11. Sınıf · Uzay Geometri (Katı Cisimler)

Dik Prizma ve Piramit

~8 dk okumaZorluk: Orta19 çözümlü soru

Uzay geometrinin temel cisimleri prizma ve piramittir. Prizma, iki paralel ve eş taban arasındaki dikdörtgen yan yüzeylerden oluşur; piramit ise bir tabanla tek bir tepe noktasını birleştiren üçgen yan yüzeylere sahiptir. Bu derste dik prizma ve dik piramidin yüzey alanı ile hacim formüllerini öğreneceğiz. Anahtar fikir hep aynıdır: hacim için "taban alanı × yükseklik" mantığı, yüzey alanı için ise "tüm yüzeyleri açıp toplama" mantığı. Bol şekil, örnek ve "Sıra Sende" alıştırmalarıyla pekiştireceğiz.

1. Dik Prizmanın Hacmi

Bir dik prizmada yan ayrıtlar tabana diktir. Hacim, taban alanı ile yüksekliğin çarpımıdır:

$V=A_{\text{taban}}\cdot h$

Burada $A_{\text{taban}}$ tabanın alanı, $h$ ise yüksekliktir (iki taban arasındaki dik uzaklık). Taban hangi çokgense onun alan formülü kullanılır: dikdörtgen, üçgen, altıgen…

Şekil 1 — Kenarları

a,\ b,\ c

olan dikdörtgenler prizması. Tabanı

a\cdot b

dikdörtgeni, yüksekliği

c

; hacmi

V=a\cdot b\cdot c

Örnek

Soru

Ayrıtları $5\,\text{cm}$ , $4\,\text{cm}$ ve $3\,\text{cm}$ olan dikdörtgenler prizmasının hacmini bulunuz.

Taban alanı: $A_{\text{taban}}=5\cdot 4=20\ \text{cm}^2$ .
Yükseklik $h=3$ olduğundan $V=20\cdot 3=60\ \text{cm}^3$ .

Sonuç:

60\ \text{cm}^3

2. Dik Prizmanın Yüzey Alanı

Bir dik prizmanın yüzey alanı, iki taban ile yan yüzeylerin alanlarının toplamıdır:

$A=2\cdot A_{\text{taban}}+A_{\text{yan}}$

Yan yüzey alanı, taban çevresi ile yüksekliğin çarpımıdır (prizmayı açıp düz bir dikdörtgen gibi düşün):

$A_{\text{yan}}=\text{Çevre}_{\text{taban}}\cdot h$

Örnek

Soru

Tabanı $6\,\text{cm}$ ve $4\,\text{cm}$ kenarlı dikdörtgen, yüksekliği $10\,\text{cm}$ olan dik prizmanın yüzey alanını bulunuz.

Taban alanı: $A_{\text{taban}}=6\cdot 4=24\ \text{cm}^2$ .
Taban çevresi: $2(6+4)=20\ \text{cm}$ . Yan alan: $20\cdot 10=200\ \text{cm}^2$ .
Yüzey alanı: $A=2\cdot 24+200=48+200=248\ \text{cm}^2$ .

Sonuç:

248\ \text{cm}^2

3. Küp: Özel Bir Prizma

Küp, tüm ayrıtları eşit ( $a$ ) olan dik prizmadır. Altı yüzü de $a\times a$ karedir:

$V=a^3 \qquad\qquad A=6a^2$

Örnek

Soru

Bir ayrıtı $5\,\text{cm}$ olan küpün hacmini ve yüzey alanını bulunuz.

Hacim: $V=a^3=5^3=125\ \text{cm}^3$ .
Yüzey alanı: $A=6a^2=6\cdot 25=150\ \text{cm}^2$ .

Sonuç:

V=125\ \text{cm}^3

A=150\ \text{cm}^2

4. Dik Piramidin Hacmi

Bir piramit, taban çokgeninin köşelerini tek bir tepe noktasıyla birleştirir. Aynı tabana ve yüksekliğe sahip prizmanın hacminin üçte biri kadardır:

$V=\dfrac{1}{3}\cdot A_{\text{taban}}\cdot h$

Burada $h$ , tepe noktasının taban düzlemine olan dik uzaklığıdır (cisim yüksekliği).

Şekil 2 — Kare tabanlı dik piramit; taban kenarı

a

, cisim yüksekliği

h

(tepeden taban merkezine inen dik). Hacmi

V=\dfrac13 a^2 h

Örnek

Soru

Taban kenarı $6\,\text{cm}$ olan kare tabanlı bir piramidin yüksekliği $10\,\text{cm}$ ise hacmini bulunuz.

Taban alanı: $A_{\text{taban}}=6^2=36\ \text{cm}^2$ .
Hacim: $V=\dfrac{1}{3}\cdot 36\cdot 10=\dfrac{360}{3}=120\ \text{cm}^3$ .

Sonuç:

120\ \text{cm}^3

5. Dik Piramidin Yüzey Alanı

Düzgün bir dik piramitte yüzey alanı, tabanla yan üçgenlerin alanlarının toplamıdır:

$A=A_{\text{taban}}+A_{\text{yan}}$

Düzgün bir piramitte tüm yan üçgenler eştir ve her birinin yüksekliğine yanal yükseklik ( $\ell$ ) denir. Kare tabanlı (kenarı $a$ ) bir piramitte:

$A_{\text{yan}}=4\cdot\dfrac{a\cdot \ell}{2}=2a\ell$

Yanal yükseklik $\ell$ , cisim yüksekliği $h$ ile taban yarı-kenarı $\dfrac{a}{2}$ 'den Pisagor'la bulunur: $\ell=\sqrt{h^2+\left(\dfrac{a}{2}\right)^2}$ .

Örnek

Soru

Taban kenarı $6\,\text{cm}$ , yüksekliği $4\,\text{cm}$ olan kare tabanlı düzgün piramidin yüzey alanını bulunuz.

Önce yanal yükseklik $\ell=\sqrt{h^2+\left(\dfrac{a}{2}\right)^2}$ 'i bul; sonra $A=a^2+2a\ell$ uygula.

Yarı-kenar: $\dfrac{a}{2}=3$ . Yanal yükseklik: $\ell=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5\ \text{cm}$ .
Taban alanı: $a^2=36\ \text{cm}^2$ . Yan alan: $2a\ell=2\cdot 6\cdot 5=60\ \text{cm}^2$ .
Yüzey alanı: $A=36+60=96\ \text{cm}^2$ .

Sonuç:

96\ \text{cm}^2

Çözümlü Örnekler

Örnek

Soru

Tabanı dik kenarları $3\,\text{cm}$ ve $4\,\text{cm}$ olan dik üçgen, yüksekliği $10\,\text{cm}$ olan dik üçgen prizmanın hacmini bulunuz.

Taban (dik üçgen) alanı: $A_{\text{taban}}=\dfrac{3\cdot 4}{2}=6\ \text{cm}^2$ .
Hacim: $V=A_{\text{taban}}\cdot h=6\cdot 10=60\ \text{cm}^3$ .

Sonuç:

60\ \text{cm}^3

Örnek

Soru

Hacmi $343\,\text{cm}^3$ olan bir küpün bir ayrıtı kaç cm'dir?

$V=a^3=343\Rightarrow a=\sqrt[3]{343}=7$ çünkü $7^3=343$ .

Sonuç:

7\ \text{cm}

Örnek

Soru

Taban kenarı $9\,\text{cm}$ olan kare tabanlı bir piramidin hacmi $135\,\text{cm}^3$ ise yüksekliği kaç cm'dir?

$V=\dfrac13 A_{\text{taban}}h$ formülünde $h$ 'yi yalnız bırak: $h=\dfrac{3V}{A_{\text{taban}}}$ .

Taban alanı: $A_{\text{taban}}=9^2=81\ \text{cm}^2$ .
$135=\dfrac{1}{3}\cdot 81\cdot h=27h\Rightarrow h=\dfrac{135}{27}=5\ \text{cm}$ .

Sonuç:

5\ \text{cm}

Örnek

Soru

Bir küpün yüzey alanı $96\,\text{cm}^2$ ise hacmi kaç $\text{cm}^3$ 'tür?

$A=6a^2=96\Rightarrow a^2=16\Rightarrow a=4\ \text{cm}$ .
Hacim: $V=a^3=4^3=64\ \text{cm}^3$ .

Sonuç:

64\ \text{cm}^3

Örnek

Soru

Aynı tabana ( $A_{\text{taban}}=18\,\text{cm}^2$ ) ve aynı yüksekliğe ( $h=6\,\text{cm}$ ) sahip bir prizma ile bir piramidin hacimleri arasındaki farkı bulunuz.

Piramit hacmi, aynı taban ve yükseklikteki prizmanın tam üçte biridir; fark da kalan üçte ikidir.

Prizma: $V_1=18\cdot 6=108\ \text{cm}^3$ .
Piramit: $V_2=\dfrac{1}{3}\cdot 108=36\ \text{cm}^3$ .
Fark: $108-36=72\ \text{cm}^3$ .

Sonuç:

72\ \text{cm}^3

Alıştırmalar — Sıra Sende

Önce kendin çözmeyi dene; sonra çözümü açıp karşılaştır.

Örnek

Soru

Ayrıtları $8\,\text{cm}$ , $5\,\text{cm}$ ve $2\,\text{cm}$ olan dikdörtgenler prizmasının hacmini bul.

$V=8\cdot 5\cdot 2=80\ \text{cm}^3$ .

Sonuç:

80\ \text{cm}^3

Örnek

Soru

Bir ayrıtı $3\,\text{cm}$ olan küpün hacmi ile yüzey alanını bul.

Hacim: $V=3^3=27\ \text{cm}^3$ .
Yüzey alanı: $A=6\cdot 3^2=54\ \text{cm}^2$ .

Sonuç:

V=27\ \text{cm}^3

A=54\ \text{cm}^2

Örnek

Soru

Taban kenarı $5\,\text{cm}$ olan kare tabanlı piramidin yüksekliği $9\,\text{cm}$ ise hacmini bul.

Taban alanı: $5^2=25\ \text{cm}^2$ .
$V=\dfrac{1}{3}\cdot 25\cdot 9=\dfrac{225}{3}=75\ \text{cm}^3$ .

Sonuç:

75\ \text{cm}^3

Örnek

Soru

Tabanı $7\,\text{cm}$ ve $3\,\text{cm}$ kenarlı dikdörtgen, yüksekliği $5\,\text{cm}$ olan dik prizmanın yan yüzey alanını bul.

Taban çevresi: $2(7+3)=20\ \text{cm}$ .
Yan alan: $A_{\text{yan}}=20\cdot 5=100\ \text{cm}^2$ .

Sonuç:

100\ \text{cm}^2

Örnek

Soru

Hacmi $1000\,\text{cm}^3$ olan bir küpün yüzey alanını bul.

$a^3=1000\Rightarrow a=10\ \text{cm}$ .
$A=6\cdot 10^2=600\ \text{cm}^2$ .

Sonuç:

600\ \text{cm}^2

Örnek

Soru

Tabanı kenarı $6\,\text{cm}$ olan eşkenar üçgen, yüksekliği $10\,\text{cm}$ olan dik üçgen prizmanın hacmini bul. (Eşkenar üçgenin alanı $\dfrac{a^2\sqrt3}{4}$ 'tür.)

Önce eşkenar üçgen tabanın alanını $\dfrac{a^2\sqrt3}{4}$ ile bul, sonra $V=A_{\text{taban}}\cdot h$ uygula.

Taban alanı: $A_{\text{taban}}=\dfrac{6^2\sqrt3}{4}=\dfrac{36\sqrt3}{4}=9\sqrt3\ \text{cm}^2$ .
Hacim: $V=9\sqrt3\cdot 10=90\sqrt3\ \text{cm}^3$ .

Sonuç:

90\sqrt3\ \text{cm}^3

Örnek

Soru

Taban kenarı $8\,\text{cm}$ , yüksekliği $3\,\text{cm}$ olan kare tabanlı düzgün piramidin tüm yüzey alanını bul.

Önce yanal yükseklik $\ell=\sqrt{h^2+\left(\dfrac a2\right)^2}$ 'i bul; sonra $A=a^2+2a\ell$ .

Yarı-kenar: $\dfrac{8}{2}=4$ . Yanal yükseklik: $\ell=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\ \text{cm}$ .
Taban alanı: $8^2=64\ \text{cm}^2$ . Yan alan: $2a\ell=2\cdot 8\cdot 5=80\ \text{cm}^2$ .
Yüzey alanı: $A=64+80=144\ \text{cm}^2$ .

Sonuç:

144\ \text{cm}^2

Örnek

Soru

Bir dikdörtgenler prizmasının tabanı kare ( $a\times a$ ), yüksekliği taban kenarının $3$ katıdır. Hacmi $192\,\text{cm}^3$ ise taban kenarı kaç cm'dir?

Yükseklik $3a$ ise hacim $V=a\cdot a\cdot 3a=3a^3$ olur; bunu $192$ 'ye eşitle.

Taban alanı $a^2$ , yükseklik $3a$ : $V=a^2\cdot 3a=3a^3$ .
$3a^3=192\Rightarrow a^3=64\Rightarrow a=4\ \text{cm}$ .

Sonuç:

4\ \text{cm}

Örnek

Soru

Taban kenarı $10\,\text{cm}$ olan kare tabanlı düzgün bir piramidin yanal yüksekliği $13\,\text{cm}$ 'dir. Bu piramidin hacmini bul.

Cisim yüksekliği $h$ , yanal yükseklik $\ell$ ve yarı-kenar $\dfrac a2$ bir dik üçgen oluşturur: $h=\sqrt{\ell^2-\left(\dfrac a2\right)^2}$ .

Yarı-kenar: $\dfrac{10}{2}=5$ . Cisim yüksekliği: $h=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12\ \text{cm}$ .
Taban alanı: $10^2=100\ \text{cm}^2$ .
Hacim: $V=\dfrac{1}{3}\cdot 100\cdot 12=\dfrac{1200}{3}=400\ \text{cm}^3$ .

Sonuç:

400\ \text{cm}^3

Sık Yapılan Hatalar

Piramitte $\dfrac13$ çarpanını unutmak. Piramit hacmi $\dfrac13 A_{\text{taban}}h$ 'dir; aynı taban-yükseklikteki prizmanın yalnız üçte biridir.
Yanal yükseklik ile cisim yüksekliğini karıştırmak. Hacimde cisim yüksekliği $h$ kullanılır; yan yüzey alanında ise yan üçgenin yüksekliği olan yanal yükseklik $\ell$ kullanılır. Bunlar $\ell=\sqrt{h^2+\left(\dfrac a2\right)^2}$ ile bağlıdır.
Yüzey alanında tabanları eksik saymak. Prizmada iki taban vardır ( $2A_{\text{taban}}$ ); piramitte tek taban.
Birim hatası. Hacim $\text{cm}^3$ , alan $\text{cm}^2$ ile ölçülür; cevabı yazarken birimi kontrol et.

Not: Hacimde refleksin "taban alanı × yükseklik" olsun; piramitse sonu $\dfrac13$ ile çarp. Yüzey alanında ise cismi zihninde aç: prizma için iki taban + (çevre × yükseklik), piramit için taban + yan üçgenler.

1. Dik Prizmanın Hacmi

2. Dik Prizmanın Yüzey Alanı

3. Küp: Özel Bir Prizma

4. Dik Piramidin Hacmi

5. Dik Piramidin Yüzey Alanı

Çözümlü Örnekler

Alıştırmalar — Sıra Sende

Sık Yapılan Hatalar

Uzay Geometri (Katı Cisimler) — diğer konular