9. Sınıf · Veriden Olasılığa

Olasılıkta Tümevarımsal Akıl Yürütme

~6 dk okumaZorluk: Orta6 çözümlü soru

Olasılık, yalnız hesaplanan değil, gözlemlerden çıkarsanan bir kavramdır. Bu derste deneme sayısı arttıkça deneysel olasılığın teorik olasılığa yaklaştığını, gözlenen verilerden bir olay hakkında tümevarımsal (örnekten genele) çıkarım yapmayı ve bu çıkarımların sınırlarını öğreneceğiz. Amaç, "elimdeki veriye dayanarak ne kadar emin olabilirim?" sorusunu mantıklı yanıtlamak. Bol örnek ve "Sıra Sende" alıştırmalarıyla pekiştireceğiz.

1. Deneysel Olasılık Teorik Olasılığa Yaklaşır

Bir deney az kez yapıldığında deneysel olasılık teorik değerden uzak olabilir; ancak deneme sayısı arttıkça deneysel olasılık teorik olasılığa yaklaşır. Bu, olasılıkta tümevarımsal akıl yürütmenin temelidir. Aşağıdaki grafikte, bir para atışında tura sıklığının ilk birkaç atışta nasıl çok sıçradığı, deneme sayısı büyüdükçe ise teorik değer $0, 5$ çevresinde nasıl sabitlendiği görülür.

Şekil 1 — Deneme sayısı arttıkça deneysel olasılığın teorik değere yakınsaması. Az denemede (

0, 80

0, 20

gibi) değer çok oynar; deneme sayısı büyüdükçe deneysel olasılık kesik çizgiyle gösterilen teorik

0, 5

değerine yaklaşır. Dikkat: "yaklaşır", "tam eşit olur" demek değildir.

Örnek

Soru

Bir madenî para atışında teorik tura olasılığı $0, 5$ 'tir. Bir öğrenci parayı $10$ kez atıp $7$ tura, sonra $1000$ kez atıp $508$ tura gözlemliyor. Hangi deneysel olasılık teorik değere daha yakındır?

$10$ atış: $\frac{7}{10} = 0, 7$ (teorikten uzak).
$1000$ atış: $\frac{508}{1000} = 0, 508$ (teorike çok yakın).
Deneme sayısı arttıkça deneysel olasılık $0, 5$ 'e yaklaşmıştır.

Sonuç:

1000

atışlık sonuç (

0, 508

) teorik değere daha yakındır.

2. Gözlemden Tahmine (Tümevarım)

Bir olayı çok kez gözlemleyip elde ettiğimiz deneysel olasılıkla, gelecekteki denemeler için tahmin yaparız:

$beklenen say ı \approx P_{deneysel} \cdot yeni deneme say ı s ı$

Örnek

Soru

Bir fabrikada $500$ üründen $20$ 'si kusurlu çıkmıştır. Aynı üretimden $2000$ ürün alınırsa yaklaşık kaç kusurlu beklenir?

Önce gözlenen kusur oranını (deneysel olasılık) bul, sonra yeni üretim sayısıyla çarp.

Kusur oranı: $\frac{20}{500} = 0, 04$ .
Beklenen kusur: $0, 04 \cdot 2000 = 80$ .

Sonuç: Yaklaşık

80

kusurlu ürün beklenir.

3. Çıkarımın Sınırları

Tümevarımsal tahmin kesinlik değil, beklenti verir. Güvenilirliği şu etkenlere bağlıdır:

Örneklem büyüklüğü: az gözlem yanıltıcı olabilir; çok gözlem daha güvenilirdir.
Temsil edicilik: örneklem bütünü yansıtmıyorsa çıkarım yanlış olur.
Koşulların aynılığı: koşullar değişirse geçmiş oran geleceği tahmin etmez.

Örnek

Soru

Bir öğrenci zarı yalnız $5$ kez atıp $4$ kez $6$ geliyor ve "Bu zarda $6$ gelme olasılığı $0, 8$ 'dir" diyor. Bu çıkarım güvenilir mi?

Yalnız $5$ deneme çok küçük bir örneklemdir.
Bu kadar az denemeyle deneysel olasılık şansa bağlı sapabilir; teorik değer $\frac{1}{6} \approx 0, 17$ 'dir.
Güvenilir bir tahmin için çok daha fazla deneme gerekir.

Sonuç: Hayır; örneklem çok küçük, çıkarım güvenilir değil.

Çözümlü Örnekler

Örnek

Soru

Bir hava durumu modeli, son $200$ benzer günün $150$ 'sinde yağmur gözlemiş. Yarın için yağmur olasılığını bu veriye göre tahmin ediniz.

Deneysel olasılık: $\frac{150}{200} = 0, 75$ .

Sonuç: Yaklaşık

0, 75

(yani

%75

Örnek

Soru

Bir markette $400$ müşteriden $100$ 'ü nakit ödemiştir. Aynı gün gelecek $1200$ müşteriden yaklaşık kaçının nakit ödemesi beklenir?

Nakit oranı: $\frac{100}{400} = 0, 25$ .
Beklenen: $0, 25 \cdot 1200 = 300$ .

Sonuç: Yaklaşık

300

müşteri.

Örnek

Soru

Bir zar çok kez atıldığında $3$ gelme deneysel olasılığı $0, 30$ , $0, 18$ , $0, 168$ olarak ölçülüyor (sırasıyla $10$ , $100$ , $1000$ atış). Teorik olasılık hangisine en yakındır ve neden?

Teorik olasılık $\frac{1}{6} \approx 0, 167$ .
Deneme sayısı arttıkça değer $0, 167$ 'ye yaklaşır; $0, 168$ ( $1000$ atış) en yakını.

Sonuç:

0, 168

; çünkü en çok denemeyle elde edilmiştir.

Örnek

Soru

Bir okulda $50$ öğrenciyle yapılan ankette $30$ 'u futbol seviyor. Okuldaki $1000$ öğrenciden yaklaşık kaçının futbol sevmesi beklenir? Bu tahmin neden kesin değildir?

Oran: $\frac{30}{50} = 0, 6$ ; beklenen: $0, 6 \cdot 1000 = 600$ .
$50$ kişilik örneklem tüm okulu birebir temsil etmeyebilir; tahmin yaklaşıktır.

Sonuç: Yaklaşık

600

; örneklem sınırlı olduğundan kesin değildir.

Alıştırmalar — Sıra Sende

Önce kendin çözmeyi dene; sonra çözümü açıp karşılaştır.

Örnek

Soru

$1000$ atışta $250$ kez gelen bir olayın deneysel olasılığı kaçtır?

$\frac{250}{1000} = 0, 25$ .

Sonuç:

0, 25

Örnek

Soru

Bir üründe kusur oranı gözlemle $0, 05$ bulunmuş. $600$ üründe yaklaşık kaç kusur beklenir?

$0, 05 \cdot 600 = 30$ .

Sonuç:

30

Örnek

Soru

Aynı deney için $0, 40$ ( $20$ deneme) ve $0, 503$ ( $2000$ deneme) ölçülüyor. Teorik olasılık $0, 5$ ise hangisi daha güvenilirdir?

Daha çok deneme daha güvenilirdir: $0, 503$ ( $2000$ deneme).

Sonuç:

0, 503

Örnek

Soru

Bir otobüs son $80$ seferin $72$ 'sinde zamanında kalkmış. Bir sonraki seferin zamanında kalkma olasılığını tahmin et.

$\frac{72}{80} = 0, 9$ .

Sonuç: Yaklaşık

0, 9

Örnek

Soru

Bir kişi parayı $4$ kez atıp $4$ 'ünde de tura gözlüyor ve "tura olasılığı $1$ 'dir" diyor. Bu çıkarımın hatası nedir?

Örneklem çok küçük ( $4$ atış); az denemede şans eseri hep tura gelebilir.
Teorik olasılık $0, 5$ ; çok atışta sonuç buna yaklaşır.

Sonuç: Örneklem çok küçük; bu kadar az veriyle olasılık

1

sonucu çıkarılamaz.

Örnek

Soru

Bir çağrı merkezinde $250$ aramadan $30$ 'u şikâyet aramasıdır. Önümüzdeki ay $5000$ arama beklenirse yaklaşık kaçının şikâyet olması beklenir?

Şikâyet oranı: $\frac{30}{250} = 0, 12$ .
Beklenen: $0, 12 \cdot 5000 = 600$ .

Sonuç: Yaklaşık

600

şikâyet araması.

Örnek

Soru

Bir tohum partisinden ekilen $400$ tohumun $360$ 'ı çimleniyor. Aynı partiden $50$ tohum ekersen kaçının çimlenmesini beklersin?

Çimlenme oranı: $\frac{360}{400} = 0, 9$ .
Beklenen: $0, 9 \cdot 50 = 45$ .

Sonuç: Yaklaşık

45

tohum.

Örnek

Soru

Bir hileli zar çok kez atılıyor ve $6$ gelme deneysel olasılığı kararlı biçimde $0, 30$ ölçülüyor. Bu zar $2000$ kez atılırsa yaklaşık kaç kez $6$ gelir? Ayrıca bu zarın hilesiz olmadığını nereden anlarız?

Hilesiz bir zarda her yüzün teorik olasılığı $\frac{1}{6} \approx 0, 167$ 'dir. Gözlenen değeri bununla karşılaştır.

Beklenen sayı $= 0, 30 \cdot 2000 = 600$ .
Hilesiz zarda $6$ olasılığı $\frac{1}{6} \approx 0, 167$ olurdu; çok denemede $0, 30$ 'a oturması teorik değerden belirgin sapma demektir.
Bol denemeye rağmen değer $0, 167$ 'ye yaklaşmadığından zar hilelidir.

Sonuç: Yaklaşık

600

kez; deneysel olasılık (

0, 30

) hilesiz değer

0, 167

'den kararlı biçimde saptığı için zar hilelidir.

Örnek

Soru

Bir araştırmacı, bir şehirdeki insanların kahve tercihini ölçmek için yalnızca bir kahveci dükkânının önündeki $40$ kişiyle anket yapıyor ve " $35$ 'i kahveyi çaydan çok seviyor, demek ki şehrin $%87, 5$ 'i kahve seviyor" diyor. Bu çıkarımın iki ayrı zayıflığını söyle.

Örneklemin hem büyüklüğüne hem de temsil ediciliğine bak: nerede ve kimlerle anket yapılmış?

Temsil edicilik: Kahveci önündeki kişiler zaten kahve içmeye gelmiş olabilir; bu örneklem şehrin tamamını yansıtmaz (taraflı/yanlı örneklem).
Örneklem büyüklüğü: $40$ kişi, bir şehir için çok küçük bir örneklemdir; sonuç şansa bağlı sapabilir.
Bu iki nedenle $%87, 5$ oranı tüm şehre genellenemez.

Sonuç: Örneklem hem taraflı (yalnız kahve içenlerin bulunduğu yer) hem de çok küçüktür; bu yüzden çıkarım güvenilir değildir.

Sık Yapılan Hatalar

Az denemeyle kesin yargıya varmak. Küçük örneklemde deneysel olasılık çok sapabilir; güvenilir tahmin çok sayıda gözlem ister.
Deneysel olasılığı "kesin" sanmak. Tümevarım bir beklenti verir, garanti değil.
Temsil etmeyen örneklemden genellemek. Örneklem bütünü yansıtmıyorsa çıkarım yanlış olur.
"Yaklaşır" ile "eşittir"i karıştırmak. Deneme arttıkça deneysel olasılık teorik değere yaklaşır; ona tam eşit olmak zorunda değildir.

Not: Tümevarımsal akıl yürütmede iki anahtar: (1) deneme sayısı arttıkça deneysel olasılık teorik olasılığa yaklaşır; (2) tahmin her zaman yaklaşıktır — güvenilirliği örneklem büyüklüğüne ve temsil ediciliğine bağlıdır.

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, konuyu sınav formatında (5 şıklı) pekiştirmen için özgün biçimde hazırlanmıştır.

Çözümlü Sorular

Her soruyu önce kendin dene; takıldığında Çözüme Bak.

Soru 1Kolay

Bir madenî para atılıyor ve tura gelme deneysel olasılığı sırasıyla şu değerlerde ölçülüyor:

20

atışta

0, 35

200

atışta

0, 46

10000

atışta

0, 497

. Teorik tura olasılığı

0, 5

olduğuna göre, bu ölçümlerden hangisi teorik değere en yakındır ve neden?

Deneme sayısı arttıkça deneysel olasılık teorik değere yaklaşır.
$∣0, 35 - 0, 5∣ = 0, 15$ , $∣0, 46 - 0, 5∣ = 0, 04$ , $∣0, 497 - 0, 5∣ = 0, 003$ .
En küçük fark $0, 003$ olup bu değer $10000$ atışlık ölçümdür.
Yani en çok denemeyle elde edilen $0, 497$ teorik $0, 5$ değerine en yakındır.

Sonuç:

0, 497

; en çok denemeyle elde edildiği için teorik değere en yakındır.

Soru 2Kolay

Bir fabrikada üretilen

300

ampulden

45

'i bozuk çıkmıştır. Aynı üretim koşullarında üretilecek

2000

ampulden yaklaşık kaçının bozuk olması beklenir?

Gözlenen bozukluk oranı (deneysel olasılık): $\frac{45}{300} = 0, 15$ .
Beklenen bozuk sayısı $\approx$ deneysel olasılık $\times$ yeni deneme sayısı.
Beklenen $= 0, 15 \cdot 2000 = 300$ .

Sonuç: Yaklaşık

300

bozuk ampul.

Soru 3Orta

Bir seracı, bir tohum partisinden ektiği

600

tohumun

456

'sının çimlendiğini gözlemliyor. Aynı partiden

150

tohum daha ekerse yaklaşık kaç tohumun çimlenmesini bekler?

Çimlenme oranı (deneysel olasılık): $\frac{456}{600} = 0, 76$ .
Beklenen çimlenme $= 0, 76 \cdot 150 = 114$ .

Sonuç: Yaklaşık

114

tohum.

Soru 4Orta

Bir çağrı merkezinde gelen

350

aramanın

84

'ü teknik destek aramasıdır. Önümüzdeki ay

4500

arama beklenirse, yaklaşık kaç tanesinin teknik destek araması olması beklenir?

Teknik destek oranı: $\frac{84}{350} = 0, 24$ .
Beklenen sayı $= 0, 24 \cdot 4500 = 1080$ .

Sonuç: Yaklaşık

1080

teknik destek araması.

Soru 5Orta

Bir öğrenci, bir zarı yalnızca

6

kez atıp

4

kez

5

geldiğini görüyor ve "Bu zarda

5

gelme olasılığı yaklaşık

0, 67

'dir" diyor. Bu çıkarımla ilgili en doğru değerlendirme aşağıdakilerden hangisidir?

Deneysel olasılık $\frac{4}{6} \approx 0, 67$ doğru hesaplanmıştır, ancak çıkarımın güvenilirliği ayrı bir konudur.
Yalnız $6$ atış çok küçük bir örneklemdir; bu kadar az denemede deneysel olasılık şans eseri büyük sapma gösterebilir.
Hilesiz zarda teorik değer $\frac{1}{6} \approx 0, 17$ 'dir; güvenilir bir tahmin için çok daha fazla deneme gerekir.
Bu nedenle $0, 67$ değerinden emin olunamaz.

Sonuç: Güvenilir değildir; örneklem çok küçük olduğundan sonuç şansa bağlı sapmış olabilir.

Soru 6Zor

Bir zar çok sayıda atıldığında

2

gelme deneysel olasılığı kararlı biçimde

0, 28

ölçülüyor. Bu zarla ilgili aşağıdaki yorumlardan hangisi yanlıştır?

Hilesiz zarda her yüzün teorik olasılığı $\frac{1}{6} \approx 0, 167$ 'dir; A doğrudur.
Beklenen sayı $= 0, 28 \cdot 5000 = 1400$ ; C doğrudur.
Bir zar hilesizse deneme arttıkça deneysel olasılık $0, 167$ 'ye yaklaşır; ancak bu zarda değer bol denemeye rağmen $0, 28$ 'de kararlı kalmıştır. Bu, zarın hileli olduğunu gösterir (B ve E doğru).
Dolayısıyla "deneme arttıkça $0, 167$ 'ye yaklaşması beklenir" ifadesi bu hileli zar için yanlıştır; kararlı $0, 28$ değeri tam da yaklaşmadığını gösterir.
Aranan yanlış ifade D'dir.

Sonuç: D yanlıştır: hileli zarda deneme artsa da değer teorik

0, 167

'ye yaklaşmaz, kararlı biçimde

0, 28

'de kalır.

0/6 soru cevaplandı

1. Deneysel Olasılık Teorik Olasılığa Yaklaşır

2. Gözlemden Tahmine (Tümevarım)

3. Çıkarımın Sınırları

Çözümlü Örnekler

Alıştırmalar — Sıra Sende

Sık Yapılan Hatalar

Sınav Tarzı Sorular

Çözümlü Sorular

Veriden Olasılığa — diğer konular