10. Sınıf · İstatistiksel Araştırma Süreci

İki Kategorik Değişken Arasında İlişki

~7 dk okumaZorluk: Orta6 çözümlü soru

İstatistiksel Araştırma Süreci teması, iki özelliğin birlikte nasıl değiştiğini incelemeyi öğretir. Bu derste iki kategorik değişkeni (örneğin cinsiyet ve spor tercihi) bir iki yönlü (çapraz) tabloda düzenlemeyi, satır/sütun toplamlarını okumayı, yüzde hesaplamayı ve iki değişken arasında bir ilişki olup olmadığını yorumlamayı öğreneceğiz. Bol örnek ve "Sıra Sende" alıştırmalarıyla pekiştireceğiz.

1. İki Yönlü (Çapraz) Tablo

İki kategorik değişken, satır biri, sütun diğeri olacak şekilde bir tabloda gösterilir. Her hücre, iki kategorinin kesişimindeki birey sayısını verir. Kenardaki toplamlara marjinal toplam denir.

Örnek: $100$ öğrencide cinsiyet ve sevilen spor.

	Futbol	Basketbol	Toplam
Kız	$20$	$30$	$50$
Erkek	$35$	$15$	$50$
Toplam	$55$	$45$	$100$

Örnek

Soru

Yukarıdaki tabloya göre basketbolu seven kaç öğrenci vardır?

Basketbol sütununun toplamına bak: $30 + 15 = 45$ .

Sonuç:

45

öğrenci.

2. Satır ve Sütun Yüzdeleri

Bir hücrenin oranı, hangi bütüne göre baktığına bağlıdır:

Satır yüzdesi: hücre / satır toplamı (o grup içindeki dağılım).
Sütun yüzdesi: hücre / sütun toplamı.
Genel yüzde: hücre / toplam.

Örnek

Soru

Kızların yüzde kaçı futbol sever? (Tablodaki değerleri kullan.)

"Kızların yüzdesi" → bütün kız satırıdır. Futbolcu kız sayısını kız toplamına böl.

Futbolcu kız $20$ , kız toplamı $50$ .
$\frac{20}{50} \cdot 100 = 40$ .

Sonuç: Kızların

%40

'ı futbol sever.

3. İlişki Var mı?

İki değişken arasında ilişki olup olmadığını anlamak için grupların yüzdelerini karşılaştırırız. Yüzdeler belirgin biçimde farklıysa bir ilişki vardır; benzerse ilişki zayıftır.

Tabloyu bir kümelenmiş sütun grafiğine dönüştürmek bu karşılaştırmayı görselleştirir: aynı grup içindeki sütunların boyları, o grubun tercih dağılımını gösterir.

Şekil 1 — Baştaki tablonun kümelenmiş sütun grafiği. Kız grubunda basketbol (

30

) futbolu (

20

) geçerken, erkek grubunda futbol (

35

) basketbolu (

15

) geçer. Sütun örüntüsü gruptan gruba tersine döndüğü için cinsiyetle spor tercihi arasında bir ilişki vardır.

Örnek

Soru

Tabloya göre cinsiyet ile futbol sevme arasında ilişki var mıdır?

Kızlarda futbol oranı: $\frac{20}{50} = %40$ .
Erkeklerde futbol oranı: $\frac{35}{50} = %70$ .
Oranlar belirgin farklı ( $%40$ vs $%70$ ) → cinsiyetle futbol tercihi arasında ilişki var.

Sonuç: Evet; erkeklerde futbol oranı kızlardan belirgin yüksek, ilişki vardır.

Çözümlü Örnekler

Örnek

Soru

Tabloya göre futbol sevenlerin yüzde kaçı erkektir?

Bütün, futbol sütunu ( $55$ ). Erkek futbolcu $35$ .
$\frac{35}{55} \cdot 100 \approx %64$ .

Sonuç: Yaklaşık

%64

Örnek

Soru

Tüm öğrencilerin yüzde kaçı basketbol seven kızdır?

Bütün, genel toplam $100$ . Basketbolcu kız $30$ .
$\frac{30}{100} = %30$ .

Sonuç:

%30

Örnek

Soru

Bir tabloda satır toplamları $40$ ve $60$ , bir hücre (1. satır, 1. sütun) $10$ ise bu hücrenin satır yüzdesi kaçtır?

Satır toplamı $40$ , hücre $10$ .
$\frac{10}{40} \cdot 100 = %25$ .

Sonuç:

%25

Örnek

Soru

$200$ kişilik bir ankette $A$ ürününü kadınların $%30$ 'u, erkeklerin $%30$ 'u tercih etmiştir. Cinsiyetle tercih arasında ilişki var mıdır?

İki grubun tercih oranları aynı ( $%30 = %30$ ).
Gruplar arası fark yok → ilişki yoktur (tercih cinsiyetten bağımsız görünür).

Sonuç: Hayır; oranlar eşit olduğundan ilişki yoktur.

Alıştırmalar — Sıra Sende

Önce kendin çözmeyi dene; sonra çözümü açıp karşılaştır. (Baştaki tabloyu kullan.)

Örnek

Soru

Tabloya göre erkeklerin yüzde kaçı basketbol sever?

Basketbolcu erkek $15$ , erkek toplamı $50$ .
$\frac{15}{50} = %30$ .

Sonuç:

%30

Örnek

Soru

Basketbol sevenlerin yüzde kaçı kızdır?

Basketbol sütunu $45$ , kız $30$ .
$\frac{30}{45} \cdot 100 \approx %67$ .

Sonuç: Yaklaşık

%67

Örnek

Soru

Tüm öğrencilerin yüzde kaçı futbol seven erkektir?

$\frac{35}{100} = %35$ .

Sonuç:

%35

Örnek

Soru

Bir çapraz tabloda bir sütunun toplamı $80$ , o sütundaki bir hücre $20$ ise sütun yüzdesi kaçtır?

$\frac{20}{80} = %25$ .

Sonuç:

%25

Örnek

Soru

Baştaki tabloya göre futbol sevenlerin yüzde kaçı kızdır?

Bütün, futbol sütunu ( $55$ ). Futbolcu kız $20$ .
$\frac{20}{55} \cdot 100 \approx %36$ .

Sonuç: Yaklaşık

%36

Örnek

Soru

Bir çapraz tabloda satır toplamları $40$ ve $60$ , sütun toplamları $45$ ve $55$ veriliyor. $1.$ satır $1.$ sütun hücresi $30$ ise $1.$ satır $2.$ sütun hücresi kaçtır?

Bir satırın hücreleri o satırın toplamını verir: $1.$ satır toplamı $40$ .
Eksik hücre $= 40 - 30 = 10$ .

Sonuç:

10

Örnek

Soru

$120$ kişilik bir araştırmada bir hücrenin genel yüzdesi $%15$ ise o hücredeki birey sayısı kaçtır?

Genel yüzde $= \frac{h u ¨ cre}{toplam}$ , yani hücre $= %15 \cdot 120$ .
$\frac{15}{100} \cdot 120 = 18$ .

Sonuç:

18

kişi.

Örnek

Soru

Bir ankette sinema türü ile yaş grubu karşılaştırılıyor.

	Aksiyon	Komedi	Toplam
Genç	$48$	$32$	$80$
Yetişkin	$24$	$36$	$60$
Toplam	$72$	$68$	$140$

Yaş grubu ile aksiyon sevme arasında ilişki var mıdır? Satır yüzdeleriyle karşılaştır.

Her yaş grubunda aksiyon oranını ayrı ayrı bul: hücreyi kendi satır toplamına böl, sonra iki oranı karşılaştır.

Gençlerde aksiyon oranı: $\frac{48}{80} \cdot 100 = %60$ .
Yetişkinlerde aksiyon oranı: $\frac{24}{60} \cdot 100 = %40$ .
Oranlar belirgin farklı ( $%60$ vs $%40$ ) → yaş grubu ile aksiyon tercihi arasında ilişki vardır.

Sonuç: Evet; gençlerde aksiyon oranı (

%60

) yetişkinlerden (

%40

) belirgin yüksek, ilişki vardır.

Örnek

Soru

Bir tabloda A grubunda evet diyenlerin oranı $\frac{45}{90}$ , B grubunda evet diyenlerin oranı $\frac{50}{100}$ 'dür. İki grup arasında bu özellik bakımından ilişki var mıdır?

Ham sayıları ( $45$ ve $50$ ) değil, her grubun kendi oranını karşılaştır.

A grubunda evet oranı: $\frac{45}{90} = %50$ .
B grubunda evet oranı: $\frac{50}{100} = %50$ .
Oranlar eşit ( $%50 = %50$ ) → gruplar arası fark yok; ilişki yoktur.

Sonuç: Hayır; iki grupta da oran

%50

olduğundan ilişki yoktur. (Ham sayıların farklı olması yanıltıcıdır.)

Sık Yapılan Hatalar

Yanlış bütüne bölmek. "Kızların yüzdesi" satır toplamına, "futbolcuların yüzdesi" sütun toplamına bölünür; soruyu dikkatle oku.
Marjinal toplamı hücreyle karıştırmak. Kenardaki toplamlar gruplar, içerdeki hücreler kesişimlerdir.
İlişkiyi tek hücreden okumak. İlişki için grupların yüzdelerini karşılaştır, ham sayıyı değil.
Eşit yüzdeyi ilişki sanmak. Gruplarda oranlar benzerse ilişki yoktur.
Ham sayıyı oran yerine koymak. $\frac{45}{90}$ ile $\frac{50}{100}$ ham sayıları farklı görünse de oranları aynıdır ( $%50$ ); karşılaştırma daima oran üzerinden yapılır.

Not: İki kategorik değişken arasında ilişki var mı? sorusunda yöntem hep aynı: grupların yüzdelerini hesapla ve karşılaştır. Belirgin fark = ilişki; benzer oran = ilişki yok.

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, konuyu sınav formatında (5 şıklı) pekiştirmen için özgün biçimde hazırlanmıştır.

Çözümlü Sorular

Her soruyu önce kendin dene; takıldığında Çözüme Bak.

Soru 1Kolay

Bir kafede

150

kişinin mesleği (öğrenci/öğretmen) ile içecek tercihi (kahve/çay) çapraz tabloda gösterilmiştir. | | Kahve | Çay | Toplam | |---|:---:|:---:|:---:| | **Öğrenci** |

40

60

100

| | **Öğretmen** |

30

20

50

| | **Toplam** |

70

80

150

| Bu tabloya göre çayı seven toplam kaç kişi vardır?

Çayı seven kişi sayısı, çay sütununun marjinal (kenar) toplamıdır.
Çay sütunu: $60 + 20 = 80$ .
Yani çayı seven $80$ kişi vardır.

Sonuç:

80

kişi (çay sütununun toplamı

60 + 20 = 80

Soru 2Kolay

Yukarıdaki tabloya göre öğretmenlerin yüzde kaçı kahve sever?

"Öğretmenlerin yüzdesi" istendiği için bütün, öğretmen satırının toplamıdır: $50$ .
Kahve içen öğretmen sayısı $30$ .
Satır yüzdesi: $\frac{30}{50} \cdot 100 = %60$ .

Sonuç:

%60

(

\frac{30}{50} \cdot 100

Soru 3Orta

Aynı tabloya göre kahve sevenlerin yüzde kaçı öğrencidir? (En yakın tam sayıya yuvarlayınız.)

"Kahve sevenlerin yüzdesi" istendiği için bütün, kahve sütununun toplamıdır: $70$ .
Öğrenci olan kahve içenler $40$ .
Sütun yüzdesi: $\frac{40}{70} \cdot 100 \approx %57$ .

Sonuç: Yaklaşık

%57

(

\frac{40}{70} \cdot 100

Soru 4Orta

Bir çapraz tabloda satır toplamları

90

110

; sütun toplamları

120

80

olarak veriliyor (genel toplam

200

1.

satır

1.

sütun hücresi

50

ise

1.

satır

2.

sütun hücresi kaçtır?

Bir satırdaki hücrelerin toplamı o satırın marjinal toplamına eşittir.
$1.$ satırın toplamı $90$ , ilk hücre $50$ .
Eksik hücre $= 90 - 50 = 40$ .

Sonuç:

40

(

90 - 50

Soru 5Orta

300

kişilik bir araştırmada yaş grubu ile sabah sporu yapma durumu inceleniyor. Gençlerin

90

'ından

54

'ü, yetişkinlerin

120

'sinden

42

'si sabah sporu yapmaktadır. Yaş grubu ile sabah sporu yapma arasındaki ilişki için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

İlişki, ham sayılarla değil grupların kendi oranlarıyla karşılaştırılır.
Gençlerde spor oranı: $\frac{54}{90} \cdot 100 = %60$ .
Yetişkinlerde spor oranı: $\frac{42}{120} \cdot 100 = %35$ .
Oranlar belirgin farklı ( $%60$ ile $%35$ ) olduğundan yaş grubu ile sabah sporu yapma arasında ilişki vardır.

Sonuç: İlişki vardır; gençlerde oran

%60

, yetişkinlerde

%35

olup belirgin farklıdır.

Soru 6Orta

250

kişilik bir çapraz tabloda bir hücrenin genel yüzdesi

%16

olarak hesaplanmıştır. Bu hücredeki birey sayısı kaçtır?

Genel yüzde $= \frac{h u ¨ cre}{genel toplam} \cdot 100$ .
Buradan hücre $= \frac{16}{100} \cdot 250$ .
$\frac{16}{100} \cdot 250 = 40$ .

Sonuç:

40

kişi (

\frac{16}{100} \cdot 250

0/6 soru cevaplandı

1. İki Yönlü (Çapraz) Tablo

2. Satır ve Sütun Yüzdeleri

3. İlişki Var mı?

Çözümlü Örnekler

Alıştırmalar — Sıra Sende

Sık Yapılan Hatalar

Sınav Tarzı Sorular

Çözümlü Sorular

İstatistiksel Araştırma Süreci — diğer konular