9. Sınıf · Veriden Olasılığa

Deneye Dayalı Olasılık ve Tahmin

~6 dk okumaZorluk: Kolay6 çözümlü soru

Veriden Olasılığa teması, belirsizliği sayıyla ifade etmeyi öğretir. Bu derste örnek uzay ve olay kavramlarını, bir olayın teorik olasılığını ( $P = \frac{istenen}{t u ¨ m durumlar}$ ) ve bir deneyi tekrarlayarak elde edilen deneysel (gözleme dayalı) olasılığı öğreneceğiz. Olasılık, "ne kadar mümkün?" sorusunu $0$ ile $1$ arasında bir sayıya çevirir. Bol örnek ve "Sıra Sende" alıştırmalarıyla pekiştireceğiz.

1. Örnek Uzay ve Olay

Bir rastgele deneyin tüm olası sonuçlarının kümesine örnek uzay ( $E$ ) denir. Örnek uzayın bir alt kümesine olay denir.

Bir zar atışında örnek uzay: $E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}$ , $s (E) = 6$ .
"Çift gelmesi" olayı: $A = {2, 4, 6}$ , $s (A) = 3$ .

Örnek

Soru

Bir madenî para iki kez atılıyor. Örnek uzayı yazıp eleman sayısını bulunuz. (Y: yazı, T: tura)

Her atışta iki sonuç var; iki atış için tüm ikililer: $Y Y, Y T, T Y, T T$ .
$E = {Y Y, Y T, T Y, T T}$ , $s (E) = 4$ .

Sonuç:

E = {Y Y, Y T, T Y, T T}

s (E) = 4

2. Teorik Olasılık

Tüm sonuçların eşit olası olduğu bir deneyde, bir $A$ olayının olasılığı:

$P (A) = \frac{s ( A )}{s ( E )} = \frac{istenen durum say ı s ı}{t u ¨ m durum say ı s ı}$

Her olasılık $0 \leq P (A) \leq 1$ aralığındadır. İmkânsız olayın olasılığı $0$ , kesin olayın olasılığı $1$ 'dir. Olasılık $\frac{1}{2}$ 'ye yaklaştıkça olay "ne olur ne olmaz" sınırına gelir; $0$ 'a yaklaştıkça olay az olası, $1$ 'e yaklaştıkça çok olası olur.

Şekil 1 — Olasılık skalası. Her olasılık

0

ile

1

arasındadır:

0

imkânsız,

1

kesin,

\frac{1}{2}

ise eşit şans demektir. Soldan sağa gidildikçe olayın gerçekleşme şansı artar.

Örnek

Soru

Bir zar atıldığında üst yüze $4$ 'ten büyük bir sayı gelmesi olasılığı kaçtır?

Önce istenen sonuçları listele ( $4$ 'ten büyük: $5, 6$ ), sonra tüm sonuç sayısına böl.

İstenen olay: $A = {5, 6}$ , $s (A) = 2$ .
Örnek uzay $s (E) = 6$ .
$P (A) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ .

Sonuç:

P (A) = \frac{1}{3}

3. Deneysel (Gözleme Dayalı) Olasılık

Bir deney çok kez tekrarlandığında, bir olayın gözlenen sıklığının deneme sayısına oranı, deneysel olasılıktır:

$P_{deneysel} (A) = \frac{olay ı n g o ¨ zlenme say ı s ı}{toplam deneme say ı s ı}$

Teorik olasılığı bilinmeyen ya da eşit olası olmayan durumlarda (örneğin hileli bir zar) olasılık ancak gözlemle tahmin edilir.

Örnek

Soru

Bir raptiye $200$ kez atılıyor ve $120$ kez "ucu yukarı" geliyor. Bu olayın deneysel olasılığı kaçtır?

Deneysel olasılık $= \frac{g o ¨ zlenme}{deneme} = \frac{120}{200}$ .
Sadeleştir: $\frac{120}{200} = 0, 6$ .

Sonuç:

P_{deneysel} = 0, 6

4. Olasılıkla Tahmin

Bilinen bir olasılık, gelecekteki bir deneyde olayın kaç kez olacağını tahmin etmeye yarar:

$beklenen say ı = P (A) \cdot deneme say ı s ı$

Örnek

Soru

Bir torbadaki toplardan birinin kırmızı gelme olasılığı $\frac{1}{4}$ 'tür. $40$ kez (geri koyarak) çekilirse yaklaşık kaç kez kırmızı beklenir?

Beklenen sayı $= P \cdot n = \frac{1}{4} \cdot 40$ .
$= 10$ .

Sonuç: Yaklaşık

10

kez kırmızı beklenir.

Çözümlü Örnekler

Örnek

Soru

$1$ 'den $10$ 'a kadar numaralı kartlardan biri çekiliyor. Çekilen sayının asal olması olasılığı kaçtır?

Asal sayılar: $2, 3, 5, 7$ → $s (A) = 4$ .
Örnek uzay $s (E) = 10$ .
$P (A) = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$ .

Sonuç:

\frac{2}{5}

Örnek

Soru

Bir torbada $3$ kırmızı, $5$ mavi top var. Rastgele bir top çekildiğinde mavi gelme olasılığı kaçtır?

Toplam top: $3 + 5 = 8$ .
Mavi sayısı $5$ .
$P (mavi) = \frac{5}{8}$ .

Sonuç:

\frac{5}{8}

Örnek

Soru

Bir zar $300$ kez atılıyor ve $6$ gelme sayısı $48$ 'dir. $6$ gelmesinin deneysel olasılığı kaçtır?

$P_{deneysel} = \frac{48}{300}$ .
Sadeleştir: $\frac{48}{300} = 0, 16$ .

Sonuç:

0, 16

Örnek

Soru

Bir madenî para atışında tura gelme olasılığı $\frac{1}{2}$ 'dir. Para $80$ kez atılırsa yaklaşık kaç kez tura beklenir?

Beklenen sayı $= \frac{1}{2} \cdot 80 = 40$ .

Sonuç: Yaklaşık

40

kez.

Alıştırmalar — Sıra Sende

Önce kendin çözmeyi dene; sonra çözümü açıp karşılaştır.

Örnek

Soru

Bir zar atıldığında tek sayı gelme olasılığı kaçtır?

Tek sayılar: $1, 3, 5$ → $s (A) = 3$ , $s (E) = 6$ .
$P = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ .

Sonuç:

\frac{1}{2}

Örnek

Soru

Türk alfabesinin $29$ harfinden rastgele bir harf seçiliyor. Seçilen harfin sesli (a, e, ı, i, o, ö, u, ü — $8$ harf) olma olasılığını yaz.

Sesli harf sayısı $8$ , toplam harf $29$ .
$P = \frac{8}{29}$ .

Sonuç:

\frac{8}{29}

Örnek

Soru

Bir oyun çarkı $150$ kez çevriliyor ve $90$ kez "kazandı" sonucu çıkıyor. "Kazanma"nın deneysel olasılığı kaçtır?

$\frac{90}{150} = 0, 6$ .

Sonuç:

0, 6

Örnek

Soru

Bir torbadan yeşil top çekme olasılığı $\frac{2}{5}$ 'tir. $35$ çekilişte yaklaşık kaç yeşil beklenir?

$\frac{2}{5} \cdot 35 = 14$ .

Sonuç:

14

Örnek

Soru

Bir olayın olasılığı $0$ ise bu olay hakkında ne söylenir?

Olasılığı $0$ olan olay imkânsızdır (hiç gerçekleşmez).

Sonuç: Olay imkânsızdır.

Örnek

Soru

İki madenî para birlikte atılıyor. En az bir tura gelmesi olasılığı kaçtır?

Örnek uzay: ${Y Y, Y T, T Y, T T}$ , $s (E) = 4$ .
"En az bir tura" olayı: ${Y T, T Y, T T}$ → $s (A) = 3$ .
$P = \frac{3}{4}$ .

Sonuç:

\frac{3}{4}

Örnek

Soru

$1$ 'den $20$ 'ye kadar numaralı kartlardan biri çekiliyor. Çekilen sayının $3$ ile tam bölünebilmesi olasılığı kaçtır?

$1$ – $20$ arasında $3$ 'ün katları: $3, 6, 9, 12, 15, 18$ → $s (A) = 6$ .
$s (E) = 20$ .
$P = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$ .

Sonuç:

\frac{3}{10}

Örnek

Soru

Bir torbada $4$ kırmızı ve bir miktar mavi top var. Kırmızı çekme olasılığı $\frac{2}{5}$ olduğuna göre torbada kaç mavi top vardır?

$\frac{k ı rm ı z ı}{toplam} = \frac{2}{5}$ kur; önce toplam top sayısını bul, sonra maviyi çıkar.

$\frac{4}{toplam} = \frac{2}{5}$ ise toplam $= \frac{4 \cdot 5}{2} = 10$ .
Mavi $= 10 - 4 = 6$ .

Sonuç:

6

mavi top.

Örnek

Soru

Bir zar $1200$ kez atılıyor. Üst yüze gelen sayının asal ( $2, 3, 5$ ) olmasını yaklaşık kaç kez bekleriz?

Önce bir atışta asal gelme teorik olasılığını bul, sonra $1200$ ile çarp.

Asal yüzler: $2, 3, 5$ → $s (A) = 3$ , $P = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ .
Beklenen sayı $= \frac{1}{2} \cdot 1200 = 600$ .

Sonuç: Yaklaşık

600

kez.

Sık Yapılan Hatalar

Olasılığı $1$ 'den büyük bulmak. Her olasılık $0$ ile $1$ arasındadır; $1$ 'i aşan bir sonuç hatalıdır.
Örnek uzayı eksik yazmak. İki paranın atışında $4$ sonuç vardır ( $Y T$ ile $T Y$ farklıdır); birini unutma.
Teorik ve deneysel olasılığı karıştırmak. Teorik olasılık sayımla, deneysel olasılık gözlemle (sıklık/deneme) bulunur.
Geri koymalı/koymasız ayrımını atlamak. "Geri koyarak" çekişte toplam sonuç sayısı değişmez; aksi belirtilmedikçe sorudaki koşula dikkat et.
Olasılığı sayı sanmak. Olasılık bir orandır ( $0$ – $1$ arası); "kaç kez beklenir?" sorusunda ise olasılığı deneme sayısıyla çarpıp bir sayı elde edersin. İkisini karıştırma.

Not: Teorik olasılık $\frac{istenen}{t u ¨ m}$ , deneysel olasılık $\frac{g o ¨ zlenen}{deneme}$ . Bir sonraki derste deneme sayısı arttıkça deneysel olasılığın teorik olasılığa yaklaştığını göreceğiz.

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, konuyu sınav formatında (5 şıklı) pekiştirmen için özgün biçimde hazırlanmıştır.

Çözümlü Sorular

Her soruyu önce kendin dene; takıldığında Çözüme Bak.

Soru 1Kolay

Bir madenî para

3

kez atılıyor. Bu deneyin örnek uzayının eleman sayısı

s (E)

kaçtır?

Her atışta $2$ olası sonuç (yazı/tura) vardır.
Üç atış için tüm sıralı üçlüler: $2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^{3}$ .
$s (E) = 8$ (YYY, YYT, YTY, TYY, YTT, TYT, TTY, TTT).

Sonuç:

s (E) = 8

Soru 2Kolay

1

'den

15

'e kadar numaralı kartlardan biri rastgele çekiliyor. Çekilen sayının

4

ile tam bölünebilmesi olasılığı kaçtır?

$1$ – $15$ arasında $4$ 'ün katları: $4, 8, 12$ → $s (A) = 3$ .
Örnek uzay $s (E) = 15$ .
$P (A) = \frac{3}{15} = \frac{1}{5}$ .

Sonuç:

\frac{1}{5}

Soru 3Orta

Bir oyun çarkı

250

kez çevriliyor ve

60

kez mavi bölge çıkıyor. Mavi çıkmasının deneysel olasılığı kaçtır?

Deneysel olasılık $= \frac{g o ¨ zlenme}{deneme} = \frac{60}{250}$ .
Sadeleştir: $\frac{60}{250} = \frac{6}{25} = 0, 24$ .

Sonuç:

0, 24

Soru 4Orta

Bir zar hileli olduğundan

6

gelme olasılığı

\frac{3}{8}

olarak bulunuyor. Bu zar

320

kez atılırsa yaklaşık kaç kez

6

gelmesi beklenir?

Beklenen sayı $= P \cdot n = \frac{3}{8} \cdot 320$ .
$\frac{320}{8} = 40$ , sonra $40 \cdot 3 = 120$ .

Sonuç: Yaklaşık

120

kez.

Soru 5Orta

Bir torbada

6

sarı top ve bir miktar yeşil top vardır. Rastgele bir top çekildiğinde sarı gelme olasılığı

\frac{3}{7}

olduğuna göre torbada kaç yeşil top vardır?

$\frac{sar ı}{toplam} = \frac{3}{7}$ olduğundan $\frac{6}{toplam} = \frac{3}{7}$ .
Toplam $= \frac{6 \cdot 7}{3} = 14$ .
Yeşil $= 14 - 6 = 8$ .

Sonuç:

8

yeşil top.

Soru 6Zor

Hilesiz bir zar

600

kez atılıyor. Üst yüze gelen sayının

2

'den büyük olmasını yaklaşık kaç kez bekleriz?

$2$ 'den büyük yüzler: $3, 4, 5, 6$ → $s (A) = 4$ .
Teorik olasılık $P = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ .
Beklenen sayı $= \frac{2}{3} \cdot 600 = 400$ .

Sonuç: Yaklaşık

400

kez.

0/6 soru cevaplandı

1. Örnek Uzay ve Olay

2. Teorik Olasılık

3. Deneysel (Gözleme Dayalı) Olasılık

4. Olasılıkla Tahmin

Çözümlü Örnekler

Alıştırmalar — Sıra Sende

Sık Yapılan Hatalar

Sınav Tarzı Sorular

Çözümlü Sorular

Veriden Olasılığa — diğer konular