11. Sınıf · Uzay Geometri (Katı Cisimler)
Silindir, Koni ve Küre
Bu derste dönel cisimleri ele alıyoruz: silindir, koni ve küre. Silindir bir dikdörtgenin, koni bir dik üçgenin bir kenarı etrafında döndürülmesiyle; küre ise bir yarım dairenin çapı etrafında döndürülmesiyle oluşur. Üçünün de yüzey alanı ve hacim formüllerini öğrenecek, prizma–piramit ilişkisinin burada da yankılandığını (V_{\text{koni}}=\dfrac13 V_{\text{silindir}}) göreceğiz. Formüllerde \pi sabiti ortaya çıkar. Bol şekil, örnek ve "Sıra Sende" alıştırmalarıyla pekiştireceğiz.
1. Silindirin Hacmi ve Yüzey Alanı
Bir dik dairesel silindir, tabanı r yarıçaplı daire, yüksekliği h olan cisimdir. Prizma mantığıyla hacim "taban alanı × yükseklik"tir:
V=\pi r^2\cdot h
Yüzey alanı, iki dairesel taban ile yan yüzeyin toplamıdır. Yan yüzey açılınca kenarları taban çevresi (2\pi r) ve yükseklik (h) olan bir dikdörtgendir:
A=\underbrace{2\pi r^2}_{\text{iki taban}}+\underbrace{2\pi r h}_{\text{yan yüzey}}
r, yüksekliği h olan dik silindir. Hacmi V=\pi r^2 h; yan yüzey alanı 2\pi r h.Yarıçapı 3\,\text{cm}, yüksekliği 5\,\text{cm} olan silindirin hacmini bulunuz. (\pi cinsinden)
- Taban alanı:
\pi r^2=\pi\cdot 3^2=9\pi\ \text{cm}^2. - Hacim:
V=9\pi\cdot 5=45\pi\ \text{cm}^3.
45\pi\ \text{cm}^3.Yarıçapı 2\,\text{cm}, yüksekliği 5\,\text{cm} olan silindirin yüzey alanını bulunuz. (\pi cinsinden)
- İki taban:
2\pi r^2=2\pi\cdot 4=8\pi\ \text{cm}^2. - Yan yüzey:
2\pi r h=2\pi\cdot 2\cdot 5=20\pi\ \text{cm}^2. - Toplam:
A=8\pi+20\pi=28\pi\ \text{cm}^2.
28\pi\ \text{cm}^2.2. Koninin Hacmi ve Yüzey Alanı
Bir dik dairesel koni, r yarıçaplı dairesel tabandan tek bir tepe noktasına yükselir. Tıpkı piramit gibi, aynı taban ve yükseklikteki silindirin hacminin üçte biridir:
V=\dfrac{1}{3}\pi r^2\cdot h
Yüzey alanında eğik yükseklik (ana doğru) \ell kullanılır; \ell=\sqrt{r^2+h^2}'dir. Taban dairesi ile yan yüzeyin toplamı:
A=\underbrace{\pi r^2}_{\text{taban}}+\underbrace{\pi r \ell}_{\text{yan yüzey}}
r, yüksekliği h olan dik koni. Hacmi V=\dfrac13\pi r^2 h; eğik yükseklik \ell=\sqrt{r^2+h^2} ile yan yüzey alanı \pi r\ell.Yarıçapı 3\,\text{cm}, yüksekliği 4\,\text{cm} olan koninin hacmini bulunuz. (\pi cinsinden)
- Taban alanı:
\pi r^2=9\pi\ \text{cm}^2. - Hacim:
V=\dfrac{1}{3}\cdot 9\pi\cdot 4=\dfrac{36\pi}{3}=12\pi\ \text{cm}^3.
12\pi\ \text{cm}^3.Yarıçapı 6\,\text{cm}, yüksekliği 8\,\text{cm} olan koninin yüzey alanını bulunuz. (\pi cinsinden)
Önce eğik yükseklik \ell=\sqrt{r^2+h^2}'i bul; sonra A=\pi r^2+\pi r\ell uygula.
- Eğik yükseklik:
\ell=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10\ \text{cm}. - Taban:
\pi r^2=36\pi\ \text{cm}^2. Yan yüzey:\pi r\ell=\pi\cdot 6\cdot 10=60\pi\ \text{cm}^2. - Toplam:
A=36\pi+60\pi=96\pi\ \text{cm}^2.
96\pi\ \text{cm}^2.3. Kürenin Hacmi ve Yüzey Alanı
Küre, merkezden eşit uzaklıktaki noktaların oluşturduğu cisimdir. Yarıçapı r olan kürenin hacmi ve yüzey alanı:
V=\dfrac{4}{3}\pi r^3 \qquad\qquad A=4\pi r^2
r olan küre. Hacmi V=\dfrac43\pi r^3; yüzey alanı A=4\pi r^2.Yarıçapı 3\,\text{cm} olan kürenin hacmini ve yüzey alanını bulunuz. (\pi cinsinden)
- Hacim:
V=\dfrac{4}{3}\pi r^3=\dfrac{4}{3}\pi\cdot 27=36\pi\ \text{cm}^3. - Yüzey alanı:
A=4\pi r^2=4\pi\cdot 9=36\pi\ \text{cm}^2.
V=36\pi\ \text{cm}^3, A=36\pi\ \text{cm}^2.4. Cisimler Arası İlişkiler
Formülleri ezberlemek yerine ilişkilerle hatırla:
- Koni = Silindirin üçte biri (aynı taban ve yükseklikte):
V_{\text{koni}}=\dfrac13 V_{\text{silindir}}. - Bir silindire tam sığan kürenin (
h=2r) hacmi, silindirin üçte ikisidir.
Yarıçapı 3\,\text{cm} olan bir küre, tabanının yarıçapı 3\,\text{cm} ve yüksekliği 6\,\text{cm} olan bir silindirin içine tam oturmaktadır. Silindirin hacminin kürenin hacmine oranını bulunuz.
Her iki hacmi de \pi cinsinden ayrı ayrı hesapla, sonra oranla; \pi sadeleşir.
- Silindir:
V_{\text{s}}=\pi r^2 h=\pi\cdot 9\cdot 6=54\pi\ \text{cm}^3. - Küre:
V_{\text{k}}=\dfrac{4}{3}\pi\cdot 27=36\pi\ \text{cm}^3. - Oran:
\dfrac{V_{\text{s}}}{V_{\text{k}}}=\dfrac{54\pi}{36\pi}=\dfrac{3}{2}.
\dfrac{3}{2}.Çözümlü Örnekler
Hacmi 100\pi\,\text{cm}^3 olan bir silindirin taban yarıçapı 5\,\text{cm} ise yüksekliği kaç cm'dir?
V=\pi r^2 h\Rightarrow 100\pi=\pi\cdot 25\cdot h.100=25h\Rightarrow h=4\ \text{cm}.
4\ \text{cm}.Yüzey alanı 16\pi\,\text{cm}^2 olan kürenin yarıçapı kaç cm'dir?
A=4\pi r^2=16\pi\Rightarrow r^2=4\Rightarrow r=2\ \text{cm}.
2\ \text{cm}.Eğik yüksekliği \ell=13\,\text{cm}, taban yarıçapı 5\,\text{cm} olan koninin hacmini bulunuz. (\pi cinsinden)
Hacim için cisim yüksekliği h gerekir: h=\sqrt{\ell^2-r^2}.
- Cisim yüksekliği:
h=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12\ \text{cm}. - Hacim:
V=\dfrac{1}{3}\pi\cdot 5^2\cdot 12=\dfrac{1}{3}\pi\cdot 25\cdot 12=100\pi\ \text{cm}^3.
100\pi\ \text{cm}^3.Yarıçapı 6\,\text{cm} olan bir küre eritilip yarıçapı 3\,\text{cm} olan eşit küçük kürelere dönüştürülüyor. Kaç küçük küre elde edilir?
Hacim korunur. Büyük kürenin hacmini bir küçük kürenin hacmine böl; \pi ve \dfrac43 sadeleşir, sadece r^3 oranı kalır.
- Büyük küre:
V=\dfrac{4}{3}\pi\cdot 6^3=\dfrac{4}{3}\pi\cdot 216=288\pi\ \text{cm}^3. - Küçük küre:
\dfrac{4}{3}\pi\cdot 3^3=\dfrac{4}{3}\pi\cdot 27=36\pi\ \text{cm}^3. - Sayı:
\dfrac{288\pi}{36\pi}=8.
8 küçük küre.Taban yarıçapı 4\,\text{cm}, yüksekliği 9\,\text{cm} olan bir silindir ile aynı taban ve yüksekliğe sahip bir koninin hacimleri toplamını bulunuz. (\pi cinsinden)
- Silindir:
V_{\text{s}}=\pi\cdot 16\cdot 9=144\pi\ \text{cm}^3. - Koni:
V_{\text{k}}=\dfrac{1}{3}\cdot 144\pi=48\pi\ \text{cm}^3. - Toplam:
144\pi+48\pi=192\pi\ \text{cm}^3.
192\pi\ \text{cm}^3.Alıştırmalar — Sıra Sende
Önce kendin çözmeyi dene; sonra çözümü açıp karşılaştır.
Yarıçapı 5\,\text{cm}, yüksekliği 4\,\text{cm} olan silindirin hacmini bul. (\pi cinsinden)
V=\pi r^2 h=\pi\cdot 25\cdot 4=100\pi\ \text{cm}^3.
100\pi\ \text{cm}^3.Yarıçapı 6\,\text{cm}, yüksekliği 7\,\text{cm} olan koninin hacmini bul. (\pi cinsinden)
V=\dfrac{1}{3}\pi\cdot 36\cdot 7=\dfrac{252\pi}{3}=84\pi\ \text{cm}^3.
84\pi\ \text{cm}^3.Yarıçapı 6\,\text{cm} olan kürenin yüzey alanını bul. (\pi cinsinden)
A=4\pi r^2=4\pi\cdot 36=144\pi\ \text{cm}^2.
144\pi\ \text{cm}^2.Yarıçapı 1\,\text{cm}, yüksekliği 10\,\text{cm} olan silindirin yan yüzey alanını bul. (\pi cinsinden)
A_{\text{yan}}=2\pi r h=2\pi\cdot 1\cdot 10=20\pi\ \text{cm}^2.
20\pi\ \text{cm}^2.Hacmi 36\pi\,\text{cm}^3 olan kürenin yarıçapı kaç cm'dir?
\dfrac{4}{3}\pi r^3=36\pi\Rightarrow r^3=27\Rightarrow r=3\ \text{cm}.
3\ \text{cm}.Taban yarıçapı 9\,\text{cm}, yüksekliği 12\,\text{cm} olan koninin yüzey alanını bul. (\pi cinsinden)
Eğik yükseklik \ell=\sqrt{r^2+h^2}; sonra A=\pi r^2+\pi r\ell.
\ell=\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15\ \text{cm}.- Taban:
\pi\cdot 81=81\pi. Yan:\pi\cdot 9\cdot 15=135\pi. - Toplam:
A=81\pi+135\pi=216\pi\ \text{cm}^2.
216\pi\ \text{cm}^2.Bir silindirin hacmi 200\pi\,\text{cm}^3, yüksekliği 8\,\text{cm} ise taban yarıçapı kaç cm'dir?
V=\pi r^2 h formülünde r^2'yi yalnız bırak: r^2=\dfrac{V}{\pi h}.
200\pi=\pi r^2\cdot 8\Rightarrow r^2=\dfrac{200}{8}=25.r=5\ \text{cm}.
5\ \text{cm}.İçi su dolu, yarıçapı 6\,\text{cm}, yüksekliği 10\,\text{cm} olan bir silindir kovanın içine yarıçapı 3\,\text{cm} olan bir küre tamamen batırılıyor. Suyun yükselme miktarı kaç cm'dir? (Su taşmıyor.)
Yükselen suyun hacmi, batan kürenin hacmine eşittir. Bu hacmi silindirin taban alanına böl: yükselme =\dfrac{V_{\text{küre}}}{\pi r^2}.
- Kürenin hacmi:
V_{\text{k}}=\dfrac{4}{3}\pi\cdot 3^3=\dfrac{4}{3}\pi\cdot 27=36\pi\ \text{cm}^3. - Silindir taban alanı:
\pi\cdot 6^2=36\pi\ \text{cm}^2. - Yükselme:
\Delta h=\dfrac{36\pi}{36\pi}=1\ \text{cm}.
1\ \text{cm}.Bir koninin hacmi, aynı yarıçaplı bir kürenin hacmine eşittir. Koninin yüksekliği h, yarıçapı r ise h'yi r cinsinden yazınız.
\dfrac13\pi r^2 h=\dfrac43\pi r^3 eşitliğini kur; \pi ve r^2 sadeleşir.
- Eşitle:
\dfrac{1}{3}\pi r^2 h=\dfrac{4}{3}\pi r^3. - Her iki yanı
\dfrac{1}{3}\pi r^2'ye böl:h=\dfrac{\frac{4}{3}\pi r^3}{\frac{1}{3}\pi r^2}=4r.
h=4r.Sık Yapılan Hatalar
- Konide
\dfrac13çarpanını unutmak. Koni hacmi\dfrac13\pi r^2 h'dir; aynı taban-yükseklikteki silindirin üçte biridir. - Yükseklik
hile eğik yükseklik\ell'i karıştırmak. Hacimde cisim yüksekliğih, koninin yan yüzey alanında ise eğik yükseklik\ell=\sqrt{r^2+h^2}kullanılır. - Silindirde tek taban saymak. Kapalı silindirde iki dairesel taban vardır:
A=2\pi r^2+2\pi r h. - Küre formüllerini karıştırmak. Hacim
\dfrac43\pi r^3(r^3, üç boyut), yüzey alanı4\pi r^2(r^2, iki boyut). Üs ile boyutu eşleştir.
Not: Dönel cisimlerin tamamında
\pivardır. Hacimde "taban alanı × yükseklik" düşün, konide sonu\dfrac13ile çarp. Koni problemlerinder,h,\ellbir dik üçgen oluşturur (\ell^2=r^2+h^2) — hangisi verilmişse Pisagor'la diğerini çek.