9. Sınıf · Algoritma ve Bilişim

Mantık: Önermeler ve Niceleyiciler

~7 dk okumaZorluk: Orta6 çözümlü soru

Algoritmaların karar adımları "doğru mu, yanlış mı?" sorusuna dayanır — işte mantık bunun dilidir. Bu derste önerme kavramını, önermeleri birleştiren bağlaçları (değil, ve, veya, ise, ancak ve ancak), bunların doğruluk tablolarını ve "her / bazı" gibi niceleyicileri öğreneceğiz. Mantık, hem koşul kurmanın hem de bir akıl yürütmenin geçerli olup olmadığını denetlemenin temelidir. Bol örnek ve "Sıra Sende" alıştırmalarıyla pekiştireceğiz.

1. Önerme Kavramı

Önerme, doğru ( $1$ ) ya da yanlış ( $0$ ) olduğu kesin olarak söylenebilen yargı cümlesidir. Bir önerme aynı anda hem doğru hem yanlış olamaz.

" $5$ asal sayıdır." → önerme (doğru, $1$ ).
" $3 > 7$ " → önerme (yanlış, $0$ ).
"Bu çiçek çok güzel." → önerme değil (kişiden kişiye değişir).
"Saat kaç?" → önerme değil (soru cümlesi).

Önermeler $p, q, r$ harfleriyle gösterilir. Bir $p$ önermesinin değili $p^{'}$ (ya da $\neg p$ ), doğruluk değerini tersine çevirir.

Örnek

Soru

Aşağıdakilerden hangileri önermedir? " $2 + 2 = 5$ ", "Pencereyi aç.", " $7$ tek sayıdır."

" $2 + 2 = 5$ ": doğru/yanlış denebilir (yanlış) → önerme.
"Pencereyi aç.": emir cümlesi → önerme değil.
" $7$ tek sayıdır": doğru → önerme.

Sonuç: 1. ve 3. önermedir; 2. değildir.

2. Değil (Olumsuzlama)

$p^{'}$ önermesi, $p$ doğruysa yanlış, $p$ yanlışsa doğrudur:

$p$	$p^{'}$
$1$	$0$
$0$	$1$

Ayrıca $(p^{'})^{'} = p$ 'dir (bir önermenin değilinin değili kendisidir).

Örnek

Soru

" $p$ : 9 bir tam karedir" önermesinin değilini yazıp doğruluk değerini bulunuz.

$p$ doğrudur ( $9 = 3^{2}$ ), yani $p = 1$ .
Değili $p^{'}$ : "9 bir tam kare değildir".
$p = 1$ olduğundan $p^{'} = 0$ (yanlış).

Sonuç:

p^{'}

: "9 tam kare değildir", değeri

0

3. Ve ( $\land$ ) — Veya ( $\lor$ )

İki önerme bağlaçla birleştirilir:

Ve ( $p \land q$ ): yalnız ikisi de doğruysa doğrudur.
Veya ( $p \lor q$ ): en az biri doğruysa doğrudur; yalnız ikisi de yanlışsa yanlıştır.

$p$	$q$	$p \land q$	$p \lor q$
$1$	$1$	$1$	$1$
$1$	$0$	$0$	$1$
$0$	$1$	$0$	$1$
$0$	$0$	$0$	$0$

Örnek

Soru

$p = 1$ , $q = 0$ iken $p \land q$ ve $p \lor q$ değerlerini bulunuz.

$p \land q$ : ikisi birden doğru değil ( $q = 0$ ) → $0$ .
$p \lor q$ : en az biri doğru ( $p = 1$ ) → $1$ .

Sonuç:

p \land q = 0

p \lor q = 1

Şekil 1 — Ve (

p \land q

): taralı bölge yalnız iki dairenin ortak kısmıdır. Bir nokta hem

p

hem

q

bölgesindeyse

p \land q

doğrudur; yani ikisi de doğru olmadıkça sonuç

0

'dır.

Şekil 2 — Veya (

p \lor q

): taralı bölge iki dairenin birleşimidir. Daire bölgelerinden en az birinde olmak yeter; yalnız her iki dairenin de dışında kalan nokta (ikisi de yanlış) için

p \lor q = 0

olur.

4. İse ( $\Rightarrow$ ) — Ancak ve Ancak ( $\Leftrightarrow$ )

Koşullu ( $p \Rightarrow q$ , " $p$ ise $q$ "): yalnız $p$ doğru, $q$ yanlış iken yanlıştır; diğer tüm durumlarda doğrudur.
İki yönlü ( $p \Leftrightarrow q$ , " $p$ ancak ve ancak $q$ "): iki önermenin doğruluk değerleri aynıysa doğrudur.

$p$	$q$	$p \Rightarrow q$	$p \Leftrightarrow q$
$1$	$1$	$1$	$1$
$1$	$0$	$0$	$0$
$0$	$1$	$1$	$0$
$0$	$0$	$1$	$1$

Örnek

Soru

"Yağmur yağarsa ( $p$ ) yerler ıslanır ( $q$ )" önermesi $p = 0$ (yağmur yağmadı) iken $p \Rightarrow q$ ne olur?

Koşullu önerme yalnız $p$ doğru ve $q$ yanlışken yanlıştır. $p$ yanlışsa önerme her durumda doğru kabul edilir.

$p = 0$ (öncül yanlış).
Tabloya göre $p = 0$ olan satırlarda $p \Rightarrow q$ daima $1$ 'dir.

Sonuç:

p \Rightarrow q = 1

(doğru).

5. Niceleyiciler: Her ( $\forall$ ) ve Bazı ( $\exists$ )

Bir özelliğin kaç eleman için geçerli olduğunu niceleyiciler belirtir:

Evrensel ( $\forall$ , "her"): özellik bütün elemanlar için geçerli.
Varlıksal ( $\exists$ , "bazı / en az bir"): özellik en az bir eleman için geçerli.

Değil alındığında niceleyici yer değiştirir: "her ... doğru"nun değili "bazı ... yanlış"tır.

Örnek

Soru

"Her doğal sayı çifttir" önermesinin doğruluk değerini bulup değilini yazınız.

Önerme: $\forall$ doğal sayı çift. Bu yanlıştır çünkü $3$ tektir (bir karşıt örnek yeter).
Değili: "Bazı doğal sayılar çift değildir" — bu doğrudur.

Sonuç: Önerme yanlış (

0

); değili "bazı doğal sayılar tektir" (doğru).

Çözümlü Örnekler

Örnek

Soru

$p = 0$ , $q = 1$ iken $p^{'} \lor q$ değerini bulunuz.

$p^{'} = 1$ ( $p = 0$ 'ın değili).
$p^{'} \lor q = 1 \lor 1 = 1$ .

Sonuç:

1

Örnek

Soru

$p = 1$ , $q = 1$ iken $(p \land q) \Rightarrow p^{'}$ değerini bulunuz.

$p \land q = 1 \land 1 = 1$ .
$p^{'} = 0$ .
$1 \Rightarrow 0$ : öncül doğru, sonuç yanlış → $0$ .

Sonuç:

0

Örnek

Soru

" $x > 2$ ise $x > 0$ 'dır" önermesi her gerçek $x$ için doğru mudur?

$x > 2$ olan her sayı zaten $0$ 'dan büyüktür.
Öncül doğruyken sonuç da daima doğru; öncül yanlışken önerme zaten doğru kabul edilir.

Sonuç: Evet, her

x

için doğrudur.

Örnek

Soru

"Bazı asal sayılar çifttir" önermesinin doğruluk değerini bulunuz.

En az bir örnek yeterli: $2$ hem asal hem çifttir.

Sonuç: Doğru (

1

Alıştırmalar — Sıra Sende

Önce kendin çözmeyi dene; sonra çözümü açıp karşılaştır.

Örnek

Soru

" $10$ , $3$ ile tam bölünür" önermesinin doğruluk değeri ve değili nedir?

$10$ , $3$ 'e tam bölünmez → önerme $0$ (yanlış).
Değili: " $10$ , $3$ ile tam bölünmez" → $1$ (doğru).

Sonuç: Önerme

0

; değili doğru.

Örnek

Soru

$p = 1$ , $q = 0$ iken $p \land q^{'}$ değerini bul.

$q^{'} = 1$ .
$p \land q^{'} = 1 \land 1 = 1$ .

Sonuç:

1

Örnek

Soru

$p = 0$ , $q = 0$ iken $p \Rightarrow q$ değerini bul.

Öncül $p = 0$ olduğundan koşullu önerme doğrudur.

Sonuç:

1

Örnek

Soru

"Her üçgenin iç açıları toplamı $180°$ 'dir" önermesinin niceleyicisi ve doğruluk değeri nedir?

Niceleyici "her" → evrensel ( $\forall$ ).
Bu, bütün üçgenler için geçerlidir → doğru.

Sonuç: Evrensel niceleyici; önerme doğru (

1

Örnek

Soru

"Bütün kuşlar uçar" önermesinin değilini yaz.

"Her" → değili "bazı ... değil".

Sonuç: "Bazı kuşlar uçmaz."

Örnek

Soru

$p = 1$ , $q = 0$ , $r = 1$ iken $(p \land q^{'}) \lor r$ değerini bul.

İçteki değili al: $q^{'} = 1$ .
$p \land q^{'} = 1 \land 1 = 1$ .
$(p \land q^{'}) \lor r = 1 \lor 1 = 1$ .

Sonuç:

1

Örnek

Soru

$p \Rightarrow q$ koşullu önermesi yalnız hangi $p, q$ değerlerinde yanlıştır? Buna dayanarak $p = 1$ , $q = 0$ iken $(p \Rightarrow q)^{'}$ değerini bul.

$p \Rightarrow q$ yalnız $p = 1$ ve $q = 0$ iken $0$ 'dır; diğer üç durumda $1$ 'dir.
Verilen değerler tam bu durum: $p \Rightarrow q = 0$ .
Değilini al: $(p \Rightarrow q)^{'} = 1$ .

Sonuç:

p = 1, q = 0

iken yanlıştır; istenen değer

1

Örnek

Soru

$p \lor p^{'}$ bileşik önermesi her $p$ için aynı değeri mi alır? Doğruluk tablosu kurarak gösterin. (Böyle hep $1$ olan önermelere totoloji denir.)

$p$ için iki olası satır var: $p = 1$ ve $p = 0$ . Her satırda önce $p^{'}$ , sonra $p \lor p^{'}$ değerini yaz.

$p = 1$ satırı: $p^{'} = 0$ , $p \lor p^{'} = 1 \lor 0 = 1$ .
$p = 0$ satırı: $p^{'} = 1$ , $p \lor p^{'} = 0 \lor 1 = 1$ .
Her iki satırda da sonuç $1$ çıktı.

Sonuç: Evet,

p \lor p^{'}

daima

1

'dir; bir totolojidir.

Örnek

Soru

De Morgan kuralıyla $(p \lor q)^{'}$ ifadesini $p^{'}$ ve $q^{'}$ cinsinden yaz; sonra $p = 1$ , $q = 0$ için her iki tarafın da aynı değeri verdiğini doğrula.

De Morgan: bir bileşik önermenin değili alınırken $\lor$ ile $\land$ yer değiştirir ve her parçanın değili alınır. Yani $(p \lor q)^{'} = p^{'} \land q^{'}$ .

Kural: $(p \lor q)^{'} = p^{'} \land q^{'}$ .
Sol taraf: $p \lor q = 1 \lor 0 = 1$ , değili $(p \lor q)^{'} = 0$ .
Sağ taraf: $p^{'} = 0$ , $q^{'} = 1$ , $p^{'} \land q^{'} = 0 \land 1 = 0$ .
İki taraf da $0$ ; eşitlik doğrulandı.

Sonuç:

(p \lor q)^{'} = p^{'} \land q^{'}

; verilen değerlerde her iki taraf

0

Sık Yapılan Hatalar

Her cümleyi önerme sanmak. Soru, emir ve görüş cümleleri önerme değildir; doğru/yanlış denebilmesi gerekir.
"Ve" ile "veya"yı karıştırmak. $p \land q$ ikisi de doğruyken, $p \lor q$ en az biri doğruyken doğrudur.
$p \Rightarrow q$ 'yu öncül yanlışken yanlış sanmak. Öncül ( $p$ ) yanlışsa koşullu önerme daima doğrudur.
Niceleyicinin değilini almada yön şaşırmak. "Her" → "bazı ... değil"; "bazı" → "hiçbiri / her ... değil".
Değili daireye dağıtırken bağlacı değiştirmemek. De Morgan'a göre $(p \land q)^{'} = p^{'} \lor q^{'}$ ve $(p \lor q)^{'} = p^{'} \land q^{'}$ ; değil alınınca $\land$ ile $\lor$ yer değiştirir. $(p \land q)^{'} = p^{'} \land q^{'}$ yazmak yanlıştır.

Not: Bir bileşik önermenin değerini bulmanın güvenli yolu doğruluk tablosu kurmaktır: içteki ifadeleri ( $p^{'}$ , $p \land q$ gibi) tek tek hesapla, dıştakini en son birleştir.

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, konuyu sınav formatında (5 şıklı) pekiştirmen için özgün biçimde hazırlanmıştır.

Çözümlü Sorular

Her soruyu önce kendin dene; takıldığında Çözüme Bak.

Soru 1Kolay

Aşağıdaki cümlelerden hangisi bir önerme **değildir**?

Bir önerme, doğru ( $1$ ) ya da yanlış ( $0$ ) olduğu kesin söylenebilen yargı cümlesidir.
$12$ asal sayıdır: yanlış ( $12$ asal değildir) ama doğruluk değeri belirlidir, yani önermedir.
Kapıyı kapat: emir cümlesidir; doğru/yanlış denemez, önerme değildir.
$4^{2} = 16$ doğru, $- 3 < 0$ doğru, $0$ çift sayıdır doğru; hepsi önermedir.
Dolayısıyla önerme olmayan tek cümle emir cümlesidir.

Sonuç: Emir cümlesi olan "Kapıyı kapat." önerme değildir. Doğru seçenek B.

Soru 2Kolay

p = 1

q = 0

iken

p^{'} \lor q

bileşik önermesinin doğruluk değeri kaçtır?

Önce içteki değili al: $p = 1$ olduğundan $p^{'} = 0$ .
$q = 0$ verilmiştir.
$p^{'} \lor q = 0 \lor 0$ . Veya bağlacı en az biri doğruysa doğrudur; burada ikisi de $0$ olduğundan sonuç $0$ 'dır.

Sonuç:

p^{'} \lor q = 0

. Doğru seçenek A.

Soru 3Orta

p = 0

q = 1

r = 0

iken

(p \Rightarrow q) \land (r \lor p^{'})

bileşik önermesinin doğruluk değeri kaçtır?

$p \Rightarrow q$ : öncül $p = 0$ olduğundan koşullu önerme daima doğrudur, yani $1$ .
$p^{'} = 1$ ( $p = 0$ 'ın değili), $r = 0$ olduğundan $r \lor p^{'} = 0 \lor 1 = 1$ .
İki parçayı ve ile birleştir: $(p \Rightarrow q) \land (r \lor p^{'}) = 1 \land 1 = 1$ .

Sonuç: İfadenin değeri

1

'dir. Doğru seçenek C.

Soru 4Orta

"Her öğrenci matematik sever." önermesinin değili aşağıdakilerden hangisidir?

Evrensel niceleyicinin (her) değili alınınca varlıksal niceleyiciye (bazı) döner ve yüklem olumsuzlanır.
Kural: "her ... doğru"nun değili "bazı ... değil"dir.
Yani "Her öğrenci matematik sever" önermesinin değili "Bazı öğrenciler matematik sevmez"dir.
"Hiçbir öğrenci sevmez" ifadesi değil değil, daha güçlü bir olumsuzlamadır; doğru cevap değildir.

Sonuç: Değili "Bazı öğrenciler matematik sevmez." ifadesidir. Doğru seçenek D.

Soru 5Orta

De Morgan kuralına göre

(p \land q^{'})^{'}

ifadesinin

p^{'}

q

cinsinden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

De Morgan: $(p \land q^{'})^{'} = p^{'} \lor (q^{'})^{'}$ . Değil alınınca $\land$ ile $\lor$ yer değiştirir ve her parçanın değili alınır.
$(q^{'})^{'} = q$ (bir önermenin değilinin değili kendisidir).
Böylece $(p \land q^{'})^{'} = p^{'} \lor q$ elde edilir.

Sonuç:

(p \land q^{'})^{'} = p^{'} \lor q

. Doğru seçenek E.

Soru 6Zor

Bir öğrenci "Sınavı geçersem sinemaya giderim." diyor. Burada

p

: "Sınavı geçtim",

q

: "Sinemaya gittim" önermeleridir. Öğrencinin bu sözünün (

p \Rightarrow q

) **yalan** (yanlış) olduğu durum aşağıdakilerden hangisidir?

Koşullu önerme $p \Rightarrow q$ yalnızca öncül doğru ( $p = 1$ ) ve sonuç yanlış ( $q = 0$ ) iken yanlıştır; diğer tüm durumlarda doğrudur.
Sözün yalan olması, öğrencinin sınavı geçmesine ( $p = 1$ ) rağmen sinemaya gitmemesi ( $q = 0$ ) demektir.
Geçti ve gitti: $1 \Rightarrow 1 = 1$ (doğru). Geçemedi ama gitti: $0 \Rightarrow 1 = 1$ (doğru). Geçemedi ve gitmedi: $0 \Rightarrow 0 = 1$ (doğru).
Yalnız "geçti ama gitmedi" durumu $1 \Rightarrow 0 = 0$ olduğundan sözü yalan yapar.

Sonuç: Söz yalnız "Sınavı geçti ama sinemaya gitmedi." durumunda yalandır. Doğru seçenek B.

0/6 soru cevaplandı

1. Önerme Kavramı

2. Değil (Olumsuzlama)

3. Ve (∧) — Veya (∨)

4. İse (⇒) — Ancak ve Ancak (⇔)

5. Niceleyiciler: Her (∀) ve Bazı (∃)

Çözümlü Örnekler

Alıştırmalar — Sıra Sende

Sık Yapılan Hatalar

Sınav Tarzı Sorular

Çözümlü Sorular

Algoritma ve Bilişim — diğer konular

3. Ve ( $\land$ ) — Veya ( $\lor$ )

4. İse ( $\Rightarrow$ ) — Ancak ve Ancak ( $\Leftrightarrow$ )

5. Niceleyiciler: Her ( $\forall$ ) ve Bazı ( $\exists$ )