11. Sınıf · Analitik Geometri

Çemberin Analitik İncelenmesi

~8 dk okumaZorluk: Orta6 çözümlü soru

Çember, bir noktaya (merkeze) eşit uzaklıkta olan noktaların kümesidir. Bu sabit uzaklık yarıçaptır. Bu derste çemberin standart denklemini, merkez ile yarıçapı bu denklemden nasıl okuyacağımızı, genel denklemi kareye tamamlayarak standart biçime çevirmeyi ve bir noktanın çembere göre konumunu öğreneceğiz. Her şey, geçen dersteki uzaklık formülünün doğrudan bir uygulamasıdır. Bol şekil, örnek ve "Sıra Sende" alıştırmalarıyla pekiştireceğiz.

1. Çemberin Standart Denklemi

Merkezi $M (a, b)$ ve yarıçapı $r$ olan çember üzerindeki her $(x, y)$ noktası, merkeze tam $r$ uzaklıktadır. Uzaklık formülünü kurup karesini alırsak çemberin standart (merkezil) denklemi çıkar:

$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$

Merkez orijinde ( $M (0, 0)$ ) ise denklem sadeleşir: $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ .

Şekil 1 — Merkezi

M (a, b)

, yarıçapı

r

olan çember. Çember üzerindeki her nokta merkeze

r

uzaklıktadır;

(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}

denklemi bu sabit uzaklığın karesini ifade eder.

Örnek

Soru

Merkezi $M (2, - 3)$ ve yarıçapı $5$ olan çemberin standart denklemini yazınız.

Standart biçim: $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$ .
$a = 2$ , $b = - 3$ , $r = 5$ yerine koy: $(x - 2)^{2} + (y - (- 3))^{2} = 5^{2}$ .
Sadeleştir: $(x - 2)^{2} + (y + 3)^{2} = 25$ .

Sonuç:

(x - 2)^{2} + (y + 3)^{2} = 25

2. Denklemden Merkez ve Yarıçapı Okuma

Standart denklemde işaretlerin tersi merkezi, sağ tarafın karekökü ise yarıçapı verir. $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$ denkleminde merkez $M (a, b)$ ve $r = r^{2}$ 'dir. Parantez içindeki işaretlere dikkat: $(x + 4)$ aslında $(x - (- 4))$ demektir, yani $a = - 4$ .

Örnek

Soru

$(x + 4)^{2} + (y - 1)^{2} = 36$ çemberinin merkezini ve yarıçapını bulunuz.

Parantez içindeki işareti ters çevir: $(x + 4) = (x - (- 4))$ , bu yüzden $a = - 4$ . Yarıçap $36$ 'dır.

$(x + 4)^{2} = (x - (- 4))^{2} \Rightarrow a = - 4$ .
$(y - 1)^{2} \Rightarrow b = 1$ .
$r^{2} = 36 \Rightarrow r = 6$ .

Sonuç: Merkez

M (- 4, 1)

, yarıçap

r = 6

Örnek

Soru

$x^{2} + y^{2} = 49$ çemberinin merkezini ve yarıçapını bulunuz.

Denklem $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ biçiminde; merkez orijindedir: $M (0, 0)$ .
$r^{2} = 49 \Rightarrow r = 7$ .

Sonuç: Merkez

M (0, 0)

, yarıçap

r = 7

3. Merkez ve Bir Noktadan Çember Denklemi

Yarıçap verilmemişse, merkez ile çember üzerindeki bir nokta arasındaki uzaklık yarıçaptır. Önce $r$ 'yi (ya da $r^{2}$ 'yi) uzaklık formülüyle bul, sonra standart denkleme yerleştir.

Örnek

Soru

Merkezi $M (1, 2)$ olan ve $A (4, 6)$ noktasından geçen çemberin denklemini yazınız.

Yarıçap $∣ M A ∣$ 'dır. Denklemde $r^{2}$ gerektiği için karekök almana bile gerek yok; $r^{2} = (Δ x)^{2} + (Δ y)^{2}$ doğrudan kullan.

$r^{2} = ∣ M A ∣^{2} = (4 - 1)^{2} + (6 - 2)^{2} = 3^{2} + 4^{2} = 9 + 16 = 25$ .
Standart denklem: $(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 25$ .

Sonuç:

(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 25

Örnek

Soru

Bir çemberin çapının uçları $A (- 2, 1)$ ve $B (4, 9)$ 'dur. Çemberin denklemini yazınız.

Çapın orta noktası merkezdir; yarıçap ise çapın yarısıdır (ya da merkez ile bir uç arası uzaklık).

Merkez (çapın orta noktası): $M = (\frac{- 2 + 4}{2}, \frac{1 + 9}{2}) = (1, 5)$ .
Yarıçap karesi: $r^{2} = ∣ M A ∣^{2} = (1 - (- 2))^{2} + (5 - 1)^{2} = 3^{2} + 4^{2} = 25$ .
Denklem: $(x - 1)^{2} + (y - 5)^{2} = 25$ .

Sonuç:

(x - 1)^{2} + (y - 5)^{2} = 25

4. Genel Denklem ve Kareye Tamamlama

Çember denklemi parantezler açılınca genel biçimde de yazılır:

$x^{2} + y^{2} + D x + E y + F = 0$

Bu biçimi merkez–yarıçap okunabilen standart biçime çevirmek için kareye tamamlarız: $x$ ve $y$ terimlerini ayrı gruplayıp her grupta katsayının yarısının karesini ekleyip çıkarırız.

Örnek

Soru

$x^{2} + y^{2} - 6 x + 4 y - 12 = 0$ çemberinin merkezini ve yarıçapını bulunuz.

$x$ grubunda $- 6$ 'nın yarısı $- 3$ ; $(x - 3)^{2}$ için $9$ eklemen gerekir. $y$ grubunda $4$ 'ün yarısı $2$ ; $(y + 2)^{2}$ için $4$ ekle. Eklediklerini sağ tarafa da ekle.

Terimleri grupla: $(x^{2} - 6 x) + (y^{2} + 4 y) = 12$ .
Kareye tamamla: $x^{2} - 6 x + 9$ ve $y^{2} + 4 y + 4$ ; eklenen $9$ ile $4$ 'ü sağ tarafa da ekle.
$(x - 3)^{2} + (y + 2)^{2} = 12 + 9 + 4 = 25$ .
Standart biçimden oku: merkez $M (3, - 2)$ , $r = 25 = 5$ .

Sonuç: Merkez

M (3, - 2)

, yarıçap

r = 5

Çözümlü Örnekler

Örnek

Soru

Merkezi $M (- 1, 3)$ ve yarıçapı $10$ olan çemberin denklemini yazınız.

Standart biçim: $(x - (- 1))^{2} + (y - 3)^{2} = (10)^{2}$ .
Sadeleştir: $(x + 1)^{2} + (y - 3)^{2} = 10$ .

Sonuç:

(x + 1)^{2} + (y - 3)^{2} = 10

Örnek

Soru

$A (3, 2)$ noktası $(x - 1)^{2} + (y + 1)^{2} = 16$ çemberinin üzerinde midir, içinde midir, dışında mıdır?

Noktayı denklemin sol tarafına koy; çıkan sayı $r^{2} = 16$ 'dan küçükse iç, eşitse üzeri, büyükse dış bölgededir.

Sol tarafa koy: $(3 - 1)^{2} + (2 + 1)^{2} = 2^{2} + 3^{2} = 4 + 9 = 13$ .
Karşılaştır: $13 < 16$ .
Sonuç değer $r^{2}$ 'den küçük olduğundan nokta çemberin içindedir.

Sonuç: Nokta çemberin içindedir (

13 < 16

Örnek

Soru

$x^{2} + y^{2} + 8 x - 2 y + 8 = 0$ çemberinin merkezini ve yarıçapını bulunuz.

Grupla: $(x^{2} + 8 x) + (y^{2} - 2 y) = - 8$ .
Kareye tamamla: $x^{2} + 8 x + 16$ için $16$ , $y^{2} - 2 y + 1$ için $1$ ekle.
$(x + 4)^{2} + (y - 1)^{2} = - 8 + 16 + 1 = 9$ .
Oku: merkez $M (- 4, 1)$ , $r = 9 = 3$ .

Sonuç: Merkez

M (- 4, 1)

, yarıçap

r = 3

Örnek

Soru

Merkezi $M (2, - 1)$ olan ve $x$ eksenine teğet olan çemberin denklemini yazınız.

Bir çember bir eksene teğetse, merkezin o eksene uzaklığı yarıçaptır. Merkezin $x$ eksenine uzaklığı $∣ b ∣$ 'dir.

$x$ eksenine teğet olduğundan yarıçap, merkezin $x$ eksenine uzaklığına eşittir: $r = ∣ - 1∣ = 1$ .
Denklem: $(x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} = 1^{2} = 1$ .

Sonuç:

(x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} = 1

Alıştırmalar — Sıra Sende

Önce kendin çözmeyi dene; sonra çözümü açıp karşılaştır.

Örnek

Soru

Merkezi $M (3, 5)$ ve yarıçapı $4$ olan çemberin denklemini yaz.

$(x - 3)^{2} + (y - 5)^{2} = 4^{2}$ .
$(x - 3)^{2} + (y - 5)^{2} = 16$ .

Sonuç:

(x - 3)^{2} + (y - 5)^{2} = 16

Örnek

Soru

$(x - 5)^{2} + (y + 2)^{2} = 81$ çemberinin merkezini ve yarıçapını bul.

Merkez: $M (5, - 2)$ .
$r = 81 = 9$ .

Sonuç: Merkez

M (5, - 2)

r = 9

Örnek

Soru

Merkezi orijinde olan ve $A (6, 8)$ noktasından geçen çemberin denklemini yaz.

$r^{2} = 6^{2} + 8^{2} = 36 + 64 = 100$ .
$x^{2} + y^{2} = 100$ .

Sonuç:

x^{2} + y^{2} = 100

Örnek

Soru

Merkezi $M (- 2, 4)$ olan ve $A (1, 8)$ noktasından geçen çemberin denklemini yaz.

$r^{2} = (1 - (- 2))^{2} + (8 - 4)^{2} = 3^{2} + 4^{2} = 25$ .
$(x + 2)^{2} + (y - 4)^{2} = 25$ .

Sonuç:

(x + 2)^{2} + (y - 4)^{2} = 25

Örnek

Soru

$x^{2} + y^{2} - 10 x + 6 y + 18 = 0$ çemberinin merkezini ve yarıçapını bul.

Grupla: $(x^{2} - 10 x) + (y^{2} + 6 y) = - 18$ .
Kareye tamamla: $25$ ve $9$ ekle: $(x - 5)^{2} + (y + 3)^{2} = - 18 + 25 + 9 = 16$ .
Merkez $M (5, - 3)$ , $r = 4$ .

Sonuç: Merkez

M (5, - 3)

r = 4

Örnek

Soru

Bir çemberin çapının uçları $A (0, 0)$ ve $B (6, 8)$ 'dir. Çemberin denklemini yaz.

Merkez: $M = (\frac{0 + 6}{2}, \frac{0 + 8}{2}) = (3, 4)$ .
$r^{2} = (3 - 0)^{2} + (4 - 0)^{2} = 9 + 16 = 25$ .
$(x - 3)^{2} + (y - 4)^{2} = 25$ .

Sonuç:

(x - 3)^{2} + (y - 4)^{2} = 25

Örnek

Soru

$P (5, 1)$ noktası $(x - 2)^{2} + (y + 3)^{2} = 20$ çemberine göre hangi bölgededir?

Noktayı sol tarafa koy; çıkan değeri $r^{2} = 20$ ile karşılaştır.

Sol tarafa koy: $(5 - 2)^{2} + (1 + 3)^{2} = 3^{2} + 4^{2} = 9 + 16 = 25$ .
Karşılaştır: $25 > 20$ .
Değer $r^{2}$ 'den büyük olduğundan nokta çemberin dışındadır.

Sonuç: Çemberin dışında (

25 > 20

Örnek

Soru

Merkezi $M (- 3, 4)$ olan ve $y$ eksenine teğet olan çemberin denklemini yaz.

$y$ eksenine teğet bir çemberde yarıçap, merkezin $y$ eksenine uzaklığı olan $∣ a ∣$ 'ya eşittir.

$y$ eksenine uzaklık: $r = ∣ - 3∣ = 3$ .
Denklem: $(x + 3)^{2} + (y - 4)^{2} = 9$ .

Sonuç:

(x + 3)^{2} + (y - 4)^{2} = 9

Örnek

Soru

$x^{2} + y^{2} - 4 x - 6 y - 3 = 0$ çemberinin alanını bulunuz. ( $π$ cinsinden yazınız.)

Önce kareye tamamlayıp yarıçapı bul; alan $π r^{2}$ 'dir.

Grupla: $(x^{2} - 4 x) + (y^{2} - 6 y) = 3$ .
Kareye tamamla: $4$ ve $9$ ekle: $(x - 2)^{2} + (y - 3)^{2} = 3 + 4 + 9 = 16$ .
$r^{2} = 16 \Rightarrow r = 4$ .
Alan: $π r^{2} = π \cdot 16 = 16 π$ .

Sonuç:

16 π

Örnek

Soru

$M (1, - 2)$ merkezli bir çember, $4 x^{2} + 4 y^{2} = 36$ çemberi ile aynı yarıçaplıdır. Bu $M$ merkezli çemberin denklemini yazınız.

Önce verilen denklemi $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ biçimine getirmek için her terimi $4$ 'e böl; oradan $r$ 'yi oku.

Verilen denklemi sadeleştir: $4 x^{2} + 4 y^{2} = 36 \Rightarrow x^{2} + y^{2} = 9$ , yani $r^{2} = 9$ , $r = 3$ .
Aynı yarıçaplı, $M (1, - 2)$ merkezli çember: $(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} = 9$ .

Sonuç:

(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} = 9

Sık Yapılan Hatalar

Merkezin işaretini yanlış okumak. $(x - a)^{2}$ biçiminde merkez $a$ 'dır; $(x + 4)^{2}$ ise $a = - 4$ demektir. Parantezdeki işaretin tersini al.
$r$ ile $r^{2}$ 'yi karıştırmak. Denklemin sağ tarafı $r^{2}$ 'dir. $r$ 'yi bulmak için karekök al; denklem yazarken yarıçapın karesini koy.
Kareye tamamlarken sağ tarafı güncellememek. Sol tarafa eklediğin sabitleri ( $9$ , $4$ gibi) sağ tarafa da eklemezsen denklem bozulur.
Teğetlikte yarıçapı yanlış seçmek. $x$ eksenine teğet çemberde $r = ∣ b ∣$ , $y$ eksenine teğette $r = ∣ a ∣$ 'dır; ekseni karıştırma.

Not: Çember denkleminin özü tek bir cümledir: "merkeze uzaklık sabit ( $r$ )". Standart biçim $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$ sana merkezi ve yarıçapı doğrudan verir; genel biçimle karşılaşınca ilk işin kareye tamamlamak olsun. Yarıçap verilmemişse onu çoğu zaman bir uzaklık (merkez–nokta ya da merkez–eksen) olarak hesaplarsın.

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, konuyu sınav formatında (5 şıklı) pekiştirmen için özgün biçimde hazırlanmıştır.

Çözümlü Sorular

Her soruyu önce kendin dene; takıldığında Çözüme Bak.

Soru 1Kolay

Merkezi

M (- 3, 5)

ve yarıçapı

22

olan çemberin standart denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

Standart biçim: $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$ .
$a = - 3$ olduğundan $(x - (- 3))^{2} = (x + 3)^{2}$ ; $b = 5$ olduğundan $(y - 5)^{2}$ .
Sağ tarafta $r^{2}$ yazılır: $r^{2} = (22)^{2} = 4 \cdot 2 = 8$ .
Denklem: $(x + 3)^{2} + (y - 5)^{2} = 8$ .

Sonuç:

(x + 3)^{2} + (y - 5)^{2} = 8

Soru 2Orta

x^{2} + y^{2} + 10 x - 8 y + 5 = 0

çemberinin merkezi

M (a, b)

ve yarıçapı

r

olduğuna göre,

a + b + r

toplamı kaçtır?

Terimleri grupla: $(x^{2} + 10 x) + (y^{2} - 8 y) = - 5$ .
Kareye tamamla: $x$ grubunda $10$ 'un yarısı $5$ ; $25$ ekle. $y$ grubunda $- 8$ 'in yarısı $- 4$ ; $16$ ekle. Eklenenleri sağ tarafa da ekle.
$(x + 5)^{2} + (y - 4)^{2} = - 5 + 25 + 16 = 36$ .
Oku: $a = - 5$ , $b = 4$ , $r = 36 = 6$ .
$a + b + r = - 5 + 4 + 6 = 5$ .

Sonuç:

a + b + r = 5

Soru 3Orta

Bir çemberin çapının uçları

A (- 3, 2)

B (5, 8)

'dir. Bu çemberin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

Merkez, çapın orta noktasıdır: $M = (\frac{- 3 + 5}{2}, \frac{2 + 8}{2}) = (1, 5)$ .
Yarıçap karesi (merkez ile bir uç arası): $r^{2} = ∣ M A ∣^{2} = (1 - (- 3))^{2} + (5 - 2)^{2} = 4^{2} + 3^{2} = 16 + 9 = 25$ .
Denklem: $(x - 1)^{2} + (y - 5)^{2} = 25$ .

Sonuç:

(x - 1)^{2} + (y - 5)^{2} = 25

Soru 4Kolay

P (6, - 1)

noktası

(x - 2)^{2} + (y + 4)^{2} = 30

çemberine göre hangi bölgededir?

Noktayı denklemin sol tarafına koy: $(6 - 2)^{2} + (- 1 + 4)^{2} = 4^{2} + 3^{2} = 16 + 9 = 25$ .
Sağ taraf $r^{2} = 30$ ile karşılaştır: $25 < 30$ .
Değer $r^{2}$ 'den küçük olduğundan nokta çemberin içindedir.

Sonuç: Çemberin içinde (

25 < 30

Soru 5Orta

Bir dairesel bahçe havuzunun merkezi, koordinat düzleminde

M (4, - 3)

noktasına yerleştirilmiştir. Havuzun kenarı

y

eksenine tam olarak teğet olduğuna göre, havuz sınırını temsil eden çemberin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

Çember $y$ eksenine teğet ise yarıçap, merkezin $y$ eksenine uzaklığına eşittir: $r = ∣ a ∣ = ∣4∣ = 4$ .
Sağ tarafa $r^{2} = 4^{2} = 16$ yazılır.
Merkez $M (4, - 3)$ için denklem: $(x - 4)^{2} + (y + 3)^{2} = 16$ .

Sonuç:

(x - 4)^{2} + (y + 3)^{2} = 16

Soru 6Zor

x^{2} + y^{2} - 6 x + 2 y - 15 = 0

çemberi üzerinde ordinatı

2

olan (yani

y = 2

) noktalar bulunmaktadır. Bu noktaların apsislerinin (x değerlerinin) toplamı kaçtır?

Önce kareye tamamla: $(x^{2} - 6 x) + (y^{2} + 2 y) = 15$ .
$9$ ve $1$ ekle: $(x - 3)^{2} + (y + 1)^{2} = 15 + 9 + 1 = 25$ .
$y = 2$ koy: $(x - 3)^{2} + (2 + 1)^{2} = 25 \Rightarrow (x - 3)^{2} + 9 = 25 \Rightarrow (x - 3)^{2} = 16$ .
$x - 3 = \pm 4 \Rightarrow x = 7$ veya $x = - 1$ .
Apsislerin toplamı: $7 + (- 1) = 6$ .

Sonuç: Apsislerin toplamı

6

'dır.

0/6 soru cevaplandı

1. Çemberin Standart Denklemi

2. Denklemden Merkez ve Yarıçapı Okuma

3. Merkez ve Bir Noktadan Çember Denklemi

4. Genel Denklem ve Kareye Tamamlama

Çözümlü Örnekler

Alıştırmalar — Sıra Sende

Sık Yapılan Hatalar

Sınav Tarzı Sorular

Çözümlü Sorular

Analitik Geometri — diğer konular