TYT Matematik · Analitik Geometri ve Katı Cisimler

Analitik Geometri

~9 dk okumaZorluk: Orta6 çözümlü soruTYT'de ~2.5 soru/yıl · Sınavda orta ağırlık

Analitik geometri, noktaları sayılarla (koordinatlarla) ifade ederek geometriyi cebire çevirir. Bu konuda iki nokta arası uzaklık, orta nokta, eğim ve doğru denklemini öğreneceğiz. Bunlar TYT'de hem geometri hem de fonksiyon sorularının temelini oluşturur.

1. Koordinat Düzlemi

Düzlemdeki her nokta bir sıralı ikili $A (x, y)$ ile gösterilir. Burada $x$ değerine apsis (yatay konum), $y$ değerine ordinat (dikey konum) denir. İki eksen $O (0, 0)$ noktasında, yani orijinde kesişir.

Şekil 1 —

A (1, 2)

B (4, 6)

noktaları ve aralarındaki doğru parçası. Uzaklık ve orta nokta bu iki nokta üzerinden hesaplanır.

2. İki Nokta Arası Uzaklık

$A (x_{1}, y_{1})$ ve $B (x_{2}, y_{2})$ noktaları arasındaki uzaklık, Pisagor teoreminden gelir:

$∣ A B ∣ = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}$

Farkların karesi alındığı için işaretin önemi yoktur: $(x_{2} - x_{1})^{2} = (x_{1} - x_{2})^{2}$ .

Örnek

Soru

$A (1, 2)$ ve $B (4, 6)$ noktaları arasındaki uzaklığı bulunuz.

Formülde yerine yazalım:

$∣ A B ∣ = (4 - 1)^{2} + (6 - 2)^{2} = 3^{2} + 4^{2} = 9 + 16 = 25 = 5$

Sonuç:

∣ A B ∣ = 5

birim.

Örnek

Soru

Orijin $O (0, 0)$ ile $C (3, 4)$ noktası arasındaki uzaklığı bulunuz.

$∣ O C ∣ = (3 - 0)^{2} + (4 - 0)^{2} = 9 + 16 = 25 = 5$

Sonuç:

∣ O C ∣ = 5

birim.

3. Orta Nokta

$A (x_{1}, y_{1})$ ve $B (x_{2}, y_{2})$ noktalarını birleştiren doğru parçasının orta noktası, koordinatların aritmetik ortalamasıdır:

$(\frac{x _{1} + x _{2}}{2}, \frac{y _{1} + y _{2}}{2})$

Örnek

Soru

$A (2, 3)$ ve $B (6, 9)$ noktalarının orta noktasını bulunuz.

Apsis ve ordinatların ortalamasını alalım:

$(\frac{2 + 6}{2}, \frac{3 + 9}{2}) = (\frac{8}{2}, \frac{12}{2}) = (4, 6)$

Sonuç: Orta nokta

(4, 6)

4. Eğim

Bir doğrunun eğimi $m$ , doğrunun ne kadar dik olduğunu ölçer. İki noktadan geçen doğru için:

$m = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}} = \frac{Δ y}{Δ x} = \frac{dikey de g ˘ i s ¸ im}{yatay de g ˘ i s ¸ im}$

Şekil 2 —

A (1, 2)

B (4, 8)

noktalarından geçen doğru. Yatay değişim

Δ x = 3

, dikey değişim

Δ y = 6

olduğundan eğim

m = \frac{6}{3} = 2

Örnek

Soru

$A (1, 2)$ ve $B (4, 8)$ noktalarından geçen doğrunun eğimini bulunuz.

$m = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}} = \frac{8 - 2}{4 - 1} = \frac{6}{3} = 2$

Sonuç: Eğim

m = 2

5. Doğru Denklemi

Bir doğru, eğimi $m$ ve $y$ eksenini kestiği nokta $n$ ile şöyle yazılır:

$y = m x + n$

Burada $m$ eğim, $n$ ise doğrunun $y$ eksenini kestiği noktanın ordinatıdır ( $x = 0$ iken $y = n$ ).

Örnek

Soru

Eğimi $2$ olan ve $y$ eksenini $1$ noktasında kesen doğrunun denklemini yazınız.

$m = 2$ ve $n = 1$ değerlerini $y = m x + n$ formülünde yerine yazalım:

$y = 2 x + 1$

Sonuç:

y = 2 x + 1

Örnek

Soru

$A (0, 1)$ ve $B (2, 5)$ noktalarından geçen doğrunun denklemini bulunuz.

Önce eğimi hesapla, sonra $A (0, 1)$ noktası $y$ ekseni üzerinde olduğu için $n$ 'yi doğrudan oku.

Eğimi bul:

$m = \frac{5 - 1}{2 - 0} = \frac{4}{2} = 2$

$A (0, 1)$ noktasının apsisi $0$ olduğundan bu nokta $y$ eksenindedir; yani $n = 1$ .
Denklemi yaz:

$y = 2 x + 1$

Sonuç:

y = 2 x + 1

Çözümlü Sorular

Örnek

Soru

$A (- 2, 1)$ ve $B (3, 13)$ noktaları arasındaki uzaklığı bulunuz.

Formülde yerine yazalım:

$∣ A B ∣ = (3 - (- 2))^{2} + (13 - 1)^{2} = 5^{2} + 1 2^{2}$

Pisagor üçlüsü $5$ - $12$ - $13$ kullanılır:

$∣ A B ∣ = 25 + 144 = 169 = 13$

Sonuç:

∣ A B ∣ = 13

birim.

Örnek

Soru

$A (- 1, 4)$ noktasının orta noktası $M (2, 1)$ olacak şekilde, $A$ ile $B$ noktaları veriliyor. $B$ noktasını bulunuz.

Orta nokta formülünden apsis için:

$\frac{- 1 + x _{B}}{2} = 2 \Rightarrow - 1 + x_{B} = 4 \Rightarrow x_{B} = 5$

Ordinat için:

$\frac{4 + y _{B}}{2} = 1 \Rightarrow 4 + y_{B} = 2 \Rightarrow y_{B} = - 2$

Sonuç:

B (5, - 2)

Örnek

Soru

$3 x - 2 y + 12 = 0$ doğrusunun eğimini ve $y$ eksenini kestiği noktanın ordinatını bulunuz.

Denklemi $y = m x + n$ biçimine getirelim. $y$ yalnız bırakılır:

$2 y = 3 x + 12 \Rightarrow y = \frac{3}{2} x + 6$

Buradan eğim ve kesim noktası okunur:

$m = \frac{3}{2}, n = 6$

Sonuç: Eğim

m = \frac{3}{2}

y

eksenini

6

noktasında keser.

Örnek

Soru

$A (2, - 3)$ noktasından geçen ve eğimi $- 2$ olan doğrunun denklemini bulunuz.

$y = m x + n$ formülünde $m = - 2$ yazılır:

$y = - 2 x + n$

$A (2, - 3)$ noktası doğru üzerinde olduğundan koordinatları yerine yazılır:

$- 3 = - 2 \cdot 2 + n \Rightarrow - 3 = - 4 + n \Rightarrow n = 1$

Denklem:

$y = - 2 x + 1$

Sonuç:

y = - 2 x + 1

Örnek

Soru

$A (1, 2)$ , $B (5, 2)$ ve $C (5, 8)$ noktaları bir dik üçgenin köşeleridir. Bu üçgenin çevresini bulunuz.

$A$ ile $B$ aynı ordinatta ( $y = 2$ ) olduğundan:

$∣ A B ∣ = ∣5 - 1∣ = 4$

$B$ ile $C$ aynı apsiste ( $x = 5$ ) olduğundan:

$∣ B C ∣ = ∣8 - 2∣ = 6$

Hipotenüs $∣ A C ∣$ :

$∣ A C ∣ = (5 - 1)^{2} + (8 - 2)^{2} = 16 + 36 = 52 = 213$

Çevre:

$4 + 6 + 213 = 10 + 213$

Sonuç: Çevre

= 10 + 213

birim.

Örnek

Soru

$2 x + y - 6 = 0$ doğrusunun $x$ ve $y$ eksenlerini kestiği noktalar arasındaki uzaklığı bulunuz.

$x$ eksenini kestiği nokta için $y = 0$ :

$2 x - 6 = 0 \Rightarrow x = 3 \Rightarrow (3, 0)$

$y$ eksenini kestiği nokta için $x = 0$ :

$y - 6 = 0 \Rightarrow y = 6 \Rightarrow (0, 6)$

İki nokta arası uzaklık:

$(3 - 0)^{2} + (0 - 6)^{2} = 9 + 36 = 45 = 35$

Sonuç: Uzaklık

= 35

birim.

Örnek

Soru

$A (- 3, k)$ ve $B (1, 5)$ noktalarından geçen doğrunun eğimi $2$ ise $k$ değerini bulunuz.

Eğim formülünü kuralım:

$m = \frac{5 - k}{1 - ( - 3 )} = \frac{5 - k}{4}$

Eğim $2$ olduğundan:

$\frac{5 - k}{4} = 2 \Rightarrow 5 - k = 8$

$k$ 'yı çözelim:

$k = 5 - 8 = - 3$

Sonuç:

k = - 3

Örnek

Soru

$A (- 1, 2)$ ve $B (5, 2)$ noktaları bir karenin bir kenarıdır. Bu karenin alanı kaç birim karedir?

$A$ ile $B$ aynı ordinatta ( $y = 2$ ) olduğundan kenar uzunluğu:

$∣ A B ∣ = ∣5 - (- 1) ∣ = 6$

Karenin alanı kenarın karesidir:

$Alan = 6^{2} = 36$

Sonuç: Alan

= 36

birim kare.

Örnek

Soru

Eğimleri eşit olan iki doğru paraleldir. $y = 3 x - 1$ doğrusuna paralel olan ve $A (2, 1)$ noktasından geçen doğrunun denklemini bulunuz.

Paralel doğruların eğimleri aynıdır. Önce eğimi al, sonra noktayı yerine koyarak $n$ 'yi bul.

$y = 3 x - 1$ doğrusunun eğimi $m = 3$ 'tür. Paralel doğrunun eğimi de $3$ olur:

$y = 3 x + n$

$A (2, 1)$ noktası doğru üzerinde olduğundan:

$1 = 3 \cdot 2 + n \Rightarrow 1 = 6 + n \Rightarrow n = - 5$

Denklem:

$y = 3 x - 5$

Sonuç:

y = 3 x - 5

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, ÖSYM'nin TYT Temel Matematik'te sorduğu çok kavramlı, dolaylı (5 şıklı) soru tarzına örnek olarak özgün biçimde hazırlanmıştır.

Çözümlü Sorular

Her soruyu önce kendin dene; takıldığında Çözüme Bak.

Soru 1Orta

Bir harita uygulamasında konumlar birim kareli bir ızgaraya yerleştiriliyor. Bir kurye,

D (2, 3)

konumundaki depodan çıkıp

M (6, 6)

konumundaki ilk müşteriye, oradan da

N (6, 1)

konumundaki ikinci müşteriye uğruyor. Kurye bu iki bacağı **kuş uçuşu** (doğru parçası) kat ettiğine göre, toplam yol kaç birimdir?

Birinci bacak $D (2, 3) \to M (6, 6)$ : $ $∣ D M ∣ = (6 - 2)^{2} + (6 - 3)^{2} = 16 + 9 = 25 = 5.$ $
İkinci bacak $M (6, 6) \to N (6, 1)$ aynı apsiste ( $x = 6$ ) olduğundan: $ $∣ M N ∣ = ∣6 - 1∣ = 5.$ $
Toplam yol $5 + 5 = 10$ birim. (Çeldirici: $∣ M N ∣$ için de uzaklık formülü kurup yanlış kareleme yapan $11$ – $13$ aralığına düşer.)

Sonuç:

10

Soru 2Kolay

Bir mühendis,

A (- 2, 1)

B (6, 7)

noktalarındaki iki direği bir kabloyla birleştiriyor. Kablonun tam ortasına bir yalıtkan takılacaktır. Yalıtkanın takılacağı noktanın koordinatları toplamı (

x + y

) kaçtır?

Orta nokta: $ $(\frac{- 2 + 6}{2}, \frac{1 + 7}{2}) = (\frac{4}{2}, \frac{8}{2}) = (2, 4) .$ $
Koordinatların toplamı $2 + 4 = 6$ . (Çeldirici: $2$ 'ye bölmeyi unutan $(4, 8)$ bulur, toplamı $12$ sanır; burada şıkta yok, bu yüzden işaret/bölme hatası yapan farklı şıklara savrulur.)

Sonuç:

6

Soru 3Orta

Bir kayak pistinin profili düz bir doğru olarak modellenmiştir. Pist, yatayda her

4

birim ilerlendiğinde dikeyde

3

birim alçalmaktadır. Pistin en tepe noktası

y

ekseni üzerinde

(0, 12)

'dedir. Pistin tabanı

y = 0

düzlemine (

x

ekseni) ulaştığında yatayda kaç birim ilerlenmiş olur?

Yatayda $+ 4$ iken dikeyde $- 3$ değişim olduğundan eğim: $ $m = \frac{- 3}{4} .$ $
$y$ eksenini $(0, 12)$ 'de kestiğinden $n = 12$ ve doğru: $ $y = - \frac{3}{4} x + 12.$ $
Taban için $y = 0$ : $ $0 = - \frac{3}{4} x + 12 \Rightarrow \frac{3}{4} x = 12 \Rightarrow x = 16.$ $(\overset{C}{\c} e l d i r i c i : e \overset{g}{˘} imi$ \tfrac{3}{4} $p oz i t i f a l an y a d a$ 12$'yi doğrudan cevap sanan tuzağa düşer.)

Sonuç:

16

Soru 4Kolay

Bir oyun haritasında bir hazine

H (5, - 2)

noktasındadır. Oyuncu, eğimi

- 1

olan düz bir patikada ilerlemekte ve patika

H

noktasından geçmektedir. Bu patika

y

eksenini hangi noktada keser?

$y = m x + n$ formülünde $m = - 1$ : $ $y = - x + n .$ $
$H (5, - 2)$ doğru üzerinde: $ $- 2 = - 1 \cdot 5 + n \Rightarrow - 2 = - 5 + n \Rightarrow n = 3.$ $
$y$ eksenini ( $x = 0$ ) $(0, 3)$ noktasında keser. (Çeldirici: eğimin işaretini karıştıran $n = - 7$ veya $n = 7$ bulur.)

Sonuç:

(0, 3)

Soru 5Orta

Bir tarımcı, köşeleri

A (1, 1)

B (7, 1)

C (7, 9)

olan dik üçgen biçimli bir tarlanın çevresini tel çitle çevirecektir. Metre başına çit

2

TL olduğuna göre (birim

=

metre), toplam çit maliyeti kaç TL'dir?

$A, B$ aynı ordinatta: $∣ A B ∣ = ∣7 - 1∣ = 6$ .
$B, C$ aynı apsiste: $∣ B C ∣ = ∣9 - 1∣ = 8$ .
Hipotenüs $∣ A C ∣$ için $6$ – $8$ – $10$ üçlüsü: $ $∣ A C ∣ = 6^{2} + 8^{2} = 100 = 10.$ $
Çevre $6 + 8 + 10 = 24$ metre; maliyet $24 \cdot 2 = 48$ TL. (Çeldirici: yalnız çevreyi $24$ bulup metre fiyatıyla çarpmayı unutan A şıkkına düşer.)

Sonuç:

48

Soru 6Orta

Bir doğrunun denklemi

2 x + 3 y - 12 = 0

'dır. Bu doğru ile koordinat eksenlerinin sınırladığı üçgenin alanı kaç birim karedir?

$x$ kesişimi ( $y = 0$ ): $2 x - 12 = 0 \Rightarrow x = 6 \Rightarrow (6, 0)$ .
$y$ kesişimi ( $x = 0$ ): $3 y - 12 = 0 \Rightarrow y = 4 \Rightarrow (0, 4)$ .
Bu iki kesişim ile orijin bir dik üçgen oluşturur; dik kenarlar $6$ ve $4$ : $ $Alan = \frac{6 \cdot 4}{2} = 12.$ $(\overset{C}{\c} e l d i r i c i : d ik k e na r l a r ı \overset{c}{\c} a r p ı p$ 2 $^{'} y e b \overset{o}{¨} l m ey i u n u t an$ 24 $, y a d ak es i \overset{s}{\c} im l er i y an l ı \overset{s}{\c} o k u y an$ 8$ bulur.)

Sonuç:

12

0/6 soru cevaplandı

Sık Yapılan Hatalar

Uzaklıkta farkların karesini almayı unutmak. $∣ A B ∣ = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}$ ; farklar mutlaka karelenir, bu yüzden işaret hata yapsanız bile sonuç değişmez.
Eğimi ters yazmak. Doğrusu $\frac{Δ y}{Δ x}$ , yani dikey değişim / yatay değişim; $\frac{Δ x}{Δ y}$ yazmak yanlıştır.
Orta noktada $2$ 'ye bölmeyi unutmak. Koordinatları topladıktan sonra mutlaka $2$ 'ye bölün.

Sınav ipucu: $3$ - $4$ - $5$ ve $5$ - $12$ - $13$ Pisagor üçlülerini ezberleyin; uzaklık sorularında karekökü saniyeler içinde sonuçlandırır. Eğimi ise her zaman "dikey değişim bölü yatay değişim" diye hatırlayın.

1. Koordinat Düzlemi

2. İki Nokta Arası Uzaklık

3. Orta Nokta

4. Eğim

5. Doğru Denklemi

Çözümlü Sorular

Sınav Tarzı Sorular

Çözümlü Sorular

Sık Yapılan Hatalar

Analitik Geometri ve Katı Cisimler — diğer konular