11. Sınıf · Analitik Geometri

İki Nokta Arası Uzaklık ve Doğru

~7 dk okumaZorluk: Orta22 çözümlü soru

Analitik geometri, şekilleri sayılarla inceler: her noktaya bir $(x,y)$ koordinat çifti karşılık gelir. Bu derste koordinat düzleminde iki nokta arası uzaklığı, bir doğru parçasının orta noktasını, bir doğrunun eğimini ve denklemini öğreneceğiz. Tüm bunların temelinde tek bir fikir vardır: Pisagor teoremi koordinatlara taşınınca uzaklık formülüne dönüşür. Bol şekil, örnek ve "Sıra Sende" alıştırmalarıyla pekiştireceğiz.

1. İki Nokta Arası Uzaklık

Koordinat düzleminde $A(x_1,y_1)$ ve $B(x_2,y_2)$ noktaları arasındaki uzaklık, yatay fark $|x_2-x_1|$ ile dikey fark $|y_2-y_1|$ 'in oluşturduğu dik üçgenin hipotenüsüdür. Pisagor'dan:

$|AB|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$

Farkların karesi alındığı için hangi noktayı önce yazdığın sonucu değiştirmez.

Şekil 1 —

A(1,2)

B(4,6)

noktaları. Yatay fark

4-1=3

, dikey fark

6-2=4

; uzaklık bu farkların oluşturduğu dik üçgenin hipotenüsü, yani

\sqrt{3^2+4^2}=5

'tir.

Örnek

Soru

$A(1,2)$ ve $B(4,6)$ noktaları arasındaki uzaklığı bulunuz.

Farkları al: $x_2-x_1=4-1=3$ , $\;y_2-y_1=6-2=4$ .
Formülde yerine koy: $|AB|=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}$ .
$\sqrt{25}=5$ .

Sonuç:

|AB|=5

Örnek

Soru

$A(-2,3)$ ve $B(4,-5)$ noktaları arasındaki uzaklığı bulunuz.

Negatif koordinatlarda farkı dikkatli al: $4-(-2)=6$ ve $-5-3=-8$ . Karesini alınca işaret kaybolur.

Farklar: $x_2-x_1=4-(-2)=6$ , $\;y_2-y_1=-5-3=-8$ .
$|AB|=\sqrt{6^2+(-8)^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}$ .
$\sqrt{100}=10$ .

Sonuç:

|AB|=10

2. Orta Nokta

$A(x_1,y_1)$ ile $B(x_2,y_2)$ noktalarını birleştiren doğru parçasının orta noktası $M$ , koordinatların ortalamasıdır:

$M=\left(\dfrac{x_1+x_2}{2},\ \dfrac{y_1+y_2}{2}\right)$

Orta nokta, parçayı iki eşit uzunlukta parçaya böler: $|AM|=|MB|$ .

Örnek

Soru

$A(-1,4)$ ve $B(5,2)$ noktalarını birleştiren parçanın orta noktasını bulunuz.

$x$ koordinatı: $\dfrac{-1+5}{2}=\dfrac{4}{2}=2$ .
$y$ koordinatı: $\dfrac{4+2}{2}=\dfrac{6}{2}=3$ .

Sonuç:

M(2,3)

Örnek

Soru

Bir doğru parçasının bir ucu $A(2,-3)$ ve orta noktası $M(5,1)$ 'dir. Diğer uç $B$ 'yi bulunuz.

Orta nokta formülünü tersten kullan: $\dfrac{x_1+x_2}{2}=5$ olduğundan $x_2=2\cdot 5-x_1$ . Aynısını $y$ için yap.

$x$ için: $\dfrac{2+x_2}{2}=5\Rightarrow 2+x_2=10\Rightarrow x_2=8$ .
$y$ için: $\dfrac{-3+y_2}{2}=1\Rightarrow -3+y_2=2\Rightarrow y_2=5$ .

Sonuç:

B(8,5)

3. Bir Doğrunun Eğimi

Bir doğrunun eğimi $m$ , üzerindeki iki nokta arasında dikey değişimin yatay değişime oranıdır:

$m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\quad (x_1\ne x_2)$

Eğim, doğrunun "ne kadar dik" olduğunu söyler: pozitifse doğru sağa doğru yükselir, negatifse alçalır. Yatay doğrunun eğimi $0$ , dikey doğrunun eğimi tanımsızdır.

Şekil 2 —

A(1,2)

B(4,8)

noktalarından geçen doğru. Yatay artış

\Delta x=3

, dikey artış

\Delta y=6

; eğim

m=\dfrac{6}{3}=2

. Yani

x

bir birim artarken

y

iki birim artar.

Örnek

Soru

$A(1,2)$ ve $B(4,8)$ noktalarından geçen doğrunun eğimini bulunuz.

Farklar: $\Delta y=8-2=6$ , $\;\Delta x=4-1=3$ .
Eğim: $m=\dfrac{6}{3}=2$ .

Sonuç:

m=2

Örnek

Soru

$A(-3,5)$ ve $B(2,-5)$ noktalarından geçen doğrunun eğimini bulunuz.

$\Delta y=-5-5=-10$ , $\;\Delta x=2-(-3)=5$ .
$m=\dfrac{-10}{5}=-2$ (eğim negatif: doğru alçalan).

Sonuç:

m=-2

4. Doğru Denklemi

Bir doğrunun denklemini, eğimi ve üzerindeki bir noktayı kullanarak yazabiliriz. Eğimi $m$ olan ve $(x_0,y_0)$ noktasından geçen doğru:

$y-y_0=m(x-x_0)$

Bu denklemi düzenleyince eğim-kesişim biçimi elde edilir:

$y=mx+n$

Burada $m$ eğim, $n$ ise doğrunun $y$ eksenini kestiği noktanın ordinatıdır (yani $x=0$ için $y=n$ ).

Örnek

Soru

Eğimi $3$ olan ve $(2,1)$ noktasından geçen doğrunun denklemini $y=mx+n$ biçiminde yazınız.

Nokta-eğim biçimi: $y-1=3(x-2)$ .
Dağıt: $y-1=3x-6$ .
Yalnız bırak: $y=3x-5$ .

Sonuç:

y=3x-5

Örnek

Soru

$A(1,3)$ ve $B(3,7)$ noktalarından geçen doğrunun denklemini bulunuz.

Önce iki noktadan eğimi bul; sonra noktalardan birini nokta-eğim biçiminde kullan.

Eğim: $m=\dfrac{7-3}{3-1}=\dfrac{4}{2}=2$ .
$A(1,3)$ ile nokta-eğim: $y-3=2(x-1)$ .
Düzenle: $y-3=2x-2\Rightarrow y=2x+1$ .

Sonuç:

y=2x+1

Çözümlü Örnekler

Örnek

Soru

$A(0,0)$ orijini ile $B(-6,8)$ noktası arasındaki uzaklığı bulunuz.

Farklar: $\Delta x=-6-0=-6$ , $\;\Delta y=8-0=8$ .
$|AB|=\sqrt{(-6)^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$ .

Sonuç:

|AB|=10

Örnek

Soru

$y=2x-4$ doğrusunun eğimini ve $y$ eksenini kestiği noktayı yazınız.

Denklem $y=mx+n$ biçiminde: $m=2$ , $n=-4$ .
Eğim $2$ ; $y$ eksenini kestiği nokta $x=0$ için $y=-4$ , yani $(0,-4)$ .

Sonuç: Eğim

2

, kesişim noktası

(0,-4)

Örnek

Soru

$A(2,k)$ ve $B(6,1)$ noktaları arasındaki uzaklık $5$ ise $k$ 'nin pozitif değerini bulunuz.

Uzaklık formülünü kur, iki tarafın karesini al: $(6-2)^2+(1-k)^2=5^2$ .

Formül: $\sqrt{(6-2)^2+(1-k)^2}=5$ .
Karesini al: $16+(1-k)^2=25\Rightarrow (1-k)^2=9$ .
Kök al: $1-k=\pm 3$ , yani $k=-2$ veya $k=4$ .
Pozitif değer istendi: $k=4$ .

Sonuç:

k=4

Örnek

Soru

$A(-2,1)$ ile $B(4,9)$ noktalarını birleştiren parçanın orta noktasından geçen ve eğimi $\dfrac{1}{2}$ olan doğrunun denklemini bulunuz.

Önce orta noktayı bul; sonra verilen eğimle nokta-eğim biçimini yaz.

Orta nokta: $M=\left(\dfrac{-2+4}{2},\dfrac{1+9}{2}\right)=(1,5)$ .
Nokta-eğim: $y-5=\dfrac{1}{2}(x-1)$ .
Düzenle: $y-5=\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2}\Rightarrow y=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{9}{2}$ .

Sonuç:

y=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{9}{2}

Alıştırmalar — Sıra Sende

Önce kendin çözmeyi dene; sonra çözümü açıp karşılaştır.

Örnek

Soru

$A(2,1)$ ve $B(5,5)$ noktaları arasındaki uzaklığı bul.

$\Delta x=3$ , $\Delta y=4$ .
$|AB|=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$ .

Sonuç:

5

Örnek

Soru

$A(-3,-1)$ ve $B(1,2)$ noktaları arasındaki uzaklığı bul.

$\Delta x=1-(-3)=4$ , $\Delta y=2-(-1)=3$ .
$|AB|=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5$ .

Sonuç:

5

Örnek

Soru

$A(-4,2)$ ve $B(6,-4)$ noktalarını birleştiren parçanın orta noktasını bul.

$x$ : $\dfrac{-4+6}{2}=1$ .
$y$ : $\dfrac{2+(-4)}{2}=-1$ .

Sonuç:

M(1,-1)

Örnek

Soru

$A(0,4)$ ve $B(8,0)$ noktalarından geçen doğrunun eğimini bul.

$\Delta y=0-4=-4$ , $\Delta x=8-0=8$ .
$m=\dfrac{-4}{8}=-\dfrac{1}{2}$ .

Sonuç:

-\dfrac{1}{2}

Örnek

Soru

Eğimi $-2$ olan ve $(1,4)$ noktasından geçen doğrunun denklemini $y=mx+n$ biçiminde yaz.

Nokta-eğim: $y-4=-2(x-1)$ .
Düzenle: $y-4=-2x+2\Rightarrow y=-2x+6$ .

Sonuç:

y=-2x+6

Örnek

Soru

$A(-1,2)$ ve $B(3,10)$ noktalarından geçen doğrunun denklemini bul.

Eğim: $m=\dfrac{10-2}{3-(-1)}=\dfrac{8}{4}=2$ .
$A(-1,2)$ ile: $y-2=2(x+1)\Rightarrow y=2x+4$ .

Sonuç:

y=2x+4

Örnek

Soru

$A(1,k)$ ve $B(4,2)$ noktalarından geçen doğrunun eğimi $-1$ ise $k$ kaçtır?

Eğim formülünü kur: $\dfrac{2-k}{4-1}=-1$ .

Eğim formülü: $\dfrac{2-k}{4-1}=-1$ .
$\dfrac{2-k}{3}=-1\Rightarrow 2-k=-3$ .
$-k=-5\Rightarrow k=5$ .

Sonuç:

k=5

Örnek

Soru

$A(1,2)$ , $B(5,4)$ ve $C(3,k)$ noktaları aynı doğru üzerinde (doğrusal) ise $k$ kaçtır?

Üç nokta doğrusalsa $AB$ ile $AC$ doğrularının eğimleri eşittir; eğimleri eşitle.

$AB$ eğimi: $\dfrac{4-2}{5-1}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}$ .
$AC$ eğimi: $\dfrac{k-2}{3-1}=\dfrac{k-2}{2}$ .
Eşitle: $\dfrac{k-2}{2}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow k-2=1\Rightarrow k=3$ .

Sonuç:

k=3

Örnek

Soru

$A(-2,3)$ ve $B(4,3)$ ve $C(4,-5)$ köşeli üçgenin çevre uzunluğunu bulunuz.

Üç kenarın uzunluğunu ayrı ayrı uzaklık formülüyle bul; iki kenar eksenlere paralel olduğundan kısayoldan da hesaplanabilir.

$|AB|=\sqrt{(4-(-2))^2+(3-3)^2}=\sqrt{36}=6$ (yatay kenar).
$|BC|=\sqrt{(4-4)^2+(-5-3)^2}=\sqrt{64}=8$ (dikey kenar).
$|AC|=\sqrt{(4-(-2))^2+(-5-3)^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$ .
Çevre: $6+8+10=24$ .

Sonuç:

24

Örnek

Soru

$A(1,1)$ ve $B(7,3)$ noktaları bir karenin köşegeninin uçlarıdır. Köşegenin orta noktasını ve uzunluğunu bulunuz.

Köşegenin orta noktası karenin merkezidir; uzunluk için yine uzaklık formülünü kullan.

Orta nokta (merkez): $M=\left(\dfrac{1+7}{2},\dfrac{1+3}{2}\right)=(4,2)$ .
Köşegen uzunluğu: $|AB|=\sqrt{(7-1)^2+(3-1)^2}=\sqrt{36+4}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$ .

Sonuç: Merkez

M(4,2)

, köşegen

2\sqrt{10}

Sık Yapılan Hatalar

Uzaklık formülünde farkları toplamak. Doğrusu farkların karelerini toplamaktır: $\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}$ , $\;\Delta x+\Delta y$ değil.
Orta nokta yerine fark almak. Orta nokta koordinatların ortalamasıdır (toplamın yarısı); çıkarma değildir.
Eğimde pay-paydayı ters yazmak. Eğim $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ 'tir, $\dfrac{\Delta x}{\Delta y}$ değil. İki noktada $y$ farkı üste, $x$ farkı alta gelir.
Negatif koordinatta işaret hatası. $x_2-x_1=4-(-2)$ gibi farklarda çift negatifi unutma: $4-(-2)=6$ .

Not: Bu üç formülün de kalbi Pisagor ve oran fikridir. Bir problemde "uzaklık" geçiyorsa farkların karesini, "orta nokta" geçiyorsa ortalamayı, "eğim" geçiyorsa $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ 'i refleks olarak yaz. Doğru denklemi için ya nokta-eğimden ( $y-y_0=m(x-x_0)$ ) başla ya da eğim-kesişim ( $y=mx+n$ ) biçimini doldur.

1. İki Nokta Arası Uzaklık

2. Orta Nokta

3. Bir Doğrunun Eğimi

4. Doğru Denklemi

Çözümlü Örnekler

Alıştırmalar — Sıra Sende

Sık Yapılan Hatalar

Analitik Geometri — diğer konular