12. Sınıf · Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar

Üstel Fonksiyon

~7 dk okumaZorluk: Orta6 çözümlü soru

Bir miktarın her adımda sabit bir oranla büyümesi ya da küçülmesi (faiz, bakteri çoğalması, radyoaktif bozunma) üstel fonksiyon ile modellenir: $f (x) = a^{x}$ . Bu derste üstel fonksiyonun tanımını ve $a > 1$ ile $0 < a < 1$ durumlarındaki grafiğini, temel özelliklerini ve üstel denklemleri (tabanları eşitleyerek çözme) öğreneceğiz. Üslü ifade kurallarını ( $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$ vb.) hatırlamak bu konunun anahtarıdır. Bol örnek ve "Sıra Sende" alıştırmalarıyla ilerleyeceğiz.

1. Üstel Fonksiyon Nedir?

$a > 0$ ve $a \neq = 1$ olmak üzere

$f (x) = a^{x}$

biçimindeki fonksiyona üstel fonksiyon denir. Burada $a$ sayısına taban denir.

Neden $a > 0$ ? Çünkü taban negatif olursa (örneğin $(- 2)^{1/2} = - 2$ ) bazı $x$ değerlerinde sonuç gerçek sayı olmaz. Neden $a \neq = 1$ ? Çünkü $1^{x} = 1$ her zaman sabittir, yani fonksiyon eğri değil yatay bir doğru olurdu.

Tanım kümesi tüm gerçek sayılardır ( $R$ ); değer kümesi ise yalnızca pozitif sayılardır: $a^{x} > 0$ her zaman. Ayrıca $a^{0} = 1$ olduğundan her üstel fonksiyonun grafiği $(0, 1)$ noktasından geçer.

Örnek

Soru

$f (x) = 3^{x}$ için $f (2)$ , $f (0)$ ve $f (- 1)$ değerlerini bulunuz.

$f (2) = 3^{2} = 9$ .
$f (0) = 3^{0} = 1$ .
$f (- 1) = 3^{- 1} = \frac{1}{3}$ .

Sonuç:

9, 1, \frac{1}{3}

2. Artan Üstel Fonksiyon ( $a > 1$ )

Taban $1$ 'den büyükse fonksiyon artandır: $x$ büyüdükçe $a^{x}$ de büyür. Grafik $(0, 1)$ noktasından geçer, sağa doğru hızla yükselir; sola doğru ise $x$ ekseni ( $y = 0$ ) bir yatay asimptottur — grafik ona yaklaşır ama hiç dokunmaz (çünkü $a^{x} > 0$ ).

Şekil 1 —

f (x) = 2^{x}

grafiği (

a = 2 > 1

(0, 1)

noktasından geçer, soldan

x

eksenine yaklaşır (yatay asimptot

y = 0

), sağa doğru hızla yükselir. Değer kümesi

(0, \infty)

Örnek

Soru

$f (x) = 2^{x}$ artan mı azalan mıdır? $f (3)$ ile $f (5)$ değerlerini karşılaştırınız.

Taban $2 > 1$ olduğundan fonksiyon artandır.
$f (3) = 2^{3} = 8$ , $f (5) = 2^{5} = 32$ .
$3 < 5$ iken $8 < 32$ ; büyük üs büyük değeri verir.

Sonuç: Artandır;

f (3) < f (5)

3. Azalan Üstel Fonksiyon ( $0 < a < 1$ )

Taban $0$ ile $1$ arasındaysa fonksiyon azalandır: $x$ büyüdükçe $a^{x}$ küçülür. Yine grafik $(0, 1)$ noktasından geçer ve $y = 0$ yatay asimptottur; ama bu kez grafik sağa doğru $x$ eksenine yaklaşır.

$(\frac{1}{2})^{x} = 2^{- x}$ olduğundan, azalan üstel grafik artan grafiğin $y$ eksenine göre simetriğidir.

Şekil 2 —

f (x) = (\frac{1}{2})^{x}

grafiği (

0 < a < 1

(0, 1)

noktasından geçer, sağa doğru

x

eksenine yaklaşır. Taban

1

'den küçük olduğundan fonksiyon azalandır.

Örnek

Soru

$f (x) = (\frac{1}{3})^{x}$ fonksiyonu artan mı azalan mıdır? $f (- 2)$ değerini bulunuz.

Taban $\frac{1}{3}$ , yani $0 < a < 1$ . Ayrıca $(\frac{1}{3})^{- 2} = 3^{2}$ yazabilirsin.

Taban $\frac{1}{3} < 1$ olduğundan fonksiyon azalandır.
$f (- 2) = (\frac{1}{3})^{- 2} = 3^{2} = 9$ .

Sonuç: Azalandır;

f (- 2) = 9

4. Üstel Denklemler

Bilinmeyenin üs olarak yer aldığı denklemlere üstel denklem denir. Temel kural, üstel fonksiyonun birebir olmasına dayanır:

$a^{x} = a^{y} ⟺ x = y (a > 0, a \neq = 1)$

Yani iki tarafı aynı tabana getirip üsleri eşitleriz. Bunun için sayıları kuvvet biçiminde yazmak (örneğin $8 = 2^{3}$ , $\frac{1}{9} = 3^{- 2}$ ) gerekir.

Örnek

Soru

$2^{x} = 32$ denklemini çözünüz.

Sağ tarafı $2$ tabanında yaz: $32 = 2^{5}$ .
Denklem $2^{x} = 2^{5}$ olur; üsleri eşitle: $x = 5$ .

Sonuç:

x = 5

Örnek

Soru

$3^{x - 1} = \frac{1}{27}$ denklemini çözünüz.

$\frac{1}{27} = 3^{- 3}$ . İki tarafı $3$ tabanına getir, sonra üsleri eşitle.

Sağ tarafı $3$ tabanında yaz: $\frac{1}{27} = 3^{- 3}$ .
Denklem $3^{x - 1} = 3^{- 3}$ olur; üsleri eşitle: $x - 1 = - 3$ .
$x = - 2$ .

Sonuç:

x = - 2

5. Ortak Çarpan ve Değişken Değiştirme

Bazı üstel denklemlerde aynı taban birden çok terimde görünür. Üs kurallarıyla ortak çarpan parantezine alarak ya da $a^{x} = t$ değişken değiştirmesi yaparak sadeleştiririz.

Hatırlatma: $a^{x + 1} = a^{x} \cdot a$ ve $a^{2 x} = (a^{x})^{2}$ .

Örnek

Soru

$2^{x + 1} + 2^{x} = 24$ denklemini çözünüz.

$2^{x + 1} = 2 \cdot 2^{x}$ yaz; $2^{x}$ 'i ortak parantezine al.

$2^{x + 1} = 2 \cdot 2^{x}$ olduğundan denklem: $2 \cdot 2^{x} + 2^{x} = 24$ .
Ortak çarpan: $2^{x} (2 + 1) = 24 \Rightarrow 3 \cdot 2^{x} = 24$ .
$2^{x} = 8 = 2^{3} \Rightarrow x = 3$ .

Sonuç:

x = 3

Çözümlü Örnekler

Örnek

Soru

$5^{2 x - 3} = 125$ denklemini çözünüz.

$125 = 5^{3}$ yaz: $5^{2 x - 3} = 5^{3}$ .
Üsleri eşitle: $2 x - 3 = 3 \Rightarrow 2 x = 6 \Rightarrow x = 3$ .

Sonuç:

x = 3

Örnek

Soru

$(\frac{1}{2})^{x} = 8$ denklemini çözünüz.

$\frac{1}{2} = 2^{- 1}$ ve $8 = 2^{3}$ . Her şeyi $2$ tabanında yaz.

$(2^{- 1})^{x} = 2^{3} \Rightarrow 2^{- x} = 2^{3}$ .
Üsleri eşitle: $- x = 3 \Rightarrow x = - 3$ .

Sonuç:

x = - 3

Örnek

Soru

$4^{x} = 8^{x - 1}$ denklemini çözünüz.

Hem $4$ hem $8$ , $2$ 'nin kuvvetidir: $4 = 2^{2}$ , $8 = 2^{3}$ . İki tarafı da $2$ tabanına çevir.

$4 = 2^{2}$ , $8 = 2^{3}$ : $(2^{2})^{x} = (2^{3})^{x - 1}$ .
Üsleri çarp: $2^{2 x} = 2^{3 (x - 1)} = 2^{3 x - 3}$ .
Üsleri eşitle: $2 x = 3 x - 3 \Rightarrow x = 3$ .

Sonuç:

x = 3

Örnek

Soru

$3^{2 x} - 4 \cdot 3^{x} + 3 = 0$ denklemini çözünüz.

$3^{x} = t$ ( $t > 0$ ) de; $3^{2 x} = (3^{x})^{2} = t^{2}$ . Denklem ikinci dereceden olur.

$3^{x} = t$ diyelim ( $t > 0$ ): $t^{2} - 4 t + 3 = 0$ .
Çarpanla: $(t - 1) (t - 3) = 0 \Rightarrow t = 1$ veya $t = 3$ .
Geri dön: $3^{x} = 1 \Rightarrow x = 0$ ; $3^{x} = 3 \Rightarrow x = 1$ .

Sonuç:

x = 0

veya

x = 1

Örnek

Soru

$2^{x} = 10$ ise $2^{x + 3}$ ifadesinin değeri kaçtır?

$2^{x + 3} = 2^{x} \cdot 2^{3}$ .
$2^{x} = 10$ yerine koy: $10 \cdot 8 = 80$ .

Sonuç:

80

Alıştırmalar — Sıra Sende

Önce kendin çözmeyi dene; sonra çözümü açıp karşılaştır.

Örnek

Soru

$f (x) = 4^{x}$ için $f (\frac{1}{2})$ değerini bul.

$4^{1/2} = 4 = 2$ .

Sonuç:

2

Örnek

Soru

$2^{x} = 64$ denklemini çöz.

$64 = 2^{6}$ , demek ki $2^{x} = 2^{6}$ .
$x = 6$ .

Sonuç:

x = 6

Örnek

Soru

$f (x) = (\frac{2}{3})^{x}$ fonksiyonu artan mı azalan mıdır?

Taban $\frac{2}{3}$ , yani $0 < a < 1$ .
Bu durumda fonksiyon azalandır.

Sonuç: Azalandır.

Örnek

Soru

$3^{x + 2} = 81$ denklemini çöz.

$81 = 3^{4}$ : $3^{x + 2} = 3^{4}$ .
$x + 2 = 4 \Rightarrow x = 2$ .

Sonuç:

x = 2

Örnek

Soru

$(\frac{1}{5})^{x} = 25$ denklemini çöz.

$\frac{1}{5} = 5^{- 1}$ , $25 = 5^{2}$ : $5^{- x} = 5^{2}$ .
$- x = 2 \Rightarrow x = - 2$ .

Sonuç:

x = - 2

Örnek

Soru

$9^{x} = 27$ denklemini çöz.

$9 = 3^{2}$ , $27 = 3^{3}$ : $(3^{2})^{x} = 3^{3} \Rightarrow 3^{2 x} = 3^{3}$ .
$2 x = 3 \Rightarrow x = \frac{3}{2}$ .

Sonuç:

x = \frac{3}{2}

Örnek

Soru

$2^{x} = 5$ ise $2^{2 x} + 2^{x}$ ifadesinin değeri kaçtır?

$2^{2 x} = (2^{x})^{2}$ . Önce $2^{x} = 5$ 'i yerine koy.

$2^{2 x} = (2^{x})^{2} = 5^{2} = 25$ .
$2^{2 x} + 2^{x} = 25 + 5 = 30$ .

Sonuç:

30

Örnek

Soru

$2^{x + 2} + 2^{x} = 20$ denklemini çöz.

$2^{x + 2} = 4 \cdot 2^{x}$ . $2^{x}$ 'i ortak çarpan al.

$2^{x + 2} = 2^{2} \cdot 2^{x} = 4 \cdot 2^{x}$ .
Ortak çarpan: $2^{x} (4 + 1) = 20 \Rightarrow 5 \cdot 2^{x} = 20$ .
$2^{x} = 4 = 2^{2} \Rightarrow x = 2$ .

Sonuç:

x = 2

Örnek

Soru

$4^{x} - 5 \cdot 2^{x} + 4 = 0$ denklemini çöz.

$4^{x} = (2^{x})^{2}$ . $2^{x} = t$ ( $t > 0$ ) diyerek ikinci dereceden denkleme çevir.

$4^{x} = (2^{2})^{x} = (2^{x})^{2}$ . $2^{x} = t$ ( $t > 0$ ) diyelim: $t^{2} - 5 t + 4 = 0$ .
Çarpanla: $(t - 1) (t - 4) = 0 \Rightarrow t = 1$ veya $t = 4$ .
Geri dön: $2^{x} = 1 \Rightarrow x = 0$ ; $2^{x} = 4 \Rightarrow x = 2$ .

Sonuç:

x = 0

veya

x = 2

Örnek

Soru

$3^{x + 1} + 3^{x - 1} = 30$ denklemini çöz.

$3^{x + 1} = 3 \cdot 3^{x}$ ve $3^{x - 1} = \frac{3 ^{x}}{3}$ . $3^{x}$ 'i ortak çarpan al; içteki toplamı tek kesir yap.

$3^{x + 1} = 3 \cdot 3^{x}$ , $3^{x - 1} = \frac{1}{3} \cdot 3^{x}$ .
Ortak çarpan: $3^{x} (3 + \frac{1}{3}) = 30 \Rightarrow 3^{x} \cdot \frac{10}{3} = 30$ .
$3^{x} = 30 \cdot \frac{3}{10} = 9 = 3^{2} \Rightarrow x = 2$ .

Sonuç:

x = 2

Sık Yapılan Hatalar

Üstel fonksiyonun negatif değer alabileceğini sanmak. $a^{x} > 0$ her zaman; bu yüzden örneğin $2^{x} = - 4$ denkleminin çözümü yoktur.
Tabanları eşitlemeden üsleri eşitlemek. $2^{x} = 8$ 'de doğrudan $x = 8$ denmez; önce $8 = 2^{3}$ yazılır, sonra üsler eşitlenir.
$(a^{x})^{2}$ ile $a^{x^{2}}$ 'yi karıştırmak. $(2^{x})^{2} = 2^{2 x}$ 'tir, $2^{x^{2}}$ değil.
Değişken değiştirmede $t > 0$ koşulunu unutmak. $a^{x} = t$ daima pozitiftir; ikinci dereceden denklemden çıkan negatif kök elenir.

Not: Üstel denklemlerde refleksin her şeyi ortak tabana yazmak olsun: $4, 8, 16, \dots$ → $2$ tabanı; $9, 27, 81, \dots$ → $3$ tabanı. Aynı taban birden çok terimdeyse ortak çarpan, üssün karesi varsa $a^{x} = t$ değişken değiştirmesi işini kurtarır.

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, konuyu sınav formatında (5 şıklı) pekiştirmen için özgün biçimde hazırlanmıştır.

Çözümlü Sorular

Her soruyu önce kendin dene; takıldığında Çözüme Bak.

Soru 1Kolay

f (x) = (\frac{1}{2})^{x}

fonksiyonu için

f (- 3)

değeri kaçtır?

$f (- 3) = (\frac{1}{2})^{- 3}$ yazılır.
Negatif üs tabanı ters çevirir: $(\frac{1}{2})^{- 3} = 2^{3}$ .
$2^{3} = 8$ .

Sonuç:

8

Soru 2Kolay

2^{x + 1} = 64

denklemini sağlayan

x

değeri kaçtır?

Sağ tarafı $2$ tabanında yaz: $64 = 2^{6}$ .
Denklem $2^{x + 1} = 2^{6}$ olur.
Üsleri eşitle: $x + 1 = 6 \Rightarrow x = 5$ .

Sonuç:

x = 5

Soru 3Orta

9^{x - 1} = 27

denkleminin çözümü aşağıdakilerden hangisidir?

Her iki tarafı $3$ tabanına çevir: $9 = 3^{2}$ , $27 = 3^{3}$ .
$(3^{2})^{x - 1} = 3^{3} \Rightarrow 3^{2 (x - 1)} = 3^{3}$ .
Üsleri eşitle: $2 (x - 1) = 3 \Rightarrow 2 x - 2 = 3$ .
$2 x = 5 \Rightarrow x = \frac{5}{2}$ .

Sonuç:

x = \frac{5}{2}

Soru 4Orta

5^{x} = 4

olduğuna göre

5^{x + 2} + 5^{x}

ifadesinin değeri kaçtır?

$5^{x + 2} = 5^{x} \cdot 5^{2} = 25 \cdot 5^{x}$ .
$5^{x} = 4$ yerine koy: $5^{x + 2} = 25 \cdot 4 = 100$ .
$5^{x + 2} + 5^{x} = 100 + 4 = 104$ .

Sonuç:

104

Soru 5Orta

3^{x + 1} + 3^{x} = 108

denklemini sağlayan

x

değeri kaçtır?

$3^{x + 1} = 3 \cdot 3^{x}$ olduğundan denklem: $3 \cdot 3^{x} + 3^{x} = 108$ .
Ortak çarpan: $3^{x} (3 + 1) = 108 \Rightarrow 4 \cdot 3^{x} = 108$ .
$3^{x} = 27 = 3^{3} \Rightarrow x = 3$ .

Sonuç:

x = 3

Soru 6Orta

Bir laboratuvarda bakteri sayısı

N (t) = 3 \cdot 2^{t}

ile modellenmektedir (

t

: saat). Bakteri sayısının başlangıçtaki değerinin

16

katına ulaşması için kaç saat geçmelidir?

Başlangıç değeri $N (0) = 3 \cdot 2^{0} = 3$ .
$16$ katı: $16 \cdot 3 = 48$ , yani $N (t) = 48$ olmalı.
$3 \cdot 2^{t} = 48 \Rightarrow 2^{t} = 16 = 2^{4}$ .
Üsleri eşitle: $t = 4$ saat.

Sonuç:

4

saat

0/6 soru cevaplandı

1. Üstel Fonksiyon Nedir?

2. Artan Üstel Fonksiyon (a>1)

3. Azalan Üstel Fonksiyon (0<a<1)

4. Üstel Denklemler

5. Ortak Çarpan ve Değişken Değiştirme

Çözümlü Örnekler

Alıştırmalar — Sıra Sende

Sık Yapılan Hatalar

Sınav Tarzı Sorular

Çözümlü Sorular

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar — diğer konular

2. Artan Üstel Fonksiyon ( $a > 1$ )

3. Azalan Üstel Fonksiyon ( $0 < a < 1$ )