11. Sınıf · Analitik Geometri

İki Nokta Arası Uzaklık ve Doğru

~7 dk okumaZorluk: Orta4 çözümlü soru

Analitik geometri, şekilleri sayılarla inceler: her noktaya bir $(x, y)$ koordinat çifti karşılık gelir. Bu derste koordinat düzleminde iki nokta arası uzaklığı, bir doğru parçasının orta noktasını, bir doğrunun eğimini ve denklemini öğreneceğiz. Tüm bunların temelinde tek bir fikir vardır: Pisagor teoremi koordinatlara taşınınca uzaklık formülüne dönüşür. Bol şekil, örnek ve "Sıra Sende" alıştırmalarıyla pekiştireceğiz.

1. İki Nokta Arası Uzaklık

Koordinat düzleminde $A (x_{1}, y_{1})$ ve $B (x_{2}, y_{2})$ noktaları arasındaki uzaklık, yatay fark $∣ x_{2} - x_{1} ∣$ ile dikey fark $∣ y_{2} - y_{1} ∣$ 'in oluşturduğu dik üçgenin hipotenüsüdür. Pisagor'dan:

$∣ A B ∣ = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}$

Farkların karesi alındığı için hangi noktayı önce yazdığın sonucu değiştirmez.

Şekil 1 —

A (1, 2)

B (4, 6)

noktaları. Yatay fark

4 - 1 = 3

, dikey fark

6 - 2 = 4

; uzaklık bu farkların oluşturduğu dik üçgenin hipotenüsü, yani

3^{2} + 4^{2} = 5

'tir.

Örnek

Soru

$A (1, 2)$ ve $B (4, 6)$ noktaları arasındaki uzaklığı bulunuz.

Farkları al: $x_{2} - x_{1} = 4 - 1 = 3$ , $y_{2} - y_{1} = 6 - 2 = 4$ .
Formülde yerine koy: $∣ A B ∣ = 3^{2} + 4^{2} = 9 + 16 = 25$ .
$25 = 5$ .

Sonuç:

∣ A B ∣ = 5

Örnek

Soru

$A (- 2, 3)$ ve $B (4, - 5)$ noktaları arasındaki uzaklığı bulunuz.

Negatif koordinatlarda farkı dikkatli al: $4 - (- 2) = 6$ ve $- 5 - 3 = - 8$ . Karesini alınca işaret kaybolur.

Farklar: $x_{2} - x_{1} = 4 - (- 2) = 6$ , $y_{2} - y_{1} = - 5 - 3 = - 8$ .
$∣ A B ∣ = 6^{2} + (- 8)^{2} = 36 + 64 = 100$ .
$100 = 10$ .

Sonuç:

∣ A B ∣ = 10

2. Orta Nokta

$A (x_{1}, y_{1})$ ile $B (x_{2}, y_{2})$ noktalarını birleştiren doğru parçasının orta noktası $M$ , koordinatların ortalamasıdır:

$M = (\frac{x _{1} + x _{2}}{2}, \frac{y _{1} + y _{2}}{2})$

Orta nokta, parçayı iki eşit uzunlukta parçaya böler: $∣ A M ∣ = ∣ M B ∣$ .

Örnek

Soru

$A (- 1, 4)$ ve $B (5, 2)$ noktalarını birleştiren parçanın orta noktasını bulunuz.

$x$ koordinatı: $\frac{- 1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2$ .
$y$ koordinatı: $\frac{4 + 2}{2} = \frac{6}{2} = 3$ .

Sonuç:

M (2, 3)

Örnek

Soru

Bir doğru parçasının bir ucu $A (2, - 3)$ ve orta noktası $M (5, 1)$ 'dir. Diğer uç $B$ 'yi bulunuz.

Orta nokta formülünü tersten kullan: $\frac{x _{1} + x _{2}}{2} = 5$ olduğundan $x_{2} = 2 \cdot 5 - x_{1}$ . Aynısını $y$ için yap.

$x$ için: $\frac{2 + x _{2}}{2} = 5 \Rightarrow 2 + x_{2} = 10 \Rightarrow x_{2} = 8$ .
$y$ için: $\frac{- 3 + y _{2}}{2} = 1 \Rightarrow - 3 + y_{2} = 2 \Rightarrow y_{2} = 5$ .

Sonuç:

B (8, 5)

3. Bir Doğrunun Eğimi

Bir doğrunun eğimi $m$ , üzerindeki iki nokta arasında dikey değişimin yatay değişime oranıdır:

$m = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}} = \frac{Δ y}{Δ x} (x_{1} \neq = x_{2})$

Eğim, doğrunun "ne kadar dik" olduğunu söyler: pozitifse doğru sağa doğru yükselir, negatifse alçalır. Yatay doğrunun eğimi $0$ , dikey doğrunun eğimi tanımsızdır.

Şekil 2 —

A (1, 2)

B (4, 8)

noktalarından geçen doğru. Yatay artış

Δ x = 3

, dikey artış

Δ y = 6

; eğim

m = \frac{6}{3} = 2

. Yani

x

bir birim artarken

y

iki birim artar.

Örnek

Soru

$A (1, 2)$ ve $B (4, 8)$ noktalarından geçen doğrunun eğimini bulunuz.

Farklar: $Δ y = 8 - 2 = 6$ , $Δ x = 4 - 1 = 3$ .
Eğim: $m = \frac{6}{3} = 2$ .

Sonuç:

m = 2

Örnek

Soru

$A (- 3, 5)$ ve $B (2, - 5)$ noktalarından geçen doğrunun eğimini bulunuz.

$Δ y = - 5 - 5 = - 10$ , $Δ x = 2 - (- 3) = 5$ .
$m = \frac{- 10}{5} = - 2$ (eğim negatif: doğru alçalan).

Sonuç:

m = - 2

4. Doğru Denklemi

Bir doğrunun denklemini, eğimi ve üzerindeki bir noktayı kullanarak yazabiliriz. Eğimi $m$ olan ve $(x_{0}, y_{0})$ noktasından geçen doğru:

$y - y_{0} = m (x - x_{0})$

Bu denklemi düzenleyince eğim-kesişim biçimi elde edilir:

$y = m x + n$

Burada $m$ eğim, $n$ ise doğrunun $y$ eksenini kestiği noktanın ordinatıdır (yani $x = 0$ için $y = n$ ).

Örnek

Soru

Eğimi $3$ olan ve $(2, 1)$ noktasından geçen doğrunun denklemini $y = m x + n$ biçiminde yazınız.

Nokta-eğim biçimi: $y - 1 = 3 (x - 2)$ .
Dağıt: $y - 1 = 3 x - 6$ .
Yalnız bırak: $y = 3 x - 5$ .

Sonuç:

y = 3 x - 5

Örnek

Soru

$A (1, 3)$ ve $B (3, 7)$ noktalarından geçen doğrunun denklemini bulunuz.

Önce iki noktadan eğimi bul; sonra noktalardan birini nokta-eğim biçiminde kullan.

Eğim: $m = \frac{7 - 3}{3 - 1} = \frac{4}{2} = 2$ .
$A (1, 3)$ ile nokta-eğim: $y - 3 = 2 (x - 1)$ .
Düzenle: $y - 3 = 2 x - 2 \Rightarrow y = 2 x + 1$ .

Sonuç:

y = 2 x + 1

Çözümlü Örnekler

Örnek

Soru

$A (0, 0)$ orijini ile $B (- 6, 8)$ noktası arasındaki uzaklığı bulunuz.

Farklar: $Δ x = - 6 - 0 = - 6$ , $Δ y = 8 - 0 = 8$ .
$∣ A B ∣ = (- 6)^{2} + 8^{2} = 36 + 64 = 100 = 10$ .

Sonuç:

∣ A B ∣ = 10

Örnek

Soru

$y = 2 x - 4$ doğrusunun eğimini ve $y$ eksenini kestiği noktayı yazınız.

Denklem $y = m x + n$ biçiminde: $m = 2$ , $n = - 4$ .
Eğim $2$ ; $y$ eksenini kestiği nokta $x = 0$ için $y = - 4$ , yani $(0, - 4)$ .

Sonuç: Eğim

2

, kesişim noktası

(0, - 4)

Örnek

Soru

$A (2, k)$ ve $B (6, 1)$ noktaları arasındaki uzaklık $5$ ise $k$ 'nin pozitif değerini bulunuz.

Uzaklık formülünü kur, iki tarafın karesini al: $(6 - 2)^{2} + (1 - k)^{2} = 5^{2}$ .

Formül: $(6 - 2)^{2} + (1 - k)^{2} = 5$ .
Karesini al: $16 + (1 - k)^{2} = 25 \Rightarrow (1 - k)^{2} = 9$ .
Kök al: $1 - k = \pm 3$ , yani $k = - 2$ veya $k = 4$ .
Pozitif değer istendi: $k = 4$ .

Sonuç:

k = 4

Örnek

Soru

$A (- 2, 1)$ ile $B (4, 9)$ noktalarını birleştiren parçanın orta noktasından geçen ve eğimi $\frac{1}{2}$ olan doğrunun denklemini bulunuz.

Önce orta noktayı bul; sonra verilen eğimle nokta-eğim biçimini yaz.

Orta nokta: $M = (\frac{- 2 + 4}{2}, \frac{1 + 9}{2}) = (1, 5)$ .
Nokta-eğim: $y - 5 = \frac{1}{2} (x - 1)$ .
Düzenle: $y - 5 = \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \Rightarrow y = \frac{1}{2} x + \frac{9}{2}$ .

Sonuç:

y = \frac{1}{2} x + \frac{9}{2}

Alıştırmalar — Sıra Sende

Önce kendin çözmeyi dene; sonra çözümü açıp karşılaştır.

Örnek

Soru

$A (2, 1)$ ve $B (5, 5)$ noktaları arasındaki uzaklığı bul.

$Δ x = 3$ , $Δ y = 4$ .
$∣ A B ∣ = 3^{2} + 4^{2} = 25 = 5$ .

Sonuç:

5

Örnek

Soru

$A (- 3, - 1)$ ve $B (1, 2)$ noktaları arasındaki uzaklığı bul.

$Δ x = 1 - (- 3) = 4$ , $Δ y = 2 - (- 1) = 3$ .
$∣ A B ∣ = 4^{2} + 3^{2} = 25 = 5$ .

Sonuç:

5

Örnek

Soru

$A (- 4, 2)$ ve $B (6, - 4)$ noktalarını birleştiren parçanın orta noktasını bul.

$x$ : $\frac{- 4 + 6}{2} = 1$ .
$y$ : $\frac{2 + ( - 4 )}{2} = - 1$ .

Sonuç:

M (1, - 1)

Örnek

Soru

$A (0, 4)$ ve $B (8, 0)$ noktalarından geçen doğrunun eğimini bul.

$Δ y = 0 - 4 = - 4$ , $Δ x = 8 - 0 = 8$ .
$m = \frac{- 4}{8} = - \frac{1}{2}$ .

Sonuç:

- \frac{1}{2}

Örnek

Soru

Eğimi $- 2$ olan ve $(1, 4)$ noktasından geçen doğrunun denklemini $y = m x + n$ biçiminde yaz.

Nokta-eğim: $y - 4 = - 2 (x - 1)$ .
Düzenle: $y - 4 = - 2 x + 2 \Rightarrow y = - 2 x + 6$ .

Sonuç:

y = - 2 x + 6

Örnek

Soru

$A (- 1, 2)$ ve $B (3, 10)$ noktalarından geçen doğrunun denklemini bul.

Eğim: $m = \frac{10 - 2}{3 - ( - 1 )} = \frac{8}{4} = 2$ .
$A (- 1, 2)$ ile: $y - 2 = 2 (x + 1) \Rightarrow y = 2 x + 4$ .

Sonuç:

y = 2 x + 4

Örnek

Soru

$A (1, k)$ ve $B (4, 2)$ noktalarından geçen doğrunun eğimi $- 1$ ise $k$ kaçtır?

Eğim formülünü kur: $\frac{2 - k}{4 - 1} = - 1$ .

Eğim formülü: $\frac{2 - k}{4 - 1} = - 1$ .
$\frac{2 - k}{3} = - 1 \Rightarrow 2 - k = - 3$ .
$- k = - 5 \Rightarrow k = 5$ .

Sonuç:

k = 5

Örnek

Soru

$A (1, 2)$ , $B (5, 4)$ ve $C (3, k)$ noktaları aynı doğru üzerinde (doğrusal) ise $k$ kaçtır?

Üç nokta doğrusalsa $A B$ ile $A C$ doğrularının eğimleri eşittir; eğimleri eşitle.

$A B$ eğimi: $\frac{4 - 2}{5 - 1} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ .
$A C$ eğimi: $\frac{k - 2}{3 - 1} = \frac{k - 2}{2}$ .
Eşitle: $\frac{k - 2}{2} = \frac{1}{2} \Rightarrow k - 2 = 1 \Rightarrow k = 3$ .

Sonuç:

k = 3

Örnek

Soru

$A (- 2, 3)$ ve $B (4, 3)$ ve $C (4, - 5)$ köşeli üçgenin çevre uzunluğunu bulunuz.

Üç kenarın uzunluğunu ayrı ayrı uzaklık formülüyle bul; iki kenar eksenlere paralel olduğundan kısayoldan da hesaplanabilir.

$∣ A B ∣ = (4 - (- 2))^{2} + (3 - 3)^{2} = 36 = 6$ (yatay kenar).
$∣ B C ∣ = (4 - 4)^{2} + (- 5 - 3)^{2} = 64 = 8$ (dikey kenar).
$∣ A C ∣ = (4 - (- 2))^{2} + (- 5 - 3)^{2} = 36 + 64 = 100 = 10$ .
Çevre: $6 + 8 + 10 = 24$ .

Sonuç:

24

Örnek

Soru

$A (1, 1)$ ve $B (7, 3)$ noktaları bir karenin köşegeninin uçlarıdır. Köşegenin orta noktasını ve uzunluğunu bulunuz.

Köşegenin orta noktası karenin merkezidir; uzunluk için yine uzaklık formülünü kullan.

Orta nokta (merkez): $M = (\frac{1 + 7}{2}, \frac{1 + 3}{2}) = (4, 2)$ .
Köşegen uzunluğu: $∣ A B ∣ = (7 - 1)^{2} + (3 - 1)^{2} = 36 + 4 = 40 = 210$ .

Sonuç: Merkez

M (4, 2)

, köşegen

210

Sık Yapılan Hatalar

Uzaklık formülünde farkları toplamak. Doğrusu farkların karelerini toplamaktır: $(Δ x)^{2} + (Δ y)^{2}$ , $Δ x + Δ y$ değil.
Orta nokta yerine fark almak. Orta nokta koordinatların ortalamasıdır (toplamın yarısı); çıkarma değildir.
Eğimde pay-paydayı ters yazmak. Eğim $\frac{Δ y}{Δ x}$ 'tir, $\frac{Δ x}{Δ y}$ değil. İki noktada $y$ farkı üste, $x$ farkı alta gelir.
Negatif koordinatta işaret hatası. $x_{2} - x_{1} = 4 - (- 2)$ gibi farklarda çift negatifi unutma: $4 - (- 2) = 6$ .

Not: Bu üç formülün de kalbi Pisagor ve oran fikridir. Bir problemde "uzaklık" geçiyorsa farkların karesini, "orta nokta" geçiyorsa ortalamayı, "eğim" geçiyorsa $\frac{Δ y}{Δ x}$ 'i refleks olarak yaz. Doğru denklemi için ya nokta-eğimden ( $y - y_{0} = m (x - x_{0})$ ) başla ya da eğim-kesişim ( $y = m x + n$ ) biçimini doldur.

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, konuyu sınav formatında (5 şıklı) pekiştirmen için özgün biçimde hazırlanmıştır.

Çözümlü Sorular

Her soruyu önce kendin dene; takıldığında Çözüme Bak.

Soru 1Kolay

A (- 1, - 3)

B (3, 0)

noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir?

Yatay fark: $Δ x = 3 - (- 1) = 4$ .
Dikey fark: $Δ y = 0 - (- 3) = 3$ .
Uzaklık formülü: $∣ A B ∣ = (Δ x)^{2} + (Δ y)^{2} = 4^{2} + 3^{2}$ .
$∣ A B ∣ = 16 + 9 = 25 = 5$ .

Sonuç:

∣ A B ∣ = 5

(A).

Soru 2Orta

Bir doğru parçasının bir ucu

A (- 4, 2)

, orta noktası ise

M (1, - 1)

'dir. Diğer uç

B

noktasının koordinatları nedir?

Orta nokta formülünü tersten kullan: $\frac{x _{1} + x _{2}}{2} = 1$ ve $\frac{y _{1} + y _{2}}{2} = - 1$ .
$x$ için: $\frac{- 4 + x _{2}}{2} = 1 \Rightarrow - 4 + x_{2} = 2 \Rightarrow x_{2} = 6$ .
$y$ için: $\frac{2 + y _{2}}{2} = - 1 \Rightarrow 2 + y_{2} = - 2 \Rightarrow y_{2} = - 4$ .
Diğer uç: $B (6, - 4)$ .

Sonuç:

B (6, - 4)

(A).

Soru 3Orta

Bir keşif uçağı, radar ekranında orijine yerleştirilen üste göre

A (8, 15)

noktasında görünmektedir. Ekrandaki her birim

1

km'yi temsil ettiğine göre, uçağın üsse olan uzaklığı kaç km'dir?

Üs orijinde: $O (0, 0)$ , uçak $A (8, 15)$ .
Farklar: $Δ x = 8 - 0 = 8$ , $Δ y = 15 - 0 = 15$ .
Uzaklık: $∣ O A ∣ = 8^{2} + 1 5^{2} = 64 + 225 = 289$ .
$289 = 17$ , yani $17$ km.

Sonuç:

17

km (C).

Soru 4Zor

A (1, 2)

B (x, 6)

noktaları arasındaki uzaklık

5

birimdir.

x

'in alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?

Uzaklık formülü: $(x - 1)^{2} + (6 - 2)^{2} = 5$ .
Karesini al: $(x - 1)^{2} + 16 = 25 \Rightarrow (x - 1)^{2} = 9$ .
Kök al: $x - 1 = \pm 3$ , yani $x = 4$ veya $x = - 2$ .
Değerlerin toplamı: $4 + (- 2) = 2$ .

Sonuç: Toplam

= 2

(D).

0/4 soru cevaplandı

1. İki Nokta Arası Uzaklık

2. Orta Nokta

3. Bir Doğrunun Eğimi

4. Doğru Denklemi

Çözümlü Örnekler

Alıştırmalar — Sıra Sende

Sık Yapılan Hatalar

Sınav Tarzı Sorular

Çözümlü Sorular

Analitik Geometri — diğer konular