12. Sınıf · Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar

Logaritma Fonksiyonu

~8 dk okumaZorluk: Orta6 çözümlü soru

Logaritma, üstel almanın ters işlemidir: " $2$ 'yi kaçıncı kuvvete alırsam $8$ olur?" sorusunun cevabı $lo g_{2} 8 = 3$ 'tür. Bu derste logaritmanın tanımını, $lo g$ (taban $10$ ) ve $ln$ (taban $e$ ) gösterimlerini, logaritma özelliklerini (çarpım, bölüm, üs, taban değiştirme) ve logaritma fonksiyonunun grafiğini öğreneceğiz. Logaritma, üstel fonksiyonun tersi olduğundan grafiği $y = x$ doğrusuna göre onun simetriğidir. Bol örnek ve "Sıra Sende" alıştırmalarıyla pekiştireceğiz.

1. Logaritmanın Tanımı

$a > 0$ , $a \neq = 1$ ve $x > 0$ olmak üzere

$lo g_{a} x = y ⟺ a^{y} = x$

biçiminde tanımlanır. Yani $lo g_{a} x$ , " $a$ tabanını hangi kuvvete alırsak $x$ elde ederiz?" sorusunun cevabıdır. Bu, üstel ile logaritmanın ters işlemler olduğunu gösterir.

Çok önemli bir koşul: logaritmanın içi (argümanı) kesin pozitif olmalıdır ( $x > 0$ ); çünkü $a^{y} > 0$ her zaman, yani hiçbir kuvvet negatif veya sıfır sonuç vermez.

İki özel taban kısaltmayla yazılır:

Taban $10$ (onluk logaritma): $lo g_{10} x$ yerine kısaca $lo g x$ .
Taban $e$ (doğal logaritma, $e \approx 2, 718$ ): $lo g_{e} x$ yerine $ln x$ .

Örnek

Soru

$lo g_{2} 8$ , $lo g_{3} 81$ ve $lo g_{5} 1$ değerlerini bulunuz.

$lo g_{2} 8$ : $2$ üzeri kaç $8$ eder? $2^{3} = 8$ , demek ki $lo g_{2} 8 = 3$ .
$lo g_{3} 81$ : $3^{4} = 81$ , demek ki $lo g_{3} 81 = 4$ .
$lo g_{5} 1$ : $5^{0} = 1$ , demek ki $lo g_{5} 1 = 0$ .

Sonuç:

3, 4, 0

2. Temel Değerler

Tanımdan doğrudan çıkan iki sonucu ezberlemek işleri hızlandırır:

$lo g_{a} 1 = 0 lo g_{a} a = 1$

Çünkü $a^{0} = 1$ ve $a^{1} = a$ . Ayrıca tanımın bir sonucu olarak $lo g_{a} a^{k} = k$ ve $a^{l o g_{a} x} = x$ olur.

Örnek

Soru

$lo g_{7} 7$ , $lo g_{4} 1$ ve $lo g_{2} 2^{5}$ değerlerini bulunuz.

$lo g_{7} 7 = 1$ (taban ile argüman aynı).
$lo g_{4} 1 = 0$ (argüman $1$ ).
$lo g_{2} 2^{5} = 5$ (çünkü $lo g_{a} a^{k} = k$ ).

Sonuç:

1, 0, 5

3. Logaritma Özellikleri

Aynı tabanlı logaritmalarda şu kurallar geçerlidir ( $x, y > 0$ ):

$lo g_{a} (x \cdot y) = lo g_{a} x + lo g_{a} y$ $lo g_{a} \frac{x}{y} = lo g_{a} x - lo g_{a} y$ $lo g_{a} x^{n} = n \cdot lo g_{a} x$

Yani çarpım logaritmaların toplamına, bölüm farkına dönüşür; üs ise katsayı olarak öne çıkar. Bu kurallar üs kurallarının doğrudan yansımasıdır.

Örnek

Soru

$lo g 2 = a$ ise $lo g 8$ ve $lo g 20$ ifadelerini $a$ cinsinden yazınız. (Taban $10$ .)

$8 = 2^{3}$ için üs kuralını; $20 = \frac{100}{5}$ yerine $20 = 2 \cdot 10$ kullan: $lo g 20 = lo g 2 + lo g 10$ . Unutma: $lo g 10 = 1$ .

$lo g 8 = lo g 2^{3} = 3 lo g 2 = 3 a$ .
$lo g 20 = lo g (2 \cdot 10) = lo g 2 + lo g 10 = a + 1$ .

Sonuç:

lo g 8 = 3 a

lo g 20 = a + 1

4. Taban Değiştirme

Bir logaritmayı başka bir tabana çevirmek için taban değiştirme formülü kullanılır ( $c > 0$ , $c \neq = 1$ ):

$lo g_{a} x = \frac{lo g _{c} x}{lo g _{c} a}$

Sık kullanılan iki sonuç: $lo g_{a} x = \frac{1}{lo g _{x} a}$ ve $lo g_{a^{n}} x = \frac{1}{n} lo g_{a} x$ .

Örnek

Soru

$lo g_{4} 8$ değerini bulunuz.

Her şeyi $2$ tabanına çevir: $lo g_{4} 8 = \frac{lo g _{2} 8}{lo g _{2} 4}$ .

$2$ tabanına geç: $lo g_{4} 8 = \frac{lo g _{2} 8}{lo g _{2} 4}$ .
$lo g_{2} 8 = 3$ , $lo g_{2} 4 = 2$ .
$lo g_{4} 8 = \frac{3}{2}$ .

Sonuç:

\frac{3}{2}

5. Logaritma Fonksiyonunun Grafiği

$f (x) = lo g_{a} x$ fonksiyonu, $g (x) = a^{x}$ üstel fonksiyonunun tersidir. Bu yüzden grafiği, üstel grafiğin $y = x$ doğrusuna göre simetriğidir.

Tanım kümesi $x > 0$ (yalnız pozitif sayılar), değer kümesi tüm gerçek sayılardır. Grafik $(1, 0)$ noktasından geçer ( $lo g_{a} 1 = 0$ ) ve $y$ ekseni ( $x = 0$ ) bir düşey asimptottur. $a > 1$ için fonksiyon artan, $0 < a < 1$ için azalandır.

Şekil 1 —

y = 2^{x}

(üstel) ile

y = lo g_{2} x

(logaritma) eğrileri

y = x

doğrusuna göre simetriktir; biri diğerinin tersidir. Üstelin geçtiği

(0, 1)

noktası, logaritmada

(1, 0)

noktasına dönüşür.

Örnek

Soru

$f (x) = lo g_{2} (x - 3)$ fonksiyonunun tanım kümesini bulunuz.

Logaritmanın içi (argümanı) kesin pozitif olmalı: $x - 3 > 0$ .

Argüman pozitif olmalı: $x - 3 > 0$ .
$x > 3$ .

Sonuç: Tanım kümesi

(3, \infty)

Çözümlü Örnekler

Örnek

Soru

$lo g_{3} \frac{1}{9}$ değerini bulunuz.

$\frac{1}{9} = 3^{- 2}$ .
$lo g_{3} 3^{- 2} = - 2$ .

Sonuç:

- 2

Örnek

Soru

$lo g_{2} 6 + lo g_{2} \frac{2}{3}$ ifadesinin değerini bulunuz.

Toplam, çarpımın logaritmasına eşittir: $lo g_{2} 6 + lo g_{2} \frac{2}{3} = lo g_{2} (6 \cdot \frac{2}{3})$ .

Çarpım kuralı: $lo g_{2} 6 + lo g_{2} \frac{2}{3} = lo g_{2} (6 \cdot \frac{2}{3})$ .
İçi sadeleştir: $6 \cdot \frac{2}{3} = 4$ .
$lo g_{2} 4 = 2$ .

Sonuç:

2

Örnek

Soru

$lo g 5$ ifadesini $lo g 2$ cinsinden yazınız. (Taban $10$ .)

$5 = \frac{10}{2}$ . Bölüm kuralını kullan; $lo g 10 = 1$ .

$5 = \frac{10}{2}$ yaz: $lo g 5 = lo g \frac{10}{2} = lo g 10 - lo g 2$ .
$lo g 10 = 1$ : $lo g 5 = 1 - lo g 2$ .

Sonuç:

1 - lo g 2

Örnek

Soru

$lo g_{9} 27$ değerini bulunuz.

İkisi de $3$ 'ün kuvveti: $9 = 3^{2}$ , $27 = 3^{3}$ . Taban değiştirip $3$ tabanına geç.

$3$ tabanına geç: $lo g_{9} 27 = \frac{lo g _{3} 27}{lo g _{3} 9}$ .
$lo g_{3} 27 = 3$ , $lo g_{3} 9 = 2$ .
$lo g_{9} 27 = \frac{3}{2}$ .

Sonuç:

\frac{3}{2}

Örnek

Soru

$lo g_{2} 3 = a$ ise $lo g_{2} 12$ ifadesini $a$ cinsinden yazınız.

$12 = 4 \cdot 3 = 2^{2} \cdot 3$ . Çarpım kuralıyla aç; $lo g_{2} 4 = 2$ .

$12 = 2^{2} \cdot 3$ yaz: $lo g_{2} 12 = lo g_{2} 2^{2} + lo g_{2} 3$ .
$lo g_{2} 2^{2} = 2$ , $lo g_{2} 3 = a$ .
$lo g_{2} 12 = 2 + a$ .

Sonuç:

a + 2

Alıştırmalar — Sıra Sende

Önce kendin çözmeyi dene; sonra çözümü açıp karşılaştır.

Örnek

Soru

$lo g_{2} 16$ değerini bul.

$16 = 2^{4}$ , demek ki $lo g_{2} 16 = 4$ .

Sonuç:

4

Örnek

Soru

$lo g_{5} \frac{1}{25}$ değerini bul.

$\frac{1}{25} = 5^{- 2}$ .
$lo g_{5} 5^{- 2} = - 2$ .

Sonuç:

- 2

Örnek

Soru

$f (x) = lo g (2 x - 6)$ fonksiyonunun tanım kümesini bul. (Taban $10$ .)

Argüman pozitif: $2 x - 6 > 0 \Rightarrow x > 3$ .

Sonuç:

(3, \infty)

Örnek

Soru

$lo g_{6} 4 + lo g_{6} 9$ ifadesinin değerini bul.

Çarpım kuralı: $lo g_{6} (4 \cdot 9) = lo g_{6} 36$ .
$36 = 6^{2}$ , demek ki $lo g_{6} 36 = 2$ .

Sonuç:

2

Örnek

Soru

$lo g_{3} 45 - lo g_{3} 5$ ifadesinin değerini bul.

Bölüm kuralı: $lo g_{3} \frac{45}{5} = lo g_{3} 9$ .
$9 = 3^{2}$ , demek ki $lo g_{3} 9 = 2$ .

Sonuç:

2

Örnek

Soru

$lo g_{8} 32$ değerini bul.

İkisi de $2$ 'nin kuvveti: $8 = 2^{3}$ , $32 = 2^{5}$ . $2$ tabanına geç.

$2$ tabanına geç: $lo g_{8} 32 = \frac{lo g _{2} 32}{lo g _{2} 8} = \frac{5}{3}$ .

Sonuç:

\frac{5}{3}

Örnek

Soru

$lo g 2 = a$ ve $lo g 3 = b$ ise $lo g 6$ ve $lo g 1, 5$ ifadelerini $a, b$ cinsinden yaz. (Taban $10$ .)

$6 = 2 \cdot 3$ ve $1, 5 = \frac{3}{2}$ . Çarpım ve bölüm kurallarını uygula.

$lo g 6 = lo g (2 \cdot 3) = lo g 2 + lo g 3 = a + b$ .
$lo g 1, 5 = lo g \frac{3}{2} = lo g 3 - lo g 2 = b - a$ .

Sonuç:

lo g 6 = a + b

lo g 1, 5 = b - a

Örnek

Soru

$lo g_{2} 5 = m$ ise $lo g_{2} 40$ ifadesini $m$ cinsinden yaz.

$40 = 8 \cdot 5 = 2^{3} \cdot 5$ . Çarpım kuralıyla aç.

$40 = 2^{3} \cdot 5$ : $lo g_{2} 40 = lo g_{2} 2^{3} + lo g_{2} 5$ .
$lo g_{2} 2^{3} = 3$ , $lo g_{2} 5 = m$ .
$lo g_{2} 40 = 3 + m$ .

Sonuç:

m + 3

Örnek

Soru

$\frac{lo g _{2} 16}{lo g _{2} 8}$ ifadesinin değerini bul ve bunun hangi tek logaritmaya eşit olduğunu söyle.

Taban değiştirme formülünü ters yönde oku: $\frac{lo g _{2} 16}{lo g _{2} 8} = lo g_{8} 16$ .

Değerleri yaz: $lo g_{2} 16 = 4$ , $lo g_{2} 8 = 3$ .
Oran: $\frac{4}{3}$ .
Taban değiştirme formülüne göre bu oran $lo g_{8} 16$ 'ya eşittir.

Sonuç:

\frac{4}{3}

; bu

lo g_{8} 16

'ya eşittir.

Örnek

Soru

$lo g_{2} 3 \cdot lo g_{3} 8$ çarpımının değerini bul.

Taban değiştirme ile $lo g_{3} 8 = \frac{lo g _{2} 8}{lo g _{2} 3}$ yaz; $lo g_{2} 3$ sadeleşir.

$lo g_{3} 8 = \frac{lo g _{2} 8}{lo g _{2} 3}$ yaz.
Çarpımda yerine koy: $lo g_{2} 3 \cdot \frac{lo g _{2} 8}{lo g _{2} 3} = lo g_{2} 8$ .
$lo g_{2} 8 = 3$ .

Sonuç:

3

Sık Yapılan Hatalar

Argümanın negatif/sıfır olabileceğini sanmak. $lo g_{a} x$ yalnız $x > 0$ için tanımlıdır; tanım kümesi sorularında argümanı $> 0$ yapan eşitsizliği çöz.
$lo g_{a} (x + y)$ ile $lo g_{a} x + lo g_{a} y$ 'yi karıştırmak. Toplam içeri dağılmaz; yalnız çarpım logaritmaların toplamına eşittir: $lo g_{a} (x y) = lo g_{a} x + lo g_{a} y$ .
$\frac{lo g x}{lo g y}$ ile $lo g \frac{x}{y}$ 'yi karıştırmak. Bölüm kuralı $lo g \frac{x}{y} = lo g x - lo g y$ 'dir; logaritmaların oranı ise taban değiştirmedir.
$lo g a^{n}$ 'de üssü argümanın tamamına yapıştırmak. $lo g_{a} x^{n} = n lo g_{a} x$ 'tir; ama $(lo g_{a} x)^{n}$ bambaşka bir ifadedir.

Not: Logaritmayı her zaman "üssün tersi" diye oku: $lo g_{a} x = y ⟺ a^{y} = x$ . Hesaplarken argümanı tabanın kuvveti biçiminde yazmaya çalış; özellikleri ( $+, -, n \cdot$ ) ezberden değil, üs kurallarının yansıması olarak düşün.

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, konuyu sınav formatında (5 şıklı) pekiştirmen için özgün biçimde hazırlanmıştır.

Çözümlü Sorular

Her soruyu önce kendin dene; takıldığında Çözüme Bak.

Soru 1Kolay

lo g_{2} 32 - lo g_{3} \frac{1}{27}

ifadesinin değeri kaçtır?

$32 = 2^{5}$ olduğundan $lo g_{2} 32 = 5$ .
$\frac{1}{27} = 3^{- 3}$ olduğundan $lo g_{3} 3^{- 3} = - 3$ .
İfadenin değeri: $5 - (- 3) = 5 + 3 = 8$ .

Sonuç:

8

Soru 2Kolay

f (x) = lo g_{5} (7 - 2 x)

fonksiyonunun tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

Logaritmanın argümanı kesin pozitif olmalıdır: $7 - 2 x > 0$ .
$- 2 x > - 7$ eşitsizliğinde iki tarafı $- 2$ 'ye bölerken yön değişir: $x < \frac{7}{2}$ .
Tanım kümesi: $(- \infty, \frac{7}{2})$ .

Sonuç:

(- \infty, \frac{7}{2})

Soru 3Orta

lo g 4 = a

ise

lo g 40

ifadesinin

a

cinsinden değeri aşağıdakilerden hangisidir? (Taban

10

$40 = 4 \cdot 10$ biçiminde yazılır.
Çarpım kuralı: $lo g 40 = lo g (4 \cdot 10) = lo g 4 + lo g 10$ .
$lo g 4 = a$ ve $lo g 10 = 1$ olduğundan $lo g 40 = a + 1$ .

Sonuç:

a + 1

Soru 4Orta

lo g_{27} 81

ifadesinin değeri kaçtır?

$27 = 3^{3}$ ve $81 = 3^{4}$ olduğundan her şeyi $3$ tabanına çeviririz.
Taban değiştirme: $lo g_{27} 81 = \frac{lo g _{3} 81}{lo g _{3} 27}$ .
$lo g_{3} 81 = 4$ ve $lo g_{3} 27 = 3$ olduğundan sonuç $\frac{4}{3}$ 'tür.

Sonuç:

\frac{4}{3}

Soru 5Orta

Bir çözeltinin asitlik değeri (pH), hidrojen iyonu derişimi

[H^{+}]

ile

pH = - lo g [H^{+}]

bağıntısıyla verilir. (Taban

10

.) A çözeltisinin pH değeri

3

, B çözeltisinin pH değeri

5

ise A çözeltisinin hidrojen iyonu derişiminin B çözeltisininkine oranı

\frac{[ H ^{+} ] _{A}}{[ H ^{+} ] _{B}}

kaçtır?

$pH = - lo g [H^{+}]$ bağıntısından $lo g [H^{+}] = - pH$ , yani $[H^{+}] = 1 0^{- pH}$ .
A için $[H^{+}]_{A} = 1 0^{- 3}$ , B için $[H^{+}]_{B} = 1 0^{- 5}$ .
Oran: $\frac{[ H ^{+} ] _{A}}{[ H ^{+} ] _{B}} = \frac{1 0 ^{- 3}}{1 0 ^{- 5}} = 1 0^{- 3 - (- 5)} = 1 0^{2} = 100$ .

Sonuç:

100

Soru 6Zor

lo g_{2} 3 = a

ise

lo g_{6} 12

ifadesinin

a

cinsinden değeri aşağıdakilerden hangisidir?

Taban değiştirme ile $2$ tabanına geçelim: $lo g_{6} 12 = \frac{lo g _{2} 12}{lo g _{2} 6}$ .
Pay: $12 = 2^{2} \cdot 3$ olduğundan $lo g_{2} 12 = lo g_{2} 2^{2} + lo g_{2} 3 = 2 + a$ .
Payda: $6 = 2 \cdot 3$ olduğundan $lo g_{2} 6 = lo g_{2} 2 + lo g_{2} 3 = 1 + a$ .
Sonuç: $lo g_{6} 12 = \frac{2 + a}{1 + a} = \frac{a + 2}{a + 1}$ .

Sonuç:

\frac{a + 2}{a + 1}

0/6 soru cevaplandı

1. Logaritmanın Tanımı

2. Temel Değerler

3. Logaritma Özellikleri

4. Taban Değiştirme

5. Logaritma Fonksiyonunun Grafiği

Çözümlü Örnekler

Alıştırmalar — Sıra Sende

Sık Yapılan Hatalar

Sınav Tarzı Sorular

Çözümlü Sorular

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar — diğer konular