çözümebak

9. Sınıf · Veriden Olasılığa

Olasılıkta Tümevarımsal Akıl Yürütme

~6 dk okumaZorluk: Orta16 çözümlü soru

Olasılık, yalnız hesaplanan değil, gözlemlerden çıkarsanan bir kavramdır. Bu derste deneme sayısı arttıkça deneysel olasılığın teorik olasılığa yaklaştığını, gözlenen verilerden bir olay hakkında tümevarımsal (örnekten genele) çıkarım yapmayı ve bu çıkarımların sınırlarını öğreneceğiz. Amaç, "elimdeki veriye dayanarak ne kadar emin olabilirim?" sorusunu mantıklı yanıtlamak. Bol örnek ve "Sıra Sende" alıştırmalarıyla pekiştireceğiz.

1. Deneysel Olasılık Teorik Olasılığa Yaklaşır

Bir deney az kez yapıldığında deneysel olasılık teorik değerden uzak olabilir; ancak deneme sayısı arttıkça deneysel olasılık teorik olasılığa yaklaşır. Bu, olasılıkta tümevarımsal akıl yürütmenin temelidir. Aşağıdaki grafikte, bir para atışında tura sıklığının ilk birkaç atışta nasıl çok sıçradığı, deneme sayısı büyüdükçe ise teorik değer 0{,}5 çevresinde nasıl sabitlendiği görülür.

10,50teorik 0,5deneme sayısı →deneysel olasılık
Şekil 1 — Deneme sayısı arttıkça deneysel olasılığın teorik değere yakınsaması. Az denemede (0{,}80, 0{,}20 gibi) değer çok oynar; deneme sayısı büyüdükçe deneysel olasılık kesik çizgiyle gösterilen teorik 0{,}5 değerine yaklaşır. Dikkat: "yaklaşır", "tam eşit olur" demek değildir.
Örnek
Soru

Bir madenî para atışında teorik tura olasılığı 0{,}5'tir. Bir öğrenci parayı 10 kez atıp 7 tura, sonra 1000 kez atıp 508 tura gözlemliyor. Hangi deneysel olasılık teorik değere daha yakındır?

  1. 10 atış: \dfrac{7}{10}=0{,}7 (teorikten uzak).
  2. 1000 atış: \dfrac{508}{1000}=0{,}508 (teorike çok yakın).
  3. Deneme sayısı arttıkça deneysel olasılık 0{,}5'e yaklaşmıştır.
Sonuç: 1000 atışlık sonuç (0{,}508) teorik değere daha yakındır.

2. Gözlemden Tahmine (Tümevarım)

Bir olayı çok kez gözlemleyip elde ettiğimiz deneysel olasılıkla, gelecekteki denemeler için tahmin yaparız:

\text{beklenen sayı}\approx P_{\text{deneysel}}\cdot \text{yeni deneme sayısı}

Örnek
Soru

Bir fabrikada 500 üründen 20'si kusurlu çıkmıştır. Aynı üretimden 2000 ürün alınırsa yaklaşık kaç kusurlu beklenir?

Önce gözlenen kusur oranını (deneysel olasılık) bul, sonra yeni üretim sayısıyla çarp.

  1. Kusur oranı: \dfrac{20}{500}=0{,}04.
  2. Beklenen kusur: 0{,}04\cdot 2000=80.
Sonuç: Yaklaşık 80 kusurlu ürün beklenir.

3. Çıkarımın Sınırları

Tümevarımsal tahmin kesinlik değil, beklenti verir. Güvenilirliği şu etkenlere bağlıdır:

Örnek
Soru

Bir öğrenci zarı yalnız 5 kez atıp 4 kez 6 geliyor ve "Bu zarda 6 gelme olasılığı 0{,}8'dir" diyor. Bu çıkarım güvenilir mi?

  1. Yalnız 5 deneme çok küçük bir örneklemdir.
  2. Bu kadar az denemeyle deneysel olasılık şansa bağlı sapabilir; teorik değer \dfrac{1}{6}\approx 0{,}17'dir.
  3. Güvenilir bir tahmin için çok daha fazla deneme gerekir.
Sonuç: Hayır; örneklem çok küçük, çıkarım güvenilir değil.

Çözümlü Örnekler

Örnek
Soru

Bir hava durumu modeli, son 200 benzer günün 150'sinde yağmur gözlemiş. Yarın için yağmur olasılığını bu veriye göre tahmin ediniz.

  1. Deneysel olasılık: \dfrac{150}{200}=0{,}75.
Sonuç: Yaklaşık 0{,}75 (yani \%75).
Örnek
Soru

Bir markette 400 müşteriden 100'ü nakit ödemiştir. Aynı gün gelecek 1200 müşteriden yaklaşık kaçının nakit ödemesi beklenir?

  1. Nakit oranı: \dfrac{100}{400}=0{,}25.
  2. Beklenen: 0{,}25\cdot 1200=300.
Sonuç: Yaklaşık 300 müşteri.
Örnek
Soru

Bir zar çok kez atıldığında 3 gelme deneysel olasılığı 0{,}30, 0{,}18, 0{,}168 olarak ölçülüyor (sırasıyla 10, 100, 1000 atış). Teorik olasılık hangisine en yakındır ve neden?

  1. Teorik olasılık \dfrac{1}{6}\approx 0{,}167.
  2. Deneme sayısı arttıkça değer 0{,}167'ye yaklaşır; 0{,}168 (1000 atış) en yakını.
Sonuç: 0{,}168; çünkü en çok denemeyle elde edilmiştir.
Örnek
Soru

Bir okulda 50 öğrenciyle yapılan ankette 30'u futbol seviyor. Okuldaki 1000 öğrenciden yaklaşık kaçının futbol sevmesi beklenir? Bu tahmin neden kesin değildir?

  1. Oran: \dfrac{30}{50}=0{,}6; beklenen: 0{,}6\cdot 1000=600.
  2. 50 kişilik örneklem tüm okulu birebir temsil etmeyebilir; tahmin yaklaşıktır.
Sonuç: Yaklaşık 600; örneklem sınırlı olduğundan kesin değildir.

Alıştırmalar — Sıra Sende

Önce kendin çözmeyi dene; sonra çözümü açıp karşılaştır.

Örnek
Soru

1000 atışta 250 kez gelen bir olayın deneysel olasılığı kaçtır?

  1. \dfrac{250}{1000}=0{,}25.
Sonuç: 0{,}25.
Örnek
Soru

Bir üründe kusur oranı gözlemle 0{,}05 bulunmuş. 600 üründe yaklaşık kaç kusur beklenir?

  1. 0{,}05\cdot 600=30.
Sonuç: 30.
Örnek
Soru

Aynı deney için 0{,}40 (20 deneme) ve 0{,}503 (2000 deneme) ölçülüyor. Teorik olasılık 0{,}5 ise hangisi daha güvenilirdir?

  1. Daha çok deneme daha güvenilirdir: 0{,}503 (2000 deneme).
Sonuç: 0{,}503.
Örnek
Soru

Bir otobüs son 80 seferin 72'sinde zamanında kalkmış. Bir sonraki seferin zamanında kalkma olasılığını tahmin et.

  1. \dfrac{72}{80}=0{,}9.
Sonuç: Yaklaşık 0{,}9.
Örnek
Soru

Bir kişi parayı 4 kez atıp 4'ünde de tura gözlüyor ve "tura olasılığı 1'dir" diyor. Bu çıkarımın hatası nedir?

  1. Örneklem çok küçük (4 atış); az denemede şans eseri hep tura gelebilir.
  2. Teorik olasılık 0{,}5; çok atışta sonuç buna yaklaşır.
Sonuç: Örneklem çok küçük; bu kadar az veriyle olasılık 1 sonucu çıkarılamaz.
Örnek
Soru

Bir çağrı merkezinde 250 aramadan 30'u şikâyet aramasıdır. Önümüzdeki ay 5000 arama beklenirse yaklaşık kaçının şikâyet olması beklenir?

  1. Şikâyet oranı: \dfrac{30}{250}=0{,}12.
  2. Beklenen: 0{,}12\cdot 5000=600.
Sonuç: Yaklaşık 600 şikâyet araması.
Örnek
Soru

Bir tohum partisinden ekilen 400 tohumun 360'ı çimleniyor. Aynı partiden 50 tohum ekersen kaçının çimlenmesini beklersin?

  1. Çimlenme oranı: \dfrac{360}{400}=0{,}9.
  2. Beklenen: 0{,}9\cdot 50=45.
Sonuç: Yaklaşık 45 tohum.
Örnek
Soru

Bir hileli zar çok kez atılıyor ve 6 gelme deneysel olasılığı kararlı biçimde 0{,}30 ölçülüyor. Bu zar 2000 kez atılırsa yaklaşık kaç kez 6 gelir? Ayrıca bu zarın hilesiz olmadığını nereden anlarız?

Hilesiz bir zarda her yüzün teorik olasılığı \dfrac{1}{6}\approx 0{,}167'dir. Gözlenen değeri bununla karşılaştır.

  1. Beklenen sayı =0{,}30\cdot 2000=600.
  2. Hilesiz zarda 6 olasılığı \dfrac{1}{6}\approx 0{,}167 olurdu; çok denemede 0{,}30'a oturması teorik değerden belirgin sapma demektir.
  3. Bol denemeye rağmen değer 0{,}167'ye yaklaşmadığından zar hilelidir.
Sonuç: Yaklaşık 600 kez; deneysel olasılık (0{,}30) hilesiz değer 0{,}167'den kararlı biçimde saptığı için zar hilelidir.
Örnek
Soru

Bir araştırmacı, bir şehirdeki insanların kahve tercihini ölçmek için yalnızca bir kahveci dükkânının önündeki 40 kişiyle anket yapıyor ve "35'i kahveyi çaydan çok seviyor, demek ki şehrin \%87{,}5'i kahve seviyor" diyor. Bu çıkarımın iki ayrı zayıflığını söyle.

Örneklemin hem büyüklüğüne hem de temsil ediciliğine bak: nerede ve kimlerle anket yapılmış?

  1. Temsil edicilik: Kahveci önündeki kişiler zaten kahve içmeye gelmiş olabilir; bu örneklem şehrin tamamını yansıtmaz (taraflı/yanlı örneklem).
  2. Örneklem büyüklüğü: 40 kişi, bir şehir için çok küçük bir örneklemdir; sonuç şansa bağlı sapabilir.
  3. Bu iki nedenle \%87{,}5 oranı tüm şehre genellenemez.
Sonuç: Örneklem hem taraflı (yalnız kahve içenlerin bulunduğu yer) hem de çok küçüktür; bu yüzden çıkarım güvenilir değildir.

Sık Yapılan Hatalar

Not: Tümevarımsal akıl yürütmede iki anahtar: (1) deneme sayısı arttıkça deneysel olasılık teorik olasılığa yaklaşır; (2) tahmin her zaman yaklaşıktır — güvenilirliği örneklem büyüklüğüne ve temsil ediciliğine bağlıdır.

Veriden Olasılığa — diğer konular