11. Sınıf · Uzay Geometri (Katı Cisimler)

Silindir, Koni ve Küre

~8 dk okumaZorluk: Orta6 çözümlü soru

Bu derste dönel cisimleri ele alıyoruz: silindir, koni ve küre. Silindir bir dikdörtgenin, koni bir dik üçgenin bir kenarı etrafında döndürülmesiyle; küre ise bir yarım dairenin çapı etrafında döndürülmesiyle oluşur. Üçünün de yüzey alanı ve hacim formüllerini öğrenecek, prizma–piramit ilişkisinin burada da yankılandığını ( $V_{koni} = \frac{1}{3} V_{silindir}$ ) göreceğiz. Formüllerde $π$ sabiti ortaya çıkar. Bol şekil, örnek ve "Sıra Sende" alıştırmalarıyla pekiştireceğiz.

1. Silindirin Hacmi ve Yüzey Alanı

Bir dik dairesel silindir, tabanı $r$ yarıçaplı daire, yüksekliği $h$ olan cisimdir. Prizma mantığıyla hacim "taban alanı × yükseklik"tir:

$V = π r^{2} \cdot h$

Yüzey alanı, iki dairesel taban ile yan yüzeyin toplamıdır. Yan yüzey açılınca kenarları taban çevresi ( $2 π r$ ) ve yükseklik ( $h$ ) olan bir dikdörtgendir:

$A = iki taban 2 π r^{2} + yan y \overset{u}{¨} zey 2 π r h$

Şekil 1 — Yarıçapı

r

, yüksekliği

h

olan dik silindir. Hacmi

V = π r^{2} h

; yan yüzey alanı

2 π r h

Örnek

Soru

Yarıçapı $3 cm$ , yüksekliği $5 cm$ olan silindirin hacmini bulunuz. ( $π$ cinsinden)

Taban alanı: $π r^{2} = π \cdot 3^{2} = 9 π cm^{2}$ .
Hacim: $V = 9 π \cdot 5 = 45 π cm^{3}$ .

Sonuç:

45 π cm^{3}

Örnek

Soru

Yarıçapı $2 cm$ , yüksekliği $5 cm$ olan silindirin yüzey alanını bulunuz. ( $π$ cinsinden)

İki taban: $2 π r^{2} = 2 π \cdot 4 = 8 π cm^{2}$ .
Yan yüzey: $2 π r h = 2 π \cdot 2 \cdot 5 = 20 π cm^{2}$ .
Toplam: $A = 8 π + 20 π = 28 π cm^{2}$ .

Sonuç:

28 π cm^{2}

2. Koninin Hacmi ve Yüzey Alanı

Bir dik dairesel koni, $r$ yarıçaplı dairesel tabandan tek bir tepe noktasına yükselir. Tıpkı piramit gibi, aynı taban ve yükseklikteki silindirin hacminin üçte biridir:

$V = \frac{1}{3} π r^{2} \cdot h$

Yüzey alanında eğik yükseklik (ana doğru) $ℓ$ kullanılır; $ℓ = r^{2} + h^{2}$ 'dir. Taban dairesi ile yan yüzeyin toplamı:

$A = taban π r^{2} + yan y \overset{u}{¨} zey π r ℓ$

Şekil 2 — Yarıçapı

r

, yüksekliği

h

olan dik koni. Hacmi

V = \frac{1}{3} π r^{2} h

; eğik yükseklik

ℓ = r^{2} + h^{2}

ile yan yüzey alanı

π r ℓ

Örnek

Soru

Yarıçapı $3 cm$ , yüksekliği $4 cm$ olan koninin hacmini bulunuz. ( $π$ cinsinden)

Taban alanı: $π r^{2} = 9 π cm^{2}$ .
Hacim: $V = \frac{1}{3} \cdot 9 π \cdot 4 = \frac{36 π}{3} = 12 π cm^{3}$ .

Sonuç:

12 π cm^{3}

Örnek

Soru

Yarıçapı $6 cm$ , yüksekliği $8 cm$ olan koninin yüzey alanını bulunuz. ( $π$ cinsinden)

Önce eğik yükseklik $ℓ = r^{2} + h^{2}$ 'i bul; sonra $A = π r^{2} + π r ℓ$ uygula.

Eğik yükseklik: $ℓ = 6^{2} + 8^{2} = 36 + 64 = 100 = 10 cm$ .
Taban: $π r^{2} = 36 π cm^{2}$ . Yan yüzey: $π r ℓ = π \cdot 6 \cdot 10 = 60 π cm^{2}$ .
Toplam: $A = 36 π + 60 π = 96 π cm^{2}$ .

Sonuç:

96 π cm^{2}

3. Kürenin Hacmi ve Yüzey Alanı

Küre, merkezden eşit uzaklıktaki noktaların oluşturduğu cisimdir. Yarıçapı $r$ olan kürenin hacmi ve yüzey alanı:

$V = \frac{4}{3} π r^{3} A = 4 π r^{2}$

Şekil 3 — Yarıçapı

r

olan küre. Hacmi

V = \frac{4}{3} π r^{3}

; yüzey alanı

A = 4 π r^{2}

Örnek

Soru

Yarıçapı $3 cm$ olan kürenin hacmini ve yüzey alanını bulunuz. ( $π$ cinsinden)

Hacim: $V = \frac{4}{3} π r^{3} = \frac{4}{3} π \cdot 27 = 36 π cm^{3}$ .
Yüzey alanı: $A = 4 π r^{2} = 4 π \cdot 9 = 36 π cm^{2}$ .

Sonuç:

V = 36 π cm^{3}

A = 36 π cm^{2}

4. Cisimler Arası İlişkiler

Formülleri ezberlemek yerine ilişkilerle hatırla:

Koni = Silindirin üçte biri (aynı taban ve yükseklikte): $V_{koni} = \frac{1}{3} V_{silindir}$ .
Bir silindire tam sığan kürenin ( $h = 2 r$ ) hacmi, silindirin üçte ikisidir.

Örnek

Soru

Yarıçapı $3 cm$ olan bir küre, tabanının yarıçapı $3 cm$ ve yüksekliği $6 cm$ olan bir silindirin içine tam oturmaktadır. Silindirin hacminin kürenin hacmine oranını bulunuz.

Her iki hacmi de $π$ cinsinden ayrı ayrı hesapla, sonra oranla; $π$ sadeleşir.

Silindir: $V_{s} = π r^{2} h = π \cdot 9 \cdot 6 = 54 π cm^{3}$ .
Küre: $V_{k} = \frac{4}{3} π \cdot 27 = 36 π cm^{3}$ .
Oran: $\frac{V _{s}}{V _{k}} = \frac{54 π}{36 π} = \frac{3}{2}$ .

Sonuç:

\frac{3}{2}

Çözümlü Örnekler

Örnek

Soru

Hacmi $100 π cm^{3}$ olan bir silindirin taban yarıçapı $5 cm$ ise yüksekliği kaç cm'dir?

$V = π r^{2} h \Rightarrow 100 π = π \cdot 25 \cdot h$ .
$100 = 25 h \Rightarrow h = 4 cm$ .

Sonuç:

4 cm

Örnek

Soru

Yüzey alanı $16 π cm^{2}$ olan kürenin yarıçapı kaç cm'dir?

$A = 4 π r^{2} = 16 π \Rightarrow r^{2} = 4 \Rightarrow r = 2 cm$ .

Sonuç:

2 cm

Örnek

Soru

Eğik yüksekliği $ℓ = 13 cm$ , taban yarıçapı $5 cm$ olan koninin hacmini bulunuz. ( $π$ cinsinden)

Hacim için cisim yüksekliği $h$ gerekir: $h = ℓ^{2} - r^{2}$ .

Cisim yüksekliği: $h = 1 3^{2} - 5^{2} = 169 - 25 = 144 = 12 cm$ .
Hacim: $V = \frac{1}{3} π \cdot 5^{2} \cdot 12 = \frac{1}{3} π \cdot 25 \cdot 12 = 100 π cm^{3}$ .

Sonuç:

100 π cm^{3}

Örnek

Soru

Yarıçapı $6 cm$ olan bir küre eritilip yarıçapı $3 cm$ olan eşit küçük kürelere dönüştürülüyor. Kaç küçük küre elde edilir?

Hacim korunur. Büyük kürenin hacmini bir küçük kürenin hacmine böl; $π$ ve $\frac{4}{3}$ sadeleşir, sadece $r^{3}$ oranı kalır.

Büyük küre: $V = \frac{4}{3} π \cdot 6^{3} = \frac{4}{3} π \cdot 216 = 288 π cm^{3}$ .
Küçük küre: $\frac{4}{3} π \cdot 3^{3} = \frac{4}{3} π \cdot 27 = 36 π cm^{3}$ .
Sayı: $\frac{288 π}{36 π} = 8$ .

Sonuç:

8

küçük küre.

Örnek

Soru

Taban yarıçapı $4 cm$ , yüksekliği $9 cm$ olan bir silindir ile aynı taban ve yüksekliğe sahip bir koninin hacimleri toplamını bulunuz. ( $π$ cinsinden)

Silindir: $V_{s} = π \cdot 16 \cdot 9 = 144 π cm^{3}$ .
Koni: $V_{k} = \frac{1}{3} \cdot 144 π = 48 π cm^{3}$ .
Toplam: $144 π + 48 π = 192 π cm^{3}$ .

Sonuç:

192 π cm^{3}

Alıştırmalar — Sıra Sende

Önce kendin çözmeyi dene; sonra çözümü açıp karşılaştır.

Örnek

Soru

Yarıçapı $5 cm$ , yüksekliği $4 cm$ olan silindirin hacmini bul. ( $π$ cinsinden)

$V = π r^{2} h = π \cdot 25 \cdot 4 = 100 π cm^{3}$ .

Sonuç:

100 π cm^{3}

Örnek

Soru

Yarıçapı $6 cm$ , yüksekliği $7 cm$ olan koninin hacmini bul. ( $π$ cinsinden)

$V = \frac{1}{3} π \cdot 36 \cdot 7 = \frac{252 π}{3} = 84 π cm^{3}$ .

Sonuç:

84 π cm^{3}

Örnek

Soru

Yarıçapı $6 cm$ olan kürenin yüzey alanını bul. ( $π$ cinsinden)

$A = 4 π r^{2} = 4 π \cdot 36 = 144 π cm^{2}$ .

Sonuç:

144 π cm^{2}

Örnek

Soru

Yarıçapı $1 cm$ , yüksekliği $10 cm$ olan silindirin yan yüzey alanını bul. ( $π$ cinsinden)

$A_{yan} = 2 π r h = 2 π \cdot 1 \cdot 10 = 20 π cm^{2}$ .

Sonuç:

20 π cm^{2}

Örnek

Soru

Hacmi $36 π cm^{3}$ olan kürenin yarıçapı kaç cm'dir?

$\frac{4}{3} π r^{3} = 36 π \Rightarrow r^{3} = 27 \Rightarrow r = 3 cm$ .

Sonuç:

3 cm

Örnek

Soru

Taban yarıçapı $9 cm$ , yüksekliği $12 cm$ olan koninin yüzey alanını bul. ( $π$ cinsinden)

Eğik yükseklik $ℓ = r^{2} + h^{2}$ ; sonra $A = π r^{2} + π r ℓ$ .

$ℓ = 9^{2} + 1 2^{2} = 81 + 144 = 225 = 15 cm$ .
Taban: $π \cdot 81 = 81 π$ . Yan: $π \cdot 9 \cdot 15 = 135 π$ .
Toplam: $A = 81 π + 135 π = 216 π cm^{2}$ .

Sonuç:

216 π cm^{2}

Örnek

Soru

Bir silindirin hacmi $200 π cm^{3}$ , yüksekliği $8 cm$ ise taban yarıçapı kaç cm'dir?

$V = π r^{2} h$ formülünde $r^{2}$ 'yi yalnız bırak: $r^{2} = \frac{V}{π h}$ .

$200 π = π r^{2} \cdot 8 \Rightarrow r^{2} = \frac{200}{8} = 25$ .
$r = 5 cm$ .

Sonuç:

5 cm

Örnek

Soru

İçi su dolu, yarıçapı $6 cm$ , yüksekliği $10 cm$ olan bir silindir kovanın içine yarıçapı $3 cm$ olan bir küre tamamen batırılıyor. Suyun yükselme miktarı kaç cm'dir? (Su taşmıyor.)

Yükselen suyun hacmi, batan kürenin hacmine eşittir. Bu hacmi silindirin taban alanına böl: yükselme $= \frac{V _{k \overset{u}{¨} re}}{π r ^{2}}$ .

Kürenin hacmi: $V_{k} = \frac{4}{3} π \cdot 3^{3} = \frac{4}{3} π \cdot 27 = 36 π cm^{3}$ .
Silindir taban alanı: $π \cdot 6^{2} = 36 π cm^{2}$ .
Yükselme: $Δ h = \frac{36 π}{36 π} = 1 cm$ .

Sonuç:

1 cm

Örnek

Soru

Bir koninin hacmi, aynı yarıçaplı bir kürenin hacmine eşittir. Koninin yüksekliği $h$ , yarıçapı $r$ ise $h$ 'yi $r$ cinsinden yazınız.

$\frac{1}{3} π r^{2} h = \frac{4}{3} π r^{3}$ eşitliğini kur; $π$ ve $r^{2}$ sadeleşir.

Eşitle: $\frac{1}{3} π r^{2} h = \frac{4}{3} π r^{3}$ .
Her iki yanı $\frac{1}{3} π r^{2}$ 'ye böl: $h = \frac{\frac{4}{3} π r ^{3}}{\frac{1}{3} π r ^{2}} = 4 r$ .

Sonuç:

h = 4 r

Sık Yapılan Hatalar

Konide $\frac{1}{3}$ çarpanını unutmak. Koni hacmi $\frac{1}{3} π r^{2} h$ 'dir; aynı taban-yükseklikteki silindirin üçte biridir.
Yükseklik $h$ ile eğik yükseklik $ℓ$ 'i karıştırmak. Hacimde cisim yüksekliği $h$ , koninin yan yüzey alanında ise eğik yükseklik $ℓ = r^{2} + h^{2}$ kullanılır.
Silindirde tek taban saymak. Kapalı silindirde iki dairesel taban vardır: $A = 2 π r^{2} + 2 π r h$ .
Küre formüllerini karıştırmak. Hacim $\frac{4}{3} π r^{3}$ ( $r^{3}$ , üç boyut), yüzey alanı $4 π r^{2}$ ( $r^{2}$ , iki boyut). Üs ile boyutu eşleştir.

Not: Dönel cisimlerin tamamında $π$ vardır. Hacimde "taban alanı × yükseklik" düşün, konide sonu $\frac{1}{3}$ ile çarp. Koni problemlerinde $r$ , $h$ , $ℓ$ bir dik üçgen oluşturur ( $ℓ^{2} = r^{2} + h^{2}$ ) — hangisi verilmişse Pisagor'la diğerini çek.

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, konuyu sınav formatında (5 şıklı) pekiştirmen için özgün biçimde hazırlanmıştır.

Çözümlü Sorular

Her soruyu önce kendin dene; takıldığında Çözüme Bak.

Soru 1Kolay

Taban yarıçapı

4 cm

, yüksekliği

6 cm

olan dik dairesel silindirin hacmi kaç

cm^{3}

'tür? (

π

cinsinden)

$V = π r^{2} h$ formülünü kullan.
Taban alanı: $π r^{2} = π \cdot 4^{2} = 16 π cm^{2}$ .
Hacim: $V = 16 π \cdot 6 = 96 π cm^{3}$ .

Sonuç:

96 π cm^{3}

Soru 2Orta

Taban yarıçapı

8 cm

, yüksekliği

6 cm

olan dik koninin yüzey alanı kaç

cm^{2}

'dir? (

π

cinsinden)

Önce eğik yükseklik: $ℓ = r^{2} + h^{2} = 8^{2} + 6^{2} = 64 + 36 = 100 = 10 cm$ .
Taban: $π r^{2} = π \cdot 64 = 64 π cm^{2}$ .
Yan yüzey: $π r ℓ = π \cdot 8 \cdot 10 = 80 π cm^{2}$ .
Toplam: $A = 64 π + 80 π = 144 π cm^{2}$ .

Sonuç:

144 π cm^{2}

Soru 3Orta

Yüzey alanı

64 π cm^{2}

olan bir kürenin hacmi kaç

cm^{3}

'tür? (

π

cinsinden)

Yüzey alanından yarıçapı bul: $A = 4 π r^{2} = 64 π \Rightarrow r^{2} = 16 \Rightarrow r = 4 cm$ .
Hacim: $V = \frac{4}{3} π r^{3} = \frac{4}{3} π \cdot 4^{3} = \frac{4}{3} π \cdot 64 = \frac{256}{3} π cm^{3}$ .

Sonuç:

\frac{256}{3} π cm^{3}

Soru 4Orta

Eğik yüksekliği

10 cm

, taban yarıçapı

6 cm

olan dik koninin hacmi kaç

cm^{3}

'tür? (

π

cinsinden)

Hacim için cisim yüksekliği gerekir: $h = ℓ^{2} - r^{2} = 1 0^{2} - 6^{2} = 100 - 36 = 64 = 8 cm$ .
Hacim: $V = \frac{1}{3} π r^{2} h = \frac{1}{3} π \cdot 6^{2} \cdot 8 = \frac{1}{3} π \cdot 36 \cdot 8 = \frac{288 π}{3} = 96 π cm^{3}$ .

Sonuç:

96 π cm^{3}

Soru 5Orta

İçinde su bulunan, taban yarıçapı

10 cm

olan dik silindir biçimli bir kaba, yarıçapı

6 cm

olan bir küre tamamen batırılıyor. Su taşmadığına göre su seviyesi kaç cm yükselir? (Kürenin yerine geçtiği su yükselmeye neden olur.)

Yükselen suyun hacmi, batan kürenin hacmine eşittir.
Kürenin hacmi: $V_{k} = \frac{4}{3} π r^{3} = \frac{4}{3} π \cdot 6^{3} = \frac{4}{3} π \cdot 216 = 288 π cm^{3}$ .
Silindirin taban alanı: $π \cdot 1 0^{2} = 100 π cm^{2}$ .
Yükselme: $Δ h = \frac{V _{k}}{π r ^{2}} = \frac{288 π}{100 π} = 2, 88 cm$ .

Sonuç:

2, 88 cm

Soru 6Zor

Taban yarıçapı

6 cm

, yüksekliği

15 cm

olan dik silindir biçimindeki bir mum eritiliyor. Elde edilen mumdan, taban yarıçapı

3 cm

ve yüksekliği

5 cm

olan eş koni biçimli mumlar dökülüyor. Malzeme kaybı olmadığına göre en çok kaç koni mum elde edilir?

Malzeme (hacim) korunur. Silindirin hacmini bir koninin hacmine böl.
Silindir: $V_{s} = π r^{2} h = π \cdot 6^{2} \cdot 15 = π \cdot 36 \cdot 15 = 540 π cm^{3}$ .
Bir koni: $V_{k} = \frac{1}{3} π r^{2} h = \frac{1}{3} π \cdot 3^{2} \cdot 5 = \frac{1}{3} π \cdot 9 \cdot 5 = 15 π cm^{3}$ .
Sayı: $\frac{540 π}{15 π} = 36$ .

Sonuç:

36

koni mum.

0/6 soru cevaplandı

1. Silindirin Hacmi ve Yüzey Alanı

2. Koninin Hacmi ve Yüzey Alanı

3. Kürenin Hacmi ve Yüzey Alanı

4. Cisimler Arası İlişkiler

Çözümlü Örnekler

Alıştırmalar — Sıra Sende

Sık Yapılan Hatalar

Sınav Tarzı Sorular

Çözümlü Sorular

Uzay Geometri (Katı Cisimler) — diğer konular