Analitik Geometri

Formülde yerine yazalım:

|AB|=\sqrt{(4-1)^2+(6-2)^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5

|OC|=\sqrt{(3-0)^2+(4-0)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5

Apsis ve ordinatların ortalamasını alalım:

\left(\dfrac{2+6}{2},\ \dfrac{3+9}{2}\right)=\left(\dfrac{8}{2},\ \dfrac{12}{2}\right)=(4,6)

m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\dfrac{8-2}{4-1}=\dfrac{6}{3}=2

m=2 ve n=1 değerlerini y=mx+n formülünde yerine yazalım:

y=2x+1

1. Eğimi bul:

m=\dfrac{5-1}{2-0}=\dfrac{4}{2}=2

2. A(0,1) noktasının apsisi 0 olduğundan bu nokta y eksenindedir; yani n=1.

3. Denklemi yaz:

y=2x+1

1. Formülde yerine yazalım:

|AB|=\sqrt{(3-(-2))^2+(13-1)^2}=\sqrt{5^2+12^2}

2. Pisagor üçlüsü 5-12-13 kullanılır:

|AB|=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13

1. Orta nokta formülünden apsis için:

\dfrac{-1+x_B}{2}=2 \Rightarrow -1+x_B=4 \Rightarrow x_B=5

2. Ordinat için:

\dfrac{4+y_B}{2}=1 \Rightarrow 4+y_B=2 \Rightarrow y_B=-2

1. Denklemi y=mx+n biçimine getirelim. y yalnız bırakılır:

2y=3x+12 \Rightarrow y=\dfrac{3}{2}x+6

2. Buradan eğim ve kesim noktası okunur:

m=\dfrac{3}{2},\quad n=6

1. y=mx+n formülünde m=-2 yazılır:

y=-2x+n

2. A(2,-3) noktası doğru üzerinde olduğundan koordinatları yerine yazılır:

-3=-2\cdot 2+n \Rightarrow -3=-4+n \Rightarrow n=1

3. Denklem:

y=-2x+1

1. A ile B aynı ordinatta (y=2) olduğundan:

|AB|=|5-1|=4

2. B ile C aynı apsiste (x=5) olduğundan:

|BC|=|8-2|=6

3. Hipotenüs |AC|:

|AC|=\sqrt{(5-1)^2+(8-2)^2}=\sqrt{16+36}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}

4. Çevre:

4+6+2\sqrt{13}=10+2\sqrt{13}

1. x eksenini kestiği nokta için y=0:

2x-6=0 \Rightarrow x=3 \Rightarrow (3,0)

2. y eksenini kestiği nokta için x=0:

y-6=0 \Rightarrow y=6 \Rightarrow (0,6)

3. İki nokta arası uzaklık:

\sqrt{(3-0)^2+(0-6)^2}=\sqrt{9+36}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}

1. Eğim formülünü kuralım:

m=\dfrac{5-k}{1-(-3)}=\dfrac{5-k}{4}

2. Eğim 2 olduğundan:

\dfrac{5-k}{4}=2 \Rightarrow 5-k=8

3. k'yı çözelim:

k=5-8=-3

1. A ile B aynı ordinatta (y=2) olduğundan kenar uzunluğu:

|AB|=|5-(-1)|=6

2. Karenin alanı kenarın karesidir:

\text{Alan}=6^{2}=36

1. y=3x-1 doğrusunun eğimi m=3'tür. Paralel doğrunun eğimi de 3 olur:

y=3x+n

2. A(2,1) noktası doğru üzerinde olduğundan:

1=3\cdot 2+n \Rightarrow 1=6+n \Rightarrow n=-5

3. Denklem:

y=3x-5

1. Birinci bacak D(2,3)\to M(6,6): |DM|=\sqrt{(6-2)^{2}+(6-3)^{2}}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5.
2. İkinci bacak M(6,6)\to N(6,1) aynı apsiste (x=6) olduğundan: |MN|=|6-1|=5.
3. Toplam yol 5+5=10 birim. (Çeldirici: |MN| için de uzaklık formülü kurup yanlış kareleme yapan 11–13 aralığına düşer.)

1. Orta nokta: \left(\dfrac{-2+6}{2},\ \dfrac{1+7}{2}\right)=\left(\dfrac{4}{2},\ \dfrac{8}{2}\right)=(2,4).
2. Koordinatların toplamı 2+4=6. (Çeldirici: 2'ye bölmeyi unutan (4,8) bulur, toplamı 12 sanır; burada şıkta yok, bu yüzden işaret/bölme hatası yapan farklı şıklara savrulur.)

1. Yatayda +4 iken dikeyde -3 değişim olduğundan eğim: m=\dfrac{-3}{4}.
2. y eksenini (0,12)'de kestiğinden n=12 ve doğru: y=-\dfrac{3}{4}x+12.
3. Taban için y=0: 0=-\dfrac{3}{4}x+12\Rightarrow \dfrac{3}{4}x=12\Rightarrow x=16. (Çeldirici: eğimi \tfrac{3}{4} pozitif alan ya da 12'yi doğrudan cevap sanan tuzağa düşer.)

1. y=mx+n formülünde m=-1: y=-x+n.
2. H(5,-2) doğru üzerinde: -2=-1\cdot 5+n\Rightarrow -2=-5+n\Rightarrow n=3.
3. y eksenini (x=0) (0,3) noktasında keser. (Çeldirici: eğimin işaretini karıştıran n=-7 veya n=7 bulur.)

1. A,B aynı ordinatta: |AB|=|7-1|=6.
2. B,C aynı apsiste: |BC|=|9-1|=8.
3. Hipotenüs |AC| için 6–8–10 üçlüsü: |AC|=\sqrt{6^{2}+8^{2}}=\sqrt{100}=10.
4. Çevre 6+8+10=24 metre; maliyet 24\cdot 2=48 TL. (Çeldirici: yalnız çevreyi 24 bulup metre fiyatıyla çarpmayı unutan A şıkkına düşer.)

1. x kesişimi (y=0): 2x-12=0\Rightarrow x=6\Rightarrow (6,0).
2. y kesişimi (x=0): 3y-12=0\Rightarrow y=4\Rightarrow (0,4).
3. Bu iki kesişim ile orijin bir dik üçgen oluşturur; dik kenarlar 6 ve 4: \text{Alan}=\dfrac{6\cdot 4}{2}=12. (Çeldirici: dik kenarları çarpıp 2'ye bölmeyi unutan 24, ya da kesişimleri yanlış okuyan 8 bulur.)