11. Sınıf · Uzay Geometri (Katı Cisimler)

Dik Prizma ve Piramit

~8 dk okumaZorluk: Orta6 çözümlü soru

Uzay geometrinin temel cisimleri prizma ve piramittir. Prizma, iki paralel ve eş taban arasındaki dikdörtgen yan yüzeylerden oluşur; piramit ise bir tabanla tek bir tepe noktasını birleştiren üçgen yan yüzeylere sahiptir. Bu derste dik prizma ve dik piramidin yüzey alanı ile hacim formüllerini öğreneceğiz. Anahtar fikir hep aynıdır: hacim için "taban alanı × yükseklik" mantığı, yüzey alanı için ise "tüm yüzeyleri açıp toplama" mantığı. Bol şekil, örnek ve "Sıra Sende" alıştırmalarıyla pekiştireceğiz.

1. Dik Prizmanın Hacmi

Bir dik prizmada yan ayrıtlar tabana diktir. Hacim, taban alanı ile yüksekliğin çarpımıdır:

$V = A_{taban} \cdot h$

Burada $A_{taban}$ tabanın alanı, $h$ ise yüksekliktir (iki taban arasındaki dik uzaklık). Taban hangi çokgense onun alan formülü kullanılır: dikdörtgen, üçgen, altıgen…

Şekil 1 — Kenarları

a, b, c

olan dikdörtgenler prizması. Tabanı

a \cdot b

dikdörtgeni, yüksekliği

c

; hacmi

V = a \cdot b \cdot c

Örnek

Soru

Ayrıtları $5 cm$ , $4 cm$ ve $3 cm$ olan dikdörtgenler prizmasının hacmini bulunuz.

Taban alanı: $A_{taban} = 5 \cdot 4 = 20 cm^{2}$ .
Yükseklik $h = 3$ olduğundan $V = 20 \cdot 3 = 60 cm^{3}$ .

Sonuç:

60 cm^{3}

2. Dik Prizmanın Yüzey Alanı

Bir dik prizmanın yüzey alanı, iki taban ile yan yüzeylerin alanlarının toplamıdır:

$A = 2 \cdot A_{taban} + A_{yan}$

Yan yüzey alanı, taban çevresi ile yüksekliğin çarpımıdır (prizmayı açıp düz bir dikdörtgen gibi düşün):

$A_{yan} = \overset{C}{¸} evre_{taban} \cdot h$

Örnek

Soru

Tabanı $6 cm$ ve $4 cm$ kenarlı dikdörtgen, yüksekliği $10 cm$ olan dik prizmanın yüzey alanını bulunuz.

Taban alanı: $A_{taban} = 6 \cdot 4 = 24 cm^{2}$ .
Taban çevresi: $2 (6 + 4) = 20 cm$ . Yan alan: $20 \cdot 10 = 200 cm^{2}$ .
Yüzey alanı: $A = 2 \cdot 24 + 200 = 48 + 200 = 248 cm^{2}$ .

Sonuç:

248 cm^{2}

3. Küp: Özel Bir Prizma

Küp, tüm ayrıtları eşit ( $a$ ) olan dik prizmadır. Altı yüzü de $a \times a$ karedir:

$V = a^{3} A = 6 a^{2}$

Örnek

Soru

Bir ayrıtı $5 cm$ olan küpün hacmini ve yüzey alanını bulunuz.

Hacim: $V = a^{3} = 5^{3} = 125 cm^{3}$ .
Yüzey alanı: $A = 6 a^{2} = 6 \cdot 25 = 150 cm^{2}$ .

Sonuç:

V = 125 cm^{3}

A = 150 cm^{2}

4. Dik Piramidin Hacmi

Bir piramit, taban çokgeninin köşelerini tek bir tepe noktasıyla birleştirir. Aynı tabana ve yüksekliğe sahip prizmanın hacminin üçte biri kadardır:

$V = \frac{1}{3} \cdot A_{taban} \cdot h$

Burada $h$ , tepe noktasının taban düzlemine olan dik uzaklığıdır (cisim yüksekliği).

Şekil 2 — Kare tabanlı dik piramit; taban kenarı

a

, cisim yüksekliği

h

(tepeden taban merkezine inen dik). Hacmi

V = \frac{1}{3} a^{2} h

Örnek

Soru

Taban kenarı $6 cm$ olan kare tabanlı bir piramidin yüksekliği $10 cm$ ise hacmini bulunuz.

Taban alanı: $A_{taban} = 6^{2} = 36 cm^{2}$ .
Hacim: $V = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 10 = \frac{360}{3} = 120 cm^{3}$ .

Sonuç:

120 cm^{3}

5. Dik Piramidin Yüzey Alanı

Düzgün bir dik piramitte yüzey alanı, tabanla yan üçgenlerin alanlarının toplamıdır:

$A = A_{taban} + A_{yan}$

Düzgün bir piramitte tüm yan üçgenler eştir ve her birinin yüksekliğine yanal yükseklik ( $ℓ$ ) denir. Kare tabanlı (kenarı $a$ ) bir piramitte:

$A_{yan} = 4 \cdot \frac{a \cdot ℓ}{2} = 2 a ℓ$

Yanal yükseklik $ℓ$ , cisim yüksekliği $h$ ile taban yarı-kenarı $\frac{a}{2}$ 'den Pisagor'la bulunur: $ℓ = h^{2} + (\frac{a}{2})^{2}$ .

Örnek

Soru

Taban kenarı $6 cm$ , yüksekliği $4 cm$ olan kare tabanlı düzgün piramidin yüzey alanını bulunuz.

Önce yanal yükseklik $ℓ = h^{2} + (\frac{a}{2})^{2}$ 'i bul; sonra $A = a^{2} + 2 a ℓ$ uygula.

Yarı-kenar: $\frac{a}{2} = 3$ . Yanal yükseklik: $ℓ = 4^{2} + 3^{2} = 16 + 9 = 25 = 5 cm$ .
Taban alanı: $a^{2} = 36 cm^{2}$ . Yan alan: $2 a ℓ = 2 \cdot 6 \cdot 5 = 60 cm^{2}$ .
Yüzey alanı: $A = 36 + 60 = 96 cm^{2}$ .

Sonuç:

96 cm^{2}

Çözümlü Örnekler

Örnek

Soru

Tabanı dik kenarları $3 cm$ ve $4 cm$ olan dik üçgen, yüksekliği $10 cm$ olan dik üçgen prizmanın hacmini bulunuz.

Taban (dik üçgen) alanı: $A_{taban} = \frac{3 \cdot 4}{2} = 6 cm^{2}$ .
Hacim: $V = A_{taban} \cdot h = 6 \cdot 10 = 60 cm^{3}$ .

Sonuç:

60 cm^{3}

Örnek

Soru

Hacmi $343 cm^{3}$ olan bir küpün bir ayrıtı kaç cm'dir?

$V = a^{3} = 343 \Rightarrow a = 3343 = 7$ çünkü $7^{3} = 343$ .

Sonuç:

7 cm

Örnek

Soru

Taban kenarı $9 cm$ olan kare tabanlı bir piramidin hacmi $135 cm^{3}$ ise yüksekliği kaç cm'dir?

$V = \frac{1}{3} A_{taban} h$ formülünde $h$ 'yi yalnız bırak: $h = \frac{3 V}{A _{taban}}$ .

Taban alanı: $A_{taban} = 9^{2} = 81 cm^{2}$ .
$135 = \frac{1}{3} \cdot 81 \cdot h = 27 h \Rightarrow h = \frac{135}{27} = 5 cm$ .

Sonuç:

5 cm

Örnek

Soru

Bir küpün yüzey alanı $96 cm^{2}$ ise hacmi kaç $cm^{3}$ 'tür?

$A = 6 a^{2} = 96 \Rightarrow a^{2} = 16 \Rightarrow a = 4 cm$ .
Hacim: $V = a^{3} = 4^{3} = 64 cm^{3}$ .

Sonuç:

64 cm^{3}

Örnek

Soru

Aynı tabana ( $A_{taban} = 18 cm^{2}$ ) ve aynı yüksekliğe ( $h = 6 cm$ ) sahip bir prizma ile bir piramidin hacimleri arasındaki farkı bulunuz.

Piramit hacmi, aynı taban ve yükseklikteki prizmanın tam üçte biridir; fark da kalan üçte ikidir.

Prizma: $V_{1} = 18 \cdot 6 = 108 cm^{3}$ .
Piramit: $V_{2} = \frac{1}{3} \cdot 108 = 36 cm^{3}$ .
Fark: $108 - 36 = 72 cm^{3}$ .

Sonuç:

72 cm^{3}

Alıştırmalar — Sıra Sende

Önce kendin çözmeyi dene; sonra çözümü açıp karşılaştır.

Örnek

Soru

Ayrıtları $8 cm$ , $5 cm$ ve $2 cm$ olan dikdörtgenler prizmasının hacmini bul.

$V = 8 \cdot 5 \cdot 2 = 80 cm^{3}$ .

Sonuç:

80 cm^{3}

Örnek

Soru

Bir ayrıtı $3 cm$ olan küpün hacmi ile yüzey alanını bul.

Hacim: $V = 3^{3} = 27 cm^{3}$ .
Yüzey alanı: $A = 6 \cdot 3^{2} = 54 cm^{2}$ .

Sonuç:

V = 27 cm^{3}

A = 54 cm^{2}

Örnek

Soru

Taban kenarı $5 cm$ olan kare tabanlı piramidin yüksekliği $9 cm$ ise hacmini bul.

Taban alanı: $5^{2} = 25 cm^{2}$ .
$V = \frac{1}{3} \cdot 25 \cdot 9 = \frac{225}{3} = 75 cm^{3}$ .

Sonuç:

75 cm^{3}

Örnek

Soru

Tabanı $7 cm$ ve $3 cm$ kenarlı dikdörtgen, yüksekliği $5 cm$ olan dik prizmanın yan yüzey alanını bul.

Taban çevresi: $2 (7 + 3) = 20 cm$ .
Yan alan: $A_{yan} = 20 \cdot 5 = 100 cm^{2}$ .

Sonuç:

100 cm^{2}

Örnek

Soru

Hacmi $1000 cm^{3}$ olan bir küpün yüzey alanını bul.

$a^{3} = 1000 \Rightarrow a = 10 cm$ .
$A = 6 \cdot 1 0^{2} = 600 cm^{2}$ .

Sonuç:

600 cm^{2}

Örnek

Soru

Tabanı kenarı $6 cm$ olan eşkenar üçgen, yüksekliği $10 cm$ olan dik üçgen prizmanın hacmini bul. (Eşkenar üçgenin alanı $\frac{a ^{2} 3}{4}$ 'tür.)

Önce eşkenar üçgen tabanın alanını $\frac{a ^{2} 3}{4}$ ile bul, sonra $V = A_{taban} \cdot h$ uygula.

Taban alanı: $A_{taban} = \frac{6 ^{2} 3}{4} = \frac{36 3}{4} = 93 cm^{2}$ .
Hacim: $V = 93 \cdot 10 = 903 cm^{3}$ .

Sonuç:

903 cm^{3}

Örnek

Soru

Taban kenarı $8 cm$ , yüksekliği $3 cm$ olan kare tabanlı düzgün piramidin tüm yüzey alanını bul.

Önce yanal yükseklik $ℓ = h^{2} + (\frac{a}{2})^{2}$ 'i bul; sonra $A = a^{2} + 2 a ℓ$ .

Yarı-kenar: $\frac{8}{2} = 4$ . Yanal yükseklik: $ℓ = 3^{2} + 4^{2} = 9 + 16 = 25 = 5 cm$ .
Taban alanı: $8^{2} = 64 cm^{2}$ . Yan alan: $2 a ℓ = 2 \cdot 8 \cdot 5 = 80 cm^{2}$ .
Yüzey alanı: $A = 64 + 80 = 144 cm^{2}$ .

Sonuç:

144 cm^{2}

Örnek

Soru

Bir dikdörtgenler prizmasının tabanı kare ( $a \times a$ ), yüksekliği taban kenarının $3$ katıdır. Hacmi $192 cm^{3}$ ise taban kenarı kaç cm'dir?

Yükseklik $3 a$ ise hacim $V = a \cdot a \cdot 3 a = 3 a^{3}$ olur; bunu $192$ 'ye eşitle.

Taban alanı $a^{2}$ , yükseklik $3 a$ : $V = a^{2} \cdot 3 a = 3 a^{3}$ .
$3 a^{3} = 192 \Rightarrow a^{3} = 64 \Rightarrow a = 4 cm$ .

Sonuç:

4 cm

Örnek

Soru

Taban kenarı $10 cm$ olan kare tabanlı düzgün bir piramidin yanal yüksekliği $13 cm$ 'dir. Bu piramidin hacmini bul.

Cisim yüksekliği $h$ , yanal yükseklik $ℓ$ ve yarı-kenar $\frac{a}{2}$ bir dik üçgen oluşturur: $h = ℓ^{2} - (\frac{a}{2})^{2}$ .

Yarı-kenar: $\frac{10}{2} = 5$ . Cisim yüksekliği: $h = 1 3^{2} - 5^{2} = 169 - 25 = 144 = 12 cm$ .
Taban alanı: $1 0^{2} = 100 cm^{2}$ .
Hacim: $V = \frac{1}{3} \cdot 100 \cdot 12 = \frac{1200}{3} = 400 cm^{3}$ .

Sonuç:

400 cm^{3}

Sık Yapılan Hatalar

Piramitte $\frac{1}{3}$ çarpanını unutmak. Piramit hacmi $\frac{1}{3} A_{taban} h$ 'dir; aynı taban-yükseklikteki prizmanın yalnız üçte biridir.
Yanal yükseklik ile cisim yüksekliğini karıştırmak. Hacimde cisim yüksekliği $h$ kullanılır; yan yüzey alanında ise yan üçgenin yüksekliği olan yanal yükseklik $ℓ$ kullanılır. Bunlar $ℓ = h^{2} + (\frac{a}{2})^{2}$ ile bağlıdır.
Yüzey alanında tabanları eksik saymak. Prizmada iki taban vardır ( $2 A_{taban}$ ); piramitte tek taban.
Birim hatası. Hacim $cm^{3}$ , alan $cm^{2}$ ile ölçülür; cevabı yazarken birimi kontrol et.

Not: Hacimde refleksin "taban alanı × yükseklik" olsun; piramitse sonu $\frac{1}{3}$ ile çarp. Yüzey alanında ise cismi zihninde aç: prizma için iki taban + (çevre × yükseklik), piramit için taban + yan üçgenler.

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, konuyu sınav formatında (5 şıklı) pekiştirmen için özgün biçimde hazırlanmıştır.

Çözümlü Sorular

Her soruyu önce kendin dene; takıldığında Çözüme Bak.

Soru 1Kolay

Ayrıtları

6 cm

5 cm

2 cm

olan bir dikdörtgenler prizmasının hacmi kaç

cm^{3}

'tür?

Dikdörtgenler prizmasının hacmi üç ayrıtın çarpımıdır: $V = a \cdot b \cdot c$ .
$V = 6 \cdot 5 \cdot 2$ .
$V = 30 \cdot 2 = 60 cm^{3}$ .

Sonuç:

60 cm^{3}

(D).

Soru 2Kolay

Hacmi

512 cm^{3}

olan bir küpün bir ayrıtı kaç cm'dir?

Küpün hacmi $V = a^{3}$ olduğundan $a = 3 V$ .
$a = 3512$ .
$8^{3} = 512$ olduğundan $a = 8 cm$ .

Sonuç:

8 cm

(C).

Soru 3Orta

Tabanı

5 cm

3 cm

kenarlı dikdörtgen, yüksekliği

8 cm

olan dik prizmanın tüm yüzey alanı kaç

cm^{2}

'dir?

Taban alanı: $A_{taban} = 5 \cdot 3 = 15 cm^{2}$ .
Taban çevresi: $2 (5 + 3) = 16 cm$ . Yan alan: $A_{yan} = 16 \cdot 8 = 128 cm^{2}$ .
İki taban olduğundan: $A = 2 \cdot A_{taban} + A_{yan} = 2 \cdot 15 + 128 = 30 + 128 = 158 cm^{2}$ .

Sonuç:

158 cm^{2}

(C).

Soru 4Orta

Taban kenarı

16 cm

olan kare tabanlı düzgün bir piramidin yanal yüksekliği

17 cm

'dir. Bu piramidin hacmi kaç

cm^{3}

'tür?

Yarı-kenar: $\frac{a}{2} = \frac{16}{2} = 8 cm$ .
Cisim yüksekliği, yanal yükseklik ve yarı-kenar bir dik üçgen oluşturur: $h = ℓ^{2} - (\frac{a}{2})^{2} = 1 7^{2} - 8^{2} = 289 - 64 = 225 = 15 cm$ .
Taban alanı: $A_{taban} = 1 6^{2} = 256 cm^{2}$ .
Hacim: $V = \frac{1}{3} \cdot 256 \cdot 15 = \frac{3840}{3} = 1280 cm^{3}$ .

Sonuç:

1280 cm^{3}

(A).

Soru 5Orta

Bir akvaryum, taban ayrıtları

30 cm

20 cm

, yüksekliği

25 cm

olan dikdörtgenler prizması biçimindedir. Akvaryum, yüksekliğinin

\frac{4}{5}

'ine kadar su ile doludur. Akvaryumdaki su kaç litredir? (

1 litre = 1000 cm^{3}

)

Su seviyesinin yüksekliği: $h_{su} = 25 \cdot \frac{4}{5} = 20 cm$ .
Suyun hacmi: $V = 30 \cdot 20 \cdot 20 = 12000 cm^{3}$ .
Litreye çevir: $\frac{12000}{1000} = 12$ litre.

Sonuç:

12

litre (B).

Soru 6Zor

Taban kenarı

12 cm

, cisim yüksekliği

8 cm

olan kare tabanlı düzgün bir piramidin tüm yüzey alanı kaç

cm^{2}

'dir?

Yarı-kenar: $\frac{a}{2} = \frac{12}{2} = 6 cm$ .
Yanal yükseklik: $ℓ = h^{2} + (\frac{a}{2})^{2} = 8^{2} + 6^{2} = 64 + 36 = 100 = 10 cm$ .
Taban alanı: $A_{taban} = 1 2^{2} = 144 cm^{2}$ . Yan alan: $A_{yan} = 2 a ℓ = 2 \cdot 12 \cdot 10 = 240 cm^{2}$ .
Tüm yüzey alanı: $A = 144 + 240 = 384 cm^{2}$ .

Sonuç:

384 cm^{2}

(D).

0/6 soru cevaplandı

1. Dik Prizmanın Hacmi

2. Dik Prizmanın Yüzey Alanı

3. Küp: Özel Bir Prizma

4. Dik Piramidin Hacmi

5. Dik Piramidin Yüzey Alanı

Çözümlü Örnekler

Alıştırmalar — Sıra Sende

Sık Yapılan Hatalar

Sınav Tarzı Sorular

Çözümlü Sorular

Uzay Geometri (Katı Cisimler) — diğer konular