 9, x, 14$ verilerinin medyanı $9$ , en küçük değeri $4$ 'tür. Açıklık $12$ ise $x$ kaç olabilir?

Açıklık $=$ en büyük $-$ en küçük olduğundan önce en büyük değeri bul; sonra $x$ 'in bu sıralamayı bozmamasına dikkat et.

Açıklık $=$ en büyük $-$ en küçük $= 12$ ; en küçük $4$ olduğundan en büyük $= 4 + 12 = 16$ .
Demek ki verilerden biri $16$ olmalı; listede $14$ var, o hâlde $x = 16$ .
Kontrol: sıralı liste $4, 9, 9, 14, 16$ ; ortadaki $3.$ değer $9$ , medyan doğru.

Sonuç:

x = 16

Örnek

Soru

Bir öğrencinin ilk $3$ sınav ortalaması $70$ 'tir. Dört sınavın ortalamasını $75$ yapmak için dördüncü sınavdan kaç almalıdır?

Dört sınavın olması gereken toplamından, ilk üç sınavın toplamını çıkar.

İlk üç sınavın toplamı: $3 \cdot 70 = 210$ .
Dört sınavın olması gereken toplamı: $4 \cdot 75 = 300$ .
Dördüncü sınav notu: $300 - 210 = 90$ .

Sonuç:

90

Sık Yapılan Hatalar

Medyanda sıralamayı atlamak. Önce her zaman küçükten büyüğe sırala, sonra ortadakini seç.
Çift veri sayısında medyanı tek değer sanmak. Ortadaki iki değerin ortalamasını al.
Mod ile medyanı karıştırmak. Mod en çok tekrar eden değer, medyan sıralı listenin ortasıdır.
Açıklığı veri sayısıyla karıştırmak. Açıklık $=$ en büyük $-$ en küçük; kaç veri olduğuyla ilgili değildir.
Modu tek değer sanmak. Bir kümede en yüksek tekrarı birden çok değer paylaşıyorsa mod birden fazladır; hiç tekrar yoksa mod yoktur.

Not: Bir veri kümesini özetlerken önce sırala. Ortalama uç değerlerden etkilenir; uç değer varsa medyan veriyi daha sağlıklı temsil eder.

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, konuyu sınav formatında (5 şıklı) pekiştirmen için özgün biçimde hazırlanmıştır.

Çözümlü Sorular

Her soruyu önce kendin dene; takıldığında Çözüme Bak.

Soru 1Kolay

12, 18, 27, 15, 23

verilerinin aritmetik ortalaması kaçtır?

Tüm değerleri topla: $12 + 18 + 27 + 15 + 23 = 95$ .
Veri sayısı $5$ olduğundan ortalama: $\overline{x} = \frac{95}{5} = 19$ .

Sonuç:

\overline{x} = 19

Soru 2Orta

11, 4, 8, 15, 6, 20

verilerinin medyanı (ortancası) kaçtır?

Önce küçükten büyüğe sırala: $4, 6, 8, 11, 15, 20$ .
Veri sayısı $6$ (çift); ortadaki iki değer $3.$ ve $4.$ sıradaki $8$ ile $11$ 'dir.
Medyan: $\frac{8 + 11}{2} = \frac{19}{2} = 9, 5$ .

Sonuç: Medyan

= 9, 5

Soru 3Kolay

Bir haftalık sıcaklık ölçümlerinde en düşük değer

- 3^{\circ} C

ve açıklık

17^{\circ} C

olarak bulunmuştur. Buna göre en yüksek sıcaklık kaç

^{\circ} C

'dir?

Açıklık $=$ en büyük değer $-$ en küçük değer.
$17 = x - (- 3) = x + 3$ .
$x = 17 - 3 = 14$ .

Sonuç:

14^{\circ} C

Soru 4Orta

7, 13, x, 19, 6

verilerinin aritmetik ortalaması

12

ise

x

kaçtır?

Ortalama formülü: $\frac{7 + 13 + x + 19 + 6}{5} = 12$ .
Bilinenlerin toplamı $7 + 13 + 19 + 6 = 45$ , yani $\frac{45 + x}{5} = 12$ .
$45 + x = 60 \Rightarrow x = 15$ .

Sonuç:

x = 15

Soru 5Orta

Bir kafenin beş güne ait sattığı tatlı sayıları sütun grafiğinden

12, 7, 15, 7, 9

olarak okunuyor. Bu verilerin modu ile medyanının toplamı kaçtır?

Mod, en çok tekrar eden değerdir: $7$ iki kez geçer, diğerleri birer kez; mod $= 7$ .
Medyan için sırala: $7, 7, 9, 12, 15$ . Veri sayısı $5$ (tek), ortadaki $3.$ değer $9$ ; medyan $= 9$ .
Toplam: $7 + 9 = 16$ .

Sonuç: Mod

+

medyan

= 7 + 9 = 16

Soru 6Zor

Bir atölyedeki

6

çalışanın yaş ortalaması

34

'tür. Atölyeye yaşları

40

44

olan iki yeni çalışan katılırsa yeni yaş ortalaması kaç olur?

İlk $6$ çalışanın yaş toplamı: $6 \cdot 34 = 204$ .
İki yeni çalışanı ekle: $204 + 40 + 44 = 288$ .
Toplam kişi sayısı $8$ olduğundan yeni ortalama: $\frac{288}{8} = 36$ .

Sonuç:

36

0/6 soru cevaplandı

1. Aritmetik Ortalama

2. Ortanca (Medyan)

3. Tepe Değer (Mod)

4. Açıklık (Yayılım)

5. Sütun Grafiğinden Veri Okuma

Çözümlü Örnekler

Alıştırmalar — Sıra Sende

Sık Yapılan Hatalar

Sınav Tarzı Sorular

Çözümlü Sorular

İstatistiksel Araştırma Süreci — diğer konular